PGCD et PPCM Thms de BEZOUT, GAUSS et FERMAT

PGCD et PPCM
Thms de BEZOUT,
GAUSS et FERMAT
I PGCD
Définition 1
Soient a et b deux entiers non nuls. Le plus grand commun diviseur de a est b, noté (a, b) ou a ∧ b,
est l’entier positif d qui satisfait aux conditions :
1) d|a et d|b
2) si c|a et c|b alors c 6 d
Propriété 1
Soient a et b des entiers naturels au moins égaux à 2. Le pgcd de a et b est égal au produit des
facteurs premiers communs de a et de b, avec pour chacun d’eux, l’exposant le plus petit de ceux
qu’il a dans a et dans b.
Exemple
168 = 23 × 3 × 7 et 540 = 22 × 33 × 5, donc
pgcd(168, 540) = 22 × 3 = 12
Propriété 2
Soient a, b ∈ Z non nuls. Alors, il existe deux entiers u et v tels que :
au + bv = (a, b)
Preuve :
Soit S = {ax + by/x, y ∈ Z, ax + by > 0}.
S ⊂ N et S 6= ∅, donc S admet un plus petit élément qu’on notera d = au + bv.
Montrons que d = (a, b), pour cela montrons que d|a et d|b.
Si d ∤ a alors il existe q et r tel que a = qd + r avec 0 < r < d.
Donc r = a − qd = a − q(au + bv) = a(1 − qu) − qvb et ainsi r ∈ S et r < d ce qui est impossible
puisque d est le plus petit élément de S. Donc d|a, et de même d|b.
Soient c|a et c|b, alors c|au + bv et donc c|d (d > 0), donc c 6 d.
Donc d = (a, b). 1
Exemple
pgcd(5, 3) = 1, et on a 2 × 5 − 3 × 3 = 1.
pgcd(18, 14) = 2, et on a −3 × 18 + 4 × 14 = 2.
Propriété 3
Tous les diviseurs de a et b divisent (a, b).
Exemple
Déterminer tous les diviseurs de 284 et 128.
On a pgcd(284, 128) = 4, et tous les diviseurs 4 sont : −4, −2, −1, 1, 2, 4 qui sont aussi tous
les diviseurs communs à 284 et 128.
Propriété 4
Soit d = (a, b) et soit k ∈ Z.
1) (a − kb, b) = (a, b).
2) En particulier (a − b, b) = (a, b) et (b, r) = (a, b) où r est le reste de la division euclidienne de
a par b.
3) (ka, kb) = |k|(a, b).
Preuve :
1) Soit d′ = (a − kb, b). d|a et d|b, donc d|a − kb et donc d 6 d′ .
d′ |a − kb et d′ |b donc d′ |a − kb + kb donc d′ |a ainsi d′ 6 d. Et donc d = d′ .
2) c’est une conséquence du 1), a = bq + r et donc r = a − bq et d’après le 1) (a − bq, b) = (a, b).
3) Supposons que k > 0 et notons d′ = (ka, kb). On a d|a et d|b donc kd|(ka, kb). C’est à dire, il
existe m tel que d′ = kdm. Donc kdm|ka et kdm|kb et donc md|a et md|b, ainsi md|d donc
m = 1.
Donc d′ = kd.
Si k < 0 alors −k > 0 et donc d′ = −kd = |k|d.
Propriété 5
Soient a et b deux naturels non nuls, et d un diviseur commun à a et b. On pose a = da′ et
b = db′ .
P GCD(a, b) = 1 si et seulement si P GCD(a′ , b′ ) = 1.
Preuve :
D’après 3) (propriété précédente) (a, b) = (da′ , db′ ) = d(a′ , b′ ).
D’où la propriété. II Algorithme d’Euclide
Propriété 6
Soit a, b ∈ Z, b > 0. En appliquant successivement la division euclidienne, on abtient la suite
d’équation :
a = bq1 + r1
0 < r1 < b
b = r1 q2 + r2
0 < r2 < r1
r1 = r2 q3 + r3
0 < r3 < r2
..
.
rj−2 = rj−1 qj + rj 0 < rj < rj−1
rj−1 = rj qj+1
Si d = (a, b), alors d = rj . Par suite les entiers u et v tel que d = au + bv peuvent être obtenus
par élimination des ri du sytème d’équations.
