MATHÉMATIQUES – DEVOIR SURVEILLÉ NO 1

Lycée Dupuy de Lôme – 2016/2017 ECS 1
MATHÉMATIQUES – DEVOIR SURVEILLÉ NO1
9 septembre 2016 – Durée : 3 heures – Calculatrices interdites
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entreront pour une part importante de l’appréciation des copies. Tout résultat ou
conclusion doit être mis en avant (encadrez, soulignez).
L’usage de documents, d’une calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à
prendre.
EXERCICE 1– COURS, INÉQUATIONS
Les questions de cet exercice sont toutes indépendantes. On précisera bien les propriétés
des fonctions usuelles utilisées.
1. Rappeler la définition de la fonction valeur absolue.
2. Pour Aune partie de R, donner la définition de « La partie Aest majorée par le réel M».
3. Pour Aune partie de Ret m∈R, donner la définition de « mest le minimum de A».
4. Soit f:R→Rune fonction dérivable et a∈R. Donner l’équation de la tangente à la
courbe de fau point d’abscisse a.
5. Soit f:I→Rune fonction. Donner la définition de « fest décroissante sur l’intervalle I».
6. Résoudre l’inéquation x3−1>0, d’inconnue réelle x.
7. Résoudre l’inéquation |2x+1|6|x−1|, d’inconnue réelle x.
8. Résoudre l’inéquation px+2<x, d’inconnue réelle x.
EXERCICE 2– PARTIE ENTIÈRE
On considère la fonction f:x7→ px−bxcoù bxcdésigne la partie entière du réel x.
1. Soit x∈R. Rappeler l’encadrement de xà l’aide de sa partie entière bxc.
2. Déterminer l’ensemble de définition de f.
3. Montrer que fest périodique de période 1.
4. Déterminer une expression simplifiée de f(x) pour x∈[0,1[.
5. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe de fsur [−2;2[.
EXERCICE 3– ÉTUDE D’UNE FONCTION
On considère la fonction h:x7−→ 1
2lnµ1+x 1−x¶.
1. Déterminer le domaine de définition Dhde h.
2. Étudier la parité de h.
3. Dresser le tableau de variation complet de hsur Dh.
4. On considère la fonction g:x7−→ ex−e−x
ex+e−x, définie sur R.
(a) Montrer que, pour tout x∈R,g(x)∈]−1,1[.
(b) Déterminer la fonction composée g◦h.
(c) Justifier que la composée h◦gest définie sur Rpuis déterminer une expression
simple de celle-ci.
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EXERCICE 4– UNE INÉGALITÉ
L’objet de cet exercice est de démontrer par plusieurs méthodes l’inégalité suivante :
(?) Pour tous nombres réels aet bstrictement positifs, a
b+b a>2
1. PREMIÈRE DÉMARCHE :une approche algébrique
(a) Démontrer rigoureusement : ∀(a,b)∈R∗
+,µa
b+b a>2¶⇐