PGCD et PPCM Thms de BEZOUT, GAUSS et FERMAT

PGCD et PPCM
Thms de BEZOUT,
GAUSS et FERMAT
I PGCD
Définition 1
Soient aet bdeux entiers non nuls. Le plus grand commun diviseur de aest b, noté (a, b)ou a∧b,
est l’entier positif dqui satisfait aux conditions :
1) d|aet d|b2) si c|aet c|balors c6d
Propriété 1
Soient aet bdes entiers naturels au moins égaux à 2. Le pgcd de aet best égal au produit des
facteurs premiers communs de aet de b, avec pour chacun d’eux, l’exposant le plus petit de ceux
qu’il a dans aet dans b.
Exemple
168 = 23×3×7et 540 = 22×33×5, donc
pgcd(168,540) = 22×3 = 12
Propriété 2
Soient a, b ∈Znon nuls. Alors, il existe deux entiers uet vtels que :
au +bv = (a, b)
Preuve :
Soit S={ax +by/x, y ∈Z, ax +by > 0}.
S⊂Net S6=∅, donc Sadmet un plus petit élément qu’on notera d=au +bv.
Montrons que d= (a, b), pour cela montrons que d|aet d|b.
Si d∤aalors il existe qet rtel que a=qd +ravec 0< r < d.
Donc r=a−qd =a−q(au +bv) = a(1 −qu)−qvb et ainsi r∈Set r < d ce qui est impossible
puisque dest le plus petit élément de S. Donc d|a, et de même d|b.
Soient c|aet c|b, alors c|au +bv et donc c|d(d > 0), donc c6d.
Donc d= (a, b).
1

Exemple
pgcd(5,3) = 1, et on a 2×5−3×3 = 1.
pgcd(18,14) = 2, et on a −3×18 + 4 ×14 = 2.
Propriété 3
Tous les diviseurs de aet bdivisent (a, b).
Exemple
Déterminer tous les diviseurs de 284 et 128.
On a pgcd(284,128) = 4, et tous les diviseurs 4 sont : −4,−2,−1,1,2,4qui sont aussi tous
les diviseurs communs à 284 et 128.
Propriété 4
Soit d= (a, b)et soit k∈Z.
1) (a−kb, b) = (a, b).
2) En particulier (a−b, b) = (a, b)et (b, r) = (a, b)où rest le reste de la division euclidienne de
apar b.
3) (ka, kb) = |k|(a, b).
Preuve :
1) Soit d′= (a−kb, b).d|aet d|b, donc d|a−kb et donc d6d′.
d′|a−kb et d′|bdonc d′|a−kb +kb donc d′|aainsi d′6d. Et donc d=d′.
2) c’est une conséquence du 1), a=bq +ret donc r=a−bq et d’après le 1) (a−bq, b) = (a, b).
3) Supposons que k > 0et notons d′= (ka, kb). On a d|aet d|bdonc kd|(ka, kb). C’est à dire, il
existe mtel que d′=kdm. Donc kdm|ka et kdm|kb et donc md|aet md|b, ainsi md|ddonc
m= 1.
Donc d′=kd.
Si k < 0alors −k > 0et donc d′=−kd =|k|d.
Propriété 5
Soient aet bdeux naturels non nuls, et dun diviseur commun à aet b. On pose a=da′et
b=db′.
P GCD(a, b) = 1 si et seulement si P GCD(a′, b′) = 1.
Preuve :
D’après 3) (propriété précédente) (a, b) = (da′, db′) = d(a′, b′).
D’où la propriété. 
II Algorithme d’Euclide
Propriété 6
Soit a, b ∈Z,b > 0. En appliquant successivement la division euclidienne, on abtient la suite
d’équation :
a=bq1+r10< r1< b
b=r1q2+r20< r2< r1
r1=r2q3+r30< r3< r2
.
.
.
rj−2=rj−1qj+rj0< rj< rj−1
rj−1=rjqj+1
Si d= (a, b), alors d=rj. Par suite les entiers uet vtel que d=au +bv peuvent être obtenus
par élimination des ridu sytème d’équations.
2

III. THÉORÈMES DE BEZOUT, GAUSS ET FERMAT
Exemple
966 = 429 ×2 + 108
429 = 108 ×3 + 105
108 = 105 ×1 + 3
105 = 3 ×35
On a donc (966,429) = 3 et de plus :
3 = 108 −105 = 108 −429 + 3 ×108 = −429 + 4 ×108 = −429 + 4 ×(966 −2×429) =
4×966 −9×429
III Théorèmes de Bezout, Gauss et Fermat
Définition 2
Soit aet bdeux entiers non nuls sont premiers entre eux si (a, b) = 1.
Propriété 7
1) soit aun entier et pun nombre premier. p|a⇐⇒ (a, p) = p.
2) soit p, q deux nombres premiers tels que p6=q, alors (p, q) = 1
Théorème 1 (de Bezout)
Soient aet bdeux entiers non nuls.
(a, b) = 1 ⇐⇒ il existe deux entiers u, v tels que au +bv = 1.
Preuve :
⇒déjà démontré.
⇐On suppose que 1 = au +bv. On note d= (a, b), on a donc d|au +bv et donc d|1, ainsi d= 1.
Théorème 2 (de Gauss)
Soient a, b, c trois entiers non nuls.
Si a|bc et (a, b) = 1 alors a|c.
Preuve :
(a, b) = 1, donc il existe u, v tels que au +bv = 1 et donc acu +bcv =c. Or a|bc et a|ac donc
a|acu +bcv, ainsi a|c.
Propriété 8
Soient a, b, c trois entiers non nuls et pun nombre premier.
1) Si (a, b) = 1 et a|cet b|calors ab|c.
2) Si p|ab, alors p|aou p|b.
Preuve :
1) a|c, donc il existe ktel que c=ak. De plus b|cdonc b|ak, or (a, b) = 1 donc d’après Gauss
b|k, donc k=bk′.
Ainsi c=abk′et donc ab|c.
2) Si p|ala propriété est démontré, sinon (a, p) = 1, d’après Gauss pdivise donc b.
Remarque
La propriete 2) se traduit par si ab ≡0 [p]alors a≡0 [p]ou b≡0 [p]
Définition 3
Soit nun entier naturel, on définit le nombre n!(se lit "factoriel n") par :
n! = n(n−1)(n−2) ···2×1
Par convention : 0! = 1.
3