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III. THÉORÈMES DE BEZOUT, GAUSS ET FERMAT
Exemple
966
429
108
105
=
=
=
=
429 × 2 + 108
108 × 3 + 105
105 × 1 + 3
3 × 35
On a donc (966, 429) = 3 et de plus :
3 = 108 − 105 = 108 − 429 + 3 × 108 = −429 + 4 × 108 = −429 + 4 × (966 − 2 × 429) =
4 × 966 − 9 × 429
III Théorèmes de Bezout, Gauss et Fermat
Définition 2
Soit a et b deux entiers non nuls sont premiers entre eux si (a, b) = 1.
Propriété 7
1) soit a un entier et p un nombre premier. p|a ⇐⇒ (a, p) = p.
2) soit p, q deux nombres premiers tels que p 6= q, alors (p, q) = 1
Théorème 1 (de Bezout)
Soient a et b deux entiers non nuls.
(a, b) = 1 ⇐⇒ il existe deux entiers u, v tels que au + bv = 1.
Preuve :
⇒ déjà démontré.
⇐ On suppose que 1 = au + bv. On note d = (a, b), on a donc d|au + bv et donc d|1, ainsi d = 1.
Théorème 2 (de Gauss)
Soient a, b, c trois entiers non nuls.
Si a|bc et (a, b) = 1 alors a|c.
Preuve :
(a, b) = 1, donc il existe u, v tels que au + bv = 1 et donc acu + bcv = c. Or a|bc et a|ac donc
a|acu + bcv, ainsi a|c. Propriété 8
Soient a, b, c trois entiers non nuls et p un nombre premier.
1) Si (a, b) = 1 et a|c et b|c alors ab|c.
2) Si p|ab, alors p|a ou p|b.
Preuve :
1) a|c, donc il existe k tel que c = ak. De plus b|c donc b|ak, or (a, b) = 1 donc d’après Gauss
b|k, donc k = bk ′ .
Ainsi c = abk ′ et donc ab|c.
2) Si p|a la propriété est démontré, sinon (a, p) = 1, d’après Gauss p divise donc b. Remarque
La propriete 2) se traduit par si ab ≡ 0 [p] alors a ≡ 0 [p] ou b ≡ 0 [p]
Définition 3
Soit n un entier naturel, on définit le nombre n! (se lit "factoriel n") par :
n! = n(n − 1)(n − 2) · · · 2 × 1
Par convention : 0! = 1.
3
Définition 4
Soient p et k deux entiers naturels
tels que k 6 p.
p
On définit le nombre entier
(se lit "k parmi p") par :
k
p!
p
=
k
k!(p − k)!
Propriété 9 (formule du binôme de Newton)
a, b ∈ R et n est un entier naturel.
n n
n
n
n 2 n−2
n
n n
n
n−1
n−1 2
n−1
(a + b) =
a +
a
b+
a
b +···+
a b
+
ab
+
b
n
n−1
n−2
2
1
0
Propriété 10
Soit p un nombre premier.
Pour tout k ∈ {1, 2, . . . , n − 1}, p divise
p
.
k
Preuve :
p
(p − 1)!
p p−1
p!
p
= ×
=
=
k!(p − k)!
k (k − 1)!(p − 1 − (k − 1))!
k k−1
k
p
p−1
p
Et donc, k
=p
, ainsi p divise k
. Or (p, k) = 1, donc d’après Gauss : p divise
k
k
−
1
k
p
. k
Théorème 3 (le petit théorème de Fermat)
Pour tout nombre premier p et tout entier relatif a,
ap ≡ a [p]
Remarque
Conséquance de ce théorème :
Si p est premier alors pour tout a, b, (a + b)p ≡ ap + bp [p].
Preuve :
on remarque que an ≡ rn [p] où r est le reste de la division euclidienne de a par p, de plus
r > 0. Donc il suffit de montrer cette propriete pour a ∈ N.
Par reccurence sur a en utilisant la propriete précédente.
Pour a = 0 et 1, c’est évident.
Supposons que ap ≡ a [p], alors (a + 1)p ≡ ap + 1 [p] ainsi (a + 1)p ≡ a + 1 [p]. D’où la propriété.
