TD 11 : Suites et séries de fonction et intégration

Lycée Carnot — 2016-2017
PSI*
TD 11 : Suites et séries de fonction et intégration
E XERCICE 1 (Quelques contre-exemples)
1. Trouver une suite de fonctions ( f n )n∈N intégrables sur [0, 1], convergeant simplement vers une fonction f intégrable sur [0, 1], mais telle que lim
Z 1
n→+∞ 0
f n 6=
Z 1
0
f.
2. Trouver une suite de fonctions ( f n )n∈N intégrables sur [0, +∞[, convergeant uniformément vers une
fonction f intégrable sur [0, +∞[, mais telle que lim
Z +∞
n→+∞ 0
f n 6=
Z +∞
0
f.
3. Trouver une série de fonctions ∑n≥0 f n intégrables sur [0, 1[, convergeant simplement sur [0, 1[, mais
dont la somme n’est pas intégrable sur [0, 1[.
4. Trouver une série de fonctions ∑n≥0 f n intégrables sur [0, +∞[, convergeant
sur [0, +∞[,
! simplement
Z +∞ +∞
+∞ Z +∞
dont la somme est intégrable sur [0, +∞[, mais telle que
f
(
t
)
dt
6
=
f
(
t
)
dt
.
n
∑ n
∑
0
n =0
n =0
0
E XERCICE 2
On pose pour n ∈ N, un =
π
2
Z
0
(sin t)n dt. Calculer lim un .
n→+∞
E XERCICE 3
Trouver lim
Z n
n→+∞ 0
t
1+
n
n
e−2t dt.
E XERCICE 4
Soit f : R → C, continue par morceaux, bornée. Calculer lim
Z +∞
n→+∞ −∞
n f (t)
dt
1 + n2 t2
E XERCICE 5
+∞
Soit ( an )n∈N une suite strictement positive, croissante et non bornée. Soit f : t 7→
∑ (−1)n e−a t .
n
n =0
1. Donner des exemples de suites ( an )n∈N qui montrent que les séries de terme général e−an et 1/an ne
sont pas nécessairement convergentes.
2. Montrer que f est bien définie sur R+
∗.
3. Montrer que f est continue.
4. Calculer
Z +∞
0
f (t)dt. Indication : on ne peut pas appliquer le théorème de convergence dominée
directement (pourquoi ?), mais on peut essayer de l’appliquer aux sommes partielles ou au reste.
E XERCICE 6
Soit α > 0 et f : R+ → C, continue par morceaux, telle que t 7→ e−αt f (t) soit intégrable sur R+ . On
R +∞
pose g : x ≥ α 7→ 0 e− xt f (t)dt.
1. Montrer que g est continue sur [α, +∞[.
2. Montrer que g( x ) −−−−→ 0.
3. Montrer que g est
x →+∞
C ∞ sur
]α, +∞[.
1
Lycée Carnot — 2016-2017
E XERCICE 7
PSI*
Centrale-Supélec
On pose
f (α) =
1.
2.
3.
4.
5.
Z +∞
dt
t α (1 + t )
0
Étudier l’ensemble de définition de f .
Donner un équivalent de f en 0.
Montrer que le graphe de f admet une symétrie d’axe x = 1/2.
Montrer que f est continue sur son ensemble de définition.
Calculer la borne inférieure de f .
E XERCICE 8
Soit f : I × R → R et u, v : I → R continues. Montrer la continuité de la fonction
x 7→
P ROBLÈME 1
Z v( x )
u( x )
f ( x, t)dt
CCP PSI 2009
Pour tout nombre réel x tel que l’intégrale généralisée
Z +∞
1 − cos(t) − xt
e dt converge, on note ϕ( x )
2
t
0
la valeur de cette intégrale. Pour t ∈ [0, +∞[, on définit les fonctions d et δ par d(t) = t − 1 + cos(t) et
2
δ(t) = t2 − 1 + cos(t).
I.1. Étude des fonctions d et δ.
I.1.1 Étudier la fonction d ; en déduire qu’il existe un nombre réel α tel que, pour tout nombre réel t
1−cos(t)
strictement positif, on ait l’inégalité : 0 ≤
≤ α.
t
I.2.
I.3.
I.4.
I.5.
I.1.2 Étudier la fonction δ ; en déduire qu’il existe un nombre réel β tel que, pour tout nombre réel t
1−cos(t)
≤ β.
strictement positif, on ait l’inégalité : 0 ≤
t2
Existence de la fonction ϕ sur [0, +∞[.
R +∞ 1−cos(t)
Établir la convergence de l’intégrale généralisée 0
dt. En déduire que ϕ( x ) existe pour tout
t2
x appartenant à [0, +∞[.
Limite de la fonction ϕ en +∞.
I.3.1 Préciser le signe de ϕ( x1 ) − ϕ( x2 ), pour 0 ≤ x1 ≤ x2 . En déduire que la fonction ϕ admet une
limite finie λ en +∞.
I.3.2 Déterminer la valeur de λ (on pourra utiliser I.1.2).
Caractère C k de la fonction ϕ.
I.4.1 Montrer que la fonction ϕ est continue sur [0, +∞[.
I.4.2 Montrer que la fonction ϕ est de classe C 1 sur ]0, +∞[ (on pourra utiliser I.1.1).
I.4.3 Montrer que la fonction ϕ0 admet une limite finie (que l’on précisera) en +∞.
I.4.4 Montrer que la fonction ϕ est de classe C 2 sur ]0, +∞[.
I.4.5 Expliciter ϕ00 ( x ) pour x ∈]0, +∞[.
I.4.6 Expliciter ϕ0 ( x ) pour x ∈]0, +∞[. La fonction ϕ est-elle dérivable en 0 ?
Expression explicite de la fonction ϕ( x ).
2 I.5.1 Déterminer la limite de x ln x2x+1 lorsque x tend vers +∞.
I.5.2 Expliciter une primitive de la fonction x 7→ ln(1 + x2 ) (on pourra utiliser une intégration par
parties).
I.5.3 Expliciter ϕ( x ) pour x appartenant à ]0, +∞[.
I.5.4 Déterminer ϕ(0).
2