TD 11 : Suites et séries de fonction et intégration

Lycée Carnot — 2016-2017 PSI*
TD 11 : Suites et séries de fonction et intégration
EXERCICE 1 (Quelques contre-exemples)
1. Trouver une suite de fonctions (fn)n∈Nintégrables sur [0, 1], convergeant simplement vers une fonc-
tion fintégrable sur [0, 1], mais telle que lim
n→+∞Z1
0fn6=Z1 0f.
2. Trouver une suite de fonctions (fn)n∈Nintégrables sur [0, +∞[, convergeant uniformément vers une
fonction fintégrable sur [0, +∞[, mais telle que lim
n→+∞Z+∞
0fn6=Z+∞ 0f.
3. Trouver une série de fonctions ∑n≥0fnintégrables sur [0, 1[, convergeant simplement sur [0, 1[, mais
dont la somme n’est pas intégrable sur [0, 1[.
4. Trouver une série de fonctions ∑n≥0fnintégrables sur [0, +∞[, convergeant simplement sur [0, +∞[,
dont la somme est intégrable sur [0, +∞[, mais telle que Z+∞
0 +∞
∑
n=0
fn(t)!dt 6=
+∞
∑
n=0Z+∞
0fn(t)dt.
EXERCICE 2
On pose pour n∈N,un=Zπ
2
0(sin t)ndt. Calculer lim
n→+∞un.
EXERCICE 3
Trouver lim
n→+∞Zn
01+t
nn
e−2tdt.
EXERCICE 4
Soit f:R→C, continue par morceaux, bornée. Calculer lim
n→+∞Z+∞
−∞
n f (t)
1+n2t2dt
EXERCICE 5
Soit (an)n∈Nune suite strictement positive, croissante et non bornée. Soit f:t7→
+∞
∑
n=0
(−1)ne−ant.
1. Donner des exemples de suites (an)n∈Nqui montrent que les séries de terme général e−anet 1/anne
sont pas nécessairement convergentes.
2. Montrer que fest bien définie sur R+
∗.
3. Montrer que fest continue.
4. Calculer Z+∞
0f(t)dt. Indication : on ne peut pas appliquer le théorème de convergence dominée
directement (pourquoi ?), mais on peut essayer de l’appliquer aux sommes partielles ou au reste.
EXERCICE 6
Soit α>0 et f:R+→C, continue par morceaux, telle que t7→ e−αtf(t)soit intégrable sur R+. On
pose g:x≥α7→ R+∞
0e−xt f(t)dt.
1. Montrer que gest continue sur [α,+∞[.
2. Montrer que g(x)−−−−→
x→+∞0.
3. Montrer que gest C∞sur ]α,+∞[.
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EXERCICE 7Centrale-Supélec
On pose
f(α) = Z+∞
0
dt
tα(1+t)
1. Étudier l’ensemble de définition de f.
2. Donner un équivalent de fen 0.
3. Montrer que le graphe de fadmet une symétrie d’axe x=1/2.
4. Montrer que fest continue sur son ensemble de définition.
5. Calculer la borne inférieure de f.
EXERCICE 8
Soit f:I×R→Ret u,v:I→Rcontinues. Montrer la continuité de la fonction
x7→ Zv(x)
u(x)f(x,t)dt
PROBLÈME 1CCP PSI 2009
Pour tout nombre réel xtel que l’intégrale généralisée Z+∞
0
1−cos(t)
t2e−xtdt converge, on note ϕ(x)
la valeur de cette intégrale. Pour t∈[0, +∞[, on définit les fonctions det δpar d(t) = t−1+cos(t)et
δ(t) = t2
2−1+cos(t).
I.1. Étude des fonctions det δ.
I.1.1 Étudier la fonction d; en déduire qu’il existe un nombre réel αtel que, pour tout nombre réel t
strictement positif, on ait l’inégalité : 0 ≤1−cos(t)
t≤α.
I.1.2 Étudier la fonction δ; en déduire qu’il existe un nombre réel βtel que, pour tout nombre réel t
strictement positif, on ait l’inégalité : 0 ≤1−cos(t)
t2≤β.
I.2. Existence de la fonction ϕsur [0, +∞[.
Établir la convergence de l’intégrale généralisée R+∞
01−cos(t)
t2dt. En déduire que ϕ(x)existe pour tout
xappartenant à [0, +∞[.
I.3. Limite de la fonction ϕen +∞.
I.3.1 Préciser le signe de ϕ(x1)−ϕ(x2), pour 0 ≤x1≤x2. En déduire que la fonction ϕadmet une
limite finie λen +∞.
I.3.2 Déterminer la valeur de λ(on pourra utiliser I.1.2).
I.4. Caractère Ckde la fonction ϕ.
I.4.1 Montrer que la fonction ϕest continue sur [0, +∞[.
I.4.2 Montrer que la fonction ϕest de classe C1sur ]0, +∞[(on pourra utiliser I.1.1).
I.4.3 Montrer que la fonction ϕ0admet une limite finie (que l’on précisera) en +∞.
I.4.4 Montrer que la fonction ϕest de classe C2sur ]0, +∞[.
I.4.5 Expliciter ϕ00(x)pour x∈]0, +∞[.
I.4.6 Expliciter ϕ0(x)pour x∈]0, +∞[. La fonction ϕest-elle dérivable en 0 ?
I.5. Expression explicite de la fonction ϕ(x).
I.5.1 Déterminer la limite de xln x2
x2+1lorsque xtend vers +∞.
I.5.2 Expliciter une primitive de la fonction x7→ ln(1+x2)(on pourra utiliser une intégration par
parties).
I.5.3 Expliciter ϕ(x)pour xappartenant à ]0, +∞[.
I.5.4 Déterminer ϕ(0).
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