LES NOMBRES COMPLEXES ET LA TRIGONOMÉTRIE

BCPST 1A Exercices - Mathématiques
M. Molin - Lycée Marcelin Berthelot
Année 2016-2017
LES NOMBRES COMPLEXES ET LA TRIGONOMÉTRIE
1 NOMBRES COMPLEXES
EXERCICE 1 (*)
Donner la forme algébriques des expressions suivantes
1) (1 +i x)(1 −i x)
pour x∈R
2) 1+ip3
p3−i
3) 1
1+ip3
3
4) (2 −i)(5 +2i)
3−4i
5) (1 +i)2015
6) pour n∈N∗, (1 +
cos θ+isin θ)n
EXERCICE 2 (*)
Donner la forme exponentielle des expressions suivantes
(pour n∈N∗)
1) sin x+icos xpour x∈R
2) ei x −1
ei x +1pour x∈]−π,π[
3) −2iei x pour x∈R
4) (1 −ip3)5
(1 +i)3
5) (1 +i)2015 −(1 −i)2015
EXERCICE 3
Mettre sous forme exponentielle (α∈R, (x,y)∈R2)
BAttention, le module est un réel positif.
1) 1−e−iα
2) 1
ei x +ei y
3) 1−itanα(α∈]−π
2,π 2)
4) Ã1+p2+i¡p3−p2¢
1+i!2015
5) (***) p2+p2+ip2−p2
Indication : Calculer cos2(θ) et linéariser.
EXERCICE 4 (Interprétation géométrique)
Interpréter géométriquement les expressions suivantes
1) |z|≤1
2) |z−i|≤2
3) |2z+i−1|>1
4) Re (z)≥−1
5) Im (z)<0
6) 0≤arg(z)≤π
6
7) 0≤arg( z
1−i)≤π 4
8) |z−i|=|z+1|
EXERCICE 5 (*)
Pour n∈N∗, calculer
n
X
k=0
ik
EXERCICE 6 (*)
Déterminer l’ensemble des nombres complexes ztels que
1) z
z−i∈R
2) z3∈RInterpréter géométriquement les solutions.
3) 1−i z
1+i z ∈R
EXERCICE 7 (**) (Autour du nombre j)
On pose j=e2iπ
3
1) Calculer j2et j3.
2) Calculer j+j2+j3. Donner une interprétation
géométrique.
Dans la suite, A,B,Csont trois points du plan complexe
d’affixes respectives a,b,c,
3) (***) Montrer que ABC est un triangle équilatéral di-
rect si et seulement si
a+j b +j2c=0
Indication : faire un dessin !
4) En déduire que ABC est équilatéral si et seulement si
a2+b2+c2−(ab +ac +bc)=0
EXERCICE 8 (***) Calculer, pour n≥3, les trois sommes
A=X
0≤3k≤nÃn
k!B=X
0≤3k+1≤nÃn
k!C=X
0≤3k+2≤nÃn
k!
Indication1
1Adapter une méthode déjà vue dans les exercices sur les sommes et produits et s’aider de l’exercice 7

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M. Molin - Lycée Marcelin Berthelot
Année 2016-2017
2 RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS
EXERCICE 9 (*)
Résoudre dans Cl’équation
z2+z+1=0
EXERCICE 10 (*)
Résoudre dans C, les équations
1) ez=5+5i
2) e2z=p2+ip6
EXERCICE 11 (**)
Résoudre dans Cles équations suivantes :
1) z2−(1 +ip3)z−1+ip3=0
2) z2−2(2 +i)z+6+8i=0
EXERCICE 12 (*)
Trouver deux nombres complexes dont la somme est −1 et
le produit est 1. Sont-ce les seuls ?
EXERCICE 13 (**)
Trouver tous les couples (u,v)∈C2solution du système
½u2+v2=0
uv =1
EXERCICE 14 (***)
Trouver l’ensemble des z∈Ctels que
z(z−1) =z2(z−1)
Indication2
EXERCICE 15 (***) Donner une condition nécessaire et suff-
isante sur (A,B,C)∈C3pour que
∀z∈U,Az +B z +C=0
Indication3
EXERCICE 16 (****)
Déterminer les droites du plan complexe qui ont pour im-
age une (portion de) droite par l’application exponentielle
(faites des schémas).
EXERCICE 17 Résoudre sur C, les équations :
1) z2+2z+4=0
2) z2+3p3z+9=0
3) z2+2z−p2=0
4) z3+z2+z=0
5) z3+(i−1)z2−(i−2)z=2
6) z4−(5 −14i)z2−2(5i+12) =0
EXERCICE 18 (Racines nièmes)
1) Donner les racines carrées de iet 1 +i
2) Donner les racines cubiques de −1+i
3) Donner les racines 4ièmes de p3
2+i 2.
3 TRIGONOMÉTRIE
EXERCICE 19 (*)
Linéariser
1) cos4xsin x
2) sin2xcos3x
3) cos4xsin3x
EXERCICE 20 (*) Résoudre l’équation
sin2x+3p2
2cos x=2
EXERCICE 21 (**) Résoudre l’équation
sin2³2x+
π
6´=cos2³x+
π
3´
EXERCICE 22 (**)
Résoudre les équations
1) cos x+sin x=0
2) cos x−p3sin x=0
EXERCICE 23 (**)
Résoudre
1) 2cos(2x−π
3)=p3
2) 2cos2x−(p3+p2)cos x+q3
2=0
3) (***) sin x+sin 2x+sin 3x=0
EXERCICE 24 (**) Soit x∈R, résoudre les équations
1) arcsin x=arcsin 4
5+arcsin 5 13
2) 2 arcsin x=arcsin(2xp1−x2)
EXERCICE 25 (**) (grand classique)
Soit θ∈Ret n∈N, Donner une expression, sans le signe P,
de
Cn=
n
X
k=0
cos(kθ)Sn=
n
X
k=0
sin(kθ)Tn=
n
X
k=0Ãn
k!cos(kθ)
Indication4
EXERCICE 26 (***)
Calculer sin(5a) en fonction de sin aet de ses différentes
puissances.
En déduire la valeur de sin( π
5)
2S’aider des modules.
3z∈U⇐⇒ |z|2=1
4Penser aux exponentielles complexes.