Définition 4
Soient pet kdeux entiers naturels tels que k6p.
On définit le nombre entier p
k(se lit "kparmi p") par :
p
k=p!
k!(p−k)!
Propriété 9 (formule du binôme de Newton)
a, b ∈Ret nest un entier naturel.
(a+b)n=n
nan+n
n−1an−1b+n
n−2an−1b2+···+n
2a2bn−2+n
1abn−1+n
0bn
Propriété 10
Soit pun nombre premier.
Pour tout k∈ {1,2,...,n−1},pdivise p
k.
Preuve :
p
k=p!
k!(p−k)! =p k×(p−1)! (k−1)!(p−1−(k−1))! =p kp−1
k−1
Et donc, kp
k=pp−1
k−1, ainsi pdivise kp
k. Or (p, k) = 1, donc d’après Gauss : pdivise
p
k.
Théorème 3 (le petit théorème de Fermat)
Pour tout nombre premier pet tout entier relatif a,
ap≡a[p]
Remarque
Conséquance de ce théorème :
Si pest premier alors pour tout a, b,(a+b)p≡ap+bp[p].
Preuve :
on remarque que an≡rn[p]où rest le reste de la division euclidienne de apar p, de plus
r>0. Donc il suffit de montrer cette propriete pour a∈N.
Par reccurence sur aen utilisant la propriete précédente.
Pour a= 0 et 1, c’est évident.
Supposons que ap≡a[p], alors (a+ 1)p≡ap+ 1 [p]ainsi (a+ 1)p≡a+ 1 [p]. D’où la propriété.
Théorème 4
Soit pun nombre premier et aun entier relatif.
Si pne divise pas aalors ap−1≡1 [p].
Preuve :
D’après Fermat a(ap−1−1) ≡0 [p]or an’est pas congru à 0 modulo pet pest premier donc
ap−1−1≡0 [p].
4

IV. PPCM
Autre démonstration :
Soient les entiers 1,2,··· , p −1et aun entier permier avec p.
Les restes de la division euclidienne des nombres a, 2a, ··· ,(p−1)apar psont tous différents.
En effet, par l’absurde supposons que ka et k′aont le même reste. Donc pdivise ka −k′ac’est à
dire a(k′−k). Or, pet asont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, pdivise donc
k′−k, de plus −p < k′−k < p donc k=k′.
De plus, aucun de ces restes est nul, car pest premier avec ket adonc avec ka. Par conséquent,
pne divise pas ka.
Il y a donc p−1restes possibles : 1,2,··· , p −1et donc
a×2a×3a× · · · (p−1)a≡1×2×3× · · · (p−1)a[p]⇔(p−1)! ×ap−1≡(p−1)! [p].
Donc, pdivise (p−1)!(ap−1−1) or pet (p−1)! sont premiers entre eux car pest premiers avec
tout entier ktel que 0< k < p. D’après Gauss, pdivise ap−1−1, par conséquent ap−1≡1 [p].
IV PPCM
Définition 5
Le plus petit commun multiple des naturels non nuls aet best le plus petit élément de l’ensemble
des multiples communs à aet b.
cad :
m=ppcm(a, b)⇔a|met b|m
et si a|µet b|µalors m≤µ
Exemple
ppcm(6; 4) = 12 et ppcm(5,3) = 15
Remarque
ppcm(a, a) = a,ppcm(a, 0) = 0,ppcm(a, 1) = a.
Propriété 11
Soient aet bdes naturels au moins égaux à 2. Le ppcm de aet best égal au produit de tous les
facteurs communs de aet de tous ceux de b, avec pour chacun d’eux, l’exposant le plus grand de
ceux qu’il a dans aet dans b.
Exemple
Déterminer ppcm(168,540).
On a 168 = 23×3×7et 540 = 22×33×5, donc
ppcm(168,540) = 23×33×5×7
Propriété 12
1) L’ensemble des multiples communs de aet de best l’ensemble des multiples de leur ppcm.
2) Soient aet bdes entiers naturels :
ppcm(a, b)×pgcd(a, b) = ab
Preuve :
On suppose aet bnon nuls. Soit d=pgcd(a, b), donc a=da′et b=db′avec pgcd(a′, b′) = 1.
Soit µun multiple de aet b, donc µ=ka =k′b. D’où kda′=k′db′, ainsi ka′=k′b′. On peut
donc dire que b′divise ka′, or a′et b′sont premiers entre eux, donc b′divise k. Ainsi, k=mb′
et donc µ=mda′b′. Ainsi, tous les multiples de aet bsont des multiples de da′b′et donc le plus
petit est da′b′. Ainsi, ppcm(a, b) = da′b′.
5