Lycée Carnot — 2016-2017 PSI* TD 11 : Suites et séries de fonction et intégration E XERCICE 1 (Quelques contre-exemples) 1. Trouver une suite de fonctions ( f n )n∈N intégrables sur [0, 1], convergeant simplement vers une fonction f intégrable sur [0, 1], mais telle que lim Z 1 n→+∞ 0 f n 6= Z 1 0 f. 2. Trouver une suite de fonctions ( f n )n∈N intégrables sur [0, +∞[, convergeant uniformément vers une fonction f intégrable sur [0, +∞[, mais telle que lim Z +∞ n→+∞ 0 f n 6= Z +∞ 0 f. 3. Trouver une série de fonctions ∑n≥0 f n intégrables sur [0, 1[, convergeant simplement sur [0, 1[, mais dont la somme n’est pas intégrable sur [0, 1[. 4. Trouver une série de fonctions ∑n≥0 f n intégrables sur [0, +∞[, convergeant sur [0, +∞[, ! simplement Z +∞ +∞ +∞ Z +∞ dont la somme est intégrable sur [0, +∞[, mais telle que f ( t ) dt 6 = f ( t ) dt . n ∑ n ∑ 0 n =0 n =0 0 E XERCICE 2 On pose pour n ∈ N, un = π 2 Z 0 (sin t)n dt. Calculer lim un . n→+∞ E XERCICE 3 Trouver lim Z n n→+∞ 0 t 1+ n n e−2t dt. E XERCICE 4 Soit f : R → C, continue par morceaux, bornée. Calculer lim Z +∞ n→+∞ −∞ n f (t) dt 1 + n2 t2 E XERCICE 5 +∞ Soit ( an )n∈N une suite strictement positive, croissante et non bornée. Soit f : t 7→ ∑ (−1)n e−a t . n n =0 1. Donner des exemples de suites ( an )n∈N qui montrent que les séries de terme général e−an et 1/an ne sont pas nécessairement convergentes. 2. Montrer que f est bien définie sur R+ ∗. 3. Montrer que f est continue. 4. Calculer Z +∞ 0 f (t)dt. Indication : on ne peut pas appliquer le théorème de convergence dominée directement (pourquoi ?), mais on peut essayer de l’appliquer aux sommes partielles ou au reste. E XERCICE 6 Soit α > 0 et f : R+ → C, continue par morceaux, telle que t 7→ e−αt f (t) soit intégrable sur R+ . On R +∞ pose g : x ≥ α 7→ 0 e− xt f (t)dt. 1. Montrer que g est continue sur [α, +∞[. 2. Montrer que g( x ) −−−−→ 0. 3. Montrer que g est x →+∞ C ∞ sur ]α, +∞[. 1 Lycée Carnot — 2016-2017 E XERCICE 7 PSI* Centrale-Supélec On pose f (α) = 1. 2. 3. 4. 5. Z +∞ dt t α (1 + t ) 0 Étudier l’ensemble de définition de f . Donner un équivalent de f en 0. Montrer que le graphe de f admet une symétrie d’axe x = 1/2. Montrer que f est continue sur son ensemble de définition. Calculer la borne inférieure de f . E XERCICE 8 Soit f : I × R → R et u, v : I → R continues. Montrer la continuité de la fonction x 7→ P ROBLÈME 1 Z v( x ) u( x ) f ( x, t)dt CCP PSI 2009 Pour tout nombre réel x tel que l’intégrale généralisée Z +∞ 1 − cos(t) − xt e dt converge, on note ϕ( x ) 2 t 0 la valeur de cette intégrale. Pour t ∈ [0, +∞[, on définit les fonctions d et δ par d(t) = t − 1 + cos(t) et 2 δ(t) = t2 − 1 + cos(t). I.1. Étude des fonctions d et δ. I.1.1 Étudier la fonction d ; en déduire qu’il existe un nombre réel α tel que, pour tout nombre réel t 1−cos(t) strictement positif, on ait l’inégalité : 0 ≤ ≤ α. t I.2. I.3. I.4. I.5. I.1.2 Étudier la fonction δ ; en déduire qu’il existe un nombre réel β tel que, pour tout nombre réel t 1−cos(t) ≤ β. strictement positif, on ait l’inégalité : 0 ≤ t2 Existence de la fonction ϕ sur [0, +∞[. R +∞ 1−cos(t) Établir la convergence de l’intégrale généralisée 0 dt. En déduire que ϕ( x ) existe pour tout t2 x appartenant à [0, +∞[. Limite de la fonction ϕ en +∞. I.3.1 Préciser le signe de ϕ( x1 ) − ϕ( x2 ), pour 0 ≤ x1 ≤ x2 . En déduire que la fonction ϕ admet une limite finie λ en +∞. I.3.2 Déterminer la valeur de λ (on pourra utiliser I.1.2). Caractère C k de la fonction ϕ. I.4.1 Montrer que la fonction ϕ est continue sur [0, +∞[. I.4.2 Montrer que la fonction ϕ est de classe C 1 sur ]0, +∞[ (on pourra utiliser I.1.1). I.4.3 Montrer que la fonction ϕ0 admet une limite finie (que l’on précisera) en +∞. I.4.4 Montrer que la fonction ϕ est de classe C 2 sur ]0, +∞[. I.4.5 Expliciter ϕ00 ( x ) pour x ∈]0, +∞[. I.4.6 Expliciter ϕ0 ( x ) pour x ∈]0, +∞[. La fonction ϕ est-elle dérivable en 0 ? Expression explicite de la fonction ϕ( x ). 2 I.5.1 Déterminer la limite de x ln x2x+1 lorsque x tend vers +∞. I.5.2 Expliciter une primitive de la fonction x 7→ ln(1 + x2 ) (on pourra utiliser une intégration par parties). I.5.3 Expliciter ϕ( x ) pour x appartenant à ]0, +∞[. I.5.4 Déterminer ϕ(0). 2