LES NOMBRES COMPLEXES ET LA TRIGONOMÉTRIE

M. Molin - Lycée Marcelin Berthelot
BCPST 1A
Exercices - Mathématiques
Année 2016-2017
L ES NOMBRES COMPLEXES ET LA TRIGONOMÉTRIE
1
z
7) 0 ≤ arg( 1−i
)≤
N OMBRES COMPLEXES
E XERCICE 1 (*)
Donner la forme algébriques des expressions suivantes
1) (1 + i x)(1 − i x)
4)
pour x ∈ R
p
1+i 3
2) p
3−i
1
3)
1+i
(2 − i )(5 + 2i )
3 − 4i
π
4
8) |z − i | = |z + 1|
E XERCICE 5 (*)
Pour n ∈ N∗ , calculer
5) (1 + i )2015
n
X
ik
k=0
6) pour n ∈ N∗ ,
cos θ + i sin θ)n
p
3
3
(1 +
E XERCICE 2 (*)
Donner la forme exponentielle des expressions suivantes
(pour n ∈ N∗ )
E XERCICE 6 (*)
Déterminer l’ensemble des nombres complexes z tels que
1)
z
∈R
z −i
1) sin x + i cos x pour x ∈ R
2)
ei x − 1
ei x + 1
2) z 3 ∈ R Interpréter géométriquement les solutions.
pour x ∈] − π, π[
3) −2i ei x pour x ∈ R
p
(1 − i 3)5
4)
(1 + i )3
5) (1 + i )
2015
− (1 − i )
2015
E XERCICE 3
Mettre sous forme exponentielle (α ∈ R, (x, y) ∈ R2 )
BAttention, le module est un réel positif.
1) 1 − e−i α
2)
1−iz
∈R
1+iz
E XERCICE 7 (**) (Autour du nombre j )
On pose j = e
2i π
3
1) Calculer j 2 et j 3 .
2) Calculer j + j 2 + j 3 .
géométrique.
Donner une interprétation
Dans la suite, A, B,C sont trois points du plan complexe
d’affixes respectives a, b, c,
1
ei x + e i y
3) 1 − i tan α (α ∈] − π2 , π2 )
Ã
4)
3)
p
p ¢ !2015
¡p
1+ 2+i 3− 2
3) (***) Montrer que ABC est un triangle équilatéral direct si et seulement si
1+i
5) (***)
p
p
p
p
2+ 2+i 2− 2
Indication : Calculer cos2 (θ) et linéariser.
E XERCICE 4 (Interprétation géométrique)
Interpréter géométriquement les expressions suivantes
a + j b + j 2c = 0
Indication : faire un dessin !
4) En déduire que ABC est équilatéral si et seulement si
a 2 + b 2 + c 2 − (ab + ac + bc) = 0
1) |z| ≤ 1
2) |z − i | ≤ 2
E XERCICE 8 (***) Calculer, pour n ≥ 3, les trois sommes
3) |2z + i − 1| > 1
à !
n
A=
0≤3k≤n k
4) Re (z) ≥ −1
X
5) Im (z) < 0
6) 0 ≤ arg(z) ≤
π
6
Indication1
1 Adapter une méthode déjà vue dans les exercices sur les sommes et produits et s’aider de l’exercice 7
à !
n
B=
0≤3k+1≤n k
X
à !
n
C=
0≤3k+2≤n k
X
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2
Exercices - Mathématiques
R ÉSOLUTION D ’ ÉQUATIONS
Année 2016-2017
E XERCICE 18 (Racines n ièmes )
E XERCICE 9 (*)
Résoudre dans C l’équation
1) Donner les racines carrées de i et 1 + i
2) Donner les racines cubiques de −1 + i
2
z +z +1 = 0
E XERCICE 10 (*)
Résoudre dans C, les équations
3) Donner les racines 4ièmes de
3
p
3
2
+ 2i .
T RIGONOMÉTRIE
z
1) e = 5 + 5i
p
p
2) e2z = 2 + i 6
E XERCICE 19 (*)
Linéariser
E XERCICE 11 (**)
Résoudre dans C les équations suivantes :
p
p
1) z 2 − (1 + i 3)z − 1 + i 3 = 0
2) z 2 − 2(2 + i )z + 6 + 8i = 0
E XERCICE 12 (*)
Trouver deux nombres complexes dont la somme est −1 et
le produit est 1. Sont-ce les seuls ?
E XERCICE 13 (**)
Trouver tous les couples (u, v) ∈ C2 solution du système
½
u2 + v 2
uv
=0
=1
E XERCICE 14 (***)
Trouver l’ensemble des z ∈ C tels que
z(z − 1) = z 2 (z − 1)
1) cos4 x sin x
2) sin2 x cos3 x
3) cos4 x sin3 x
E XERCICE 20 (*) Résoudre l’équation
p
3 2
cos x = 2
sin2 x +
2
E XERCICE 21 (**) Résoudre l’équation
³
³
π´
π´
sin2 2x +
= cos2 x +
6
3
E XERCICE 22 (**)
Résoudre les équations
1) cos x + sin x = 0
p
2) cos x − 3 sin x = 0
E XERCICE 23 (**)
Résoudre
p
3
Indication2
1) 2 cos(2x − π3 ) =
E XERCICE 15 (***) Donner une condition nécessaire et suffisante sur (A, B,C ) ∈ C3 pour que
q
p
p
2) 2 cos2 x − ( 3 + 2) cos x + 32 = 0
∀z ∈ U,
Az + B z +C = 0
Indication3
E XERCICE 16 (****)
Déterminer les droites du plan complexe qui ont pour image une (portion de) droite par l’application exponentielle
(faites des schémas).
E XERCICE 17 Résoudre sur C, les équations :
1) z 2 + 2z + 4 = 0
p
2) z 2 + 3 3z + 9 = 0
p
3) z 2 + 2z − 2 = 0
4) z 3 + z 2 + z = 0
5) z 3 + (i − 1)z 2 − (i − 2)z = 2
6) z 4 − (5 − 14i )z 2 − 2(5i + 12) = 0
2 S’aider des modules.
3 z ∈ U ⇐⇒ |z|2 = 1
4 Penser aux exponentielles complexes.
3) (***) sin x + sin 2x + sin 3x = 0
E XERCICE 24 (**) Soit x ∈ R, résoudre les équations
5
1) arcsin x = arcsin 54 + arcsin 13
p
2) 2 arcsin x = arcsin(2x 1 − x 2 )
E XERCICE 25 (**) (grand classique)
P
Soit θ ∈ R et n ∈ N, Donner une expression, sans le signe ,
de
à !
n
n
n n
X
X
X
Cn =
cos(kθ)
Sn =
sin(kθ)
Tn =
cos(kθ)
k=0
k=0
k=0 k
Indication4
E XERCICE 26 (***)
Calculer sin(5a) en fonction de sin a et de ses différentes
puissances.
En déduire la valeur de sin( π5 )