Théorème 4
Soit p un nombre premier et a un entier relatif.
Si p ne divise pas a alors ap−1 ≡ 1 [p].
Preuve :
D’après Fermat a(ap−1 − 1) ≡ 0 [p] or a n’est pas congru à 0 modulo p et p est premier donc
ap−1 − 1 ≡ 0 [p].
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IV. PPCM
Autre démonstration :
Soient les entiers 1, 2, · · · , p − 1 et a un entier permier avec p.
Les restes de la division euclidienne des nombres a, 2a, · · · , (p − 1)a par p sont tous différents.
En effet, par l’absurde supposons que ka et k ′ a ont le même reste. Donc p divise ka − k ′ a c’est à
dire a(k ′ − k). Or, p et a sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, p divise donc
k ′ − k, de plus −p < k ′ − k < p donc k = k ′ .
De plus, aucun de ces restes est nul, car p est premier avec k et a donc avec ka. Par conséquent,
p ne divise pas ka.
Il y a donc p − 1 restes possibles : 1, 2, · · · , p − 1 et donc
a × 2a × 3a × · · · (p − 1)a ≡ 1 × 2 × 3 × · · · (p − 1)a [p] ⇔ (p − 1)! × ap−1 ≡ (p − 1)! [p].
Donc, p divise (p − 1)!(ap−1 − 1) or p et (p − 1)! sont premiers entre eux car p est premiers avec
tout entier k tel que 0 < k < p. D’après Gauss, p divise ap−1 − 1, par conséquent ap−1 ≡ 1 [p].
IV PPCM
Définition 5
Le plus petit commun multiple des naturels non nuls a et b est le plus petit élément de l’ensemble
des multiples communs à a et b.
cad :
m = ppcm(a, b) ⇔ a|m et b|m
et si a|µ et b|µ alors m ≤ µ
Exemple
ppcm(6; 4) = 12 et ppcm(5, 3) = 15
Remarque
ppcm(a, a) = a, ppcm(a, 0) = 0, ppcm(a, 1) = a.
Propriété 11
Soient a et b des naturels au moins égaux à 2. Le ppcm de a et b est égal au produit de tous les
facteurs communs de a et de tous ceux de b, avec pour chacun d’eux, l’exposant le plus grand de
ceux qu’il a dans a et dans b.
Exemple
Déterminer ppcm(168, 540).
On a 168 = 23 × 3 × 7 et 540 = 22 × 33 × 5, donc
ppcm(168, 540) = 23 × 33 × 5 × 7
Propriété 12
1) L’ensemble des multiples communs de a et de b est l’ensemble des multiples de leur ppcm.
2) Soient a et b des entiers naturels :
ppcm(a, b) × pgcd(a, b) = ab
Preuve :
On suppose a et b non nuls. Soit d = pgcd(a, b), donc a = da′ et b = db′ avec pgcd(a′ , b′ ) = 1.
Soit µ un multiple de a et b, donc µ = ka = k ′ b. D’où kda′ = k ′ db′ , ainsi ka′ = k ′ b′ . On peut
donc dire que b′ divise ka′ , or a′ et b′ sont premiers entre eux, donc b′ divise k. Ainsi, k = mb′
et donc µ = mda′ b′ . Ainsi, tous les multiples de a et b sont des multiples de da′ b′ et donc le plus
petit est da′ b′ . Ainsi, ppcm(a, b) = da′ b′ .
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Par conséquent, pgcd(a, b) × ppcm(a, b) = d × da′ b′ = da′ × db′ = ab. Exemple 1
Pour déterminer le ppcm, on détermine le pgcd par l’algorithmre d’Euclide par exemple,
puis ppcm = ab/pgcd.
Déterminer ppcm(44100, 36036)
Exemple 2
Déterminer deux naturels connaissant leur produit 1512 et leur ppcm 252.
On a pgcd(a, b) = 1512/252 = 6, donc a′ b′ = 252/6 = 42 avec pgcd(a′ , b′ ) = 1.
On obtient (1, 42); (2; 21); (3; 14); (6; 7); (7; 6); (14; 3); (21; 2) et (42; 1).
Ainsi les solutions sont :
(6, 252); (12; 126); (18; 84); (36; 42); (42; 36); (84; 18); (126; 12) et (252; 6).
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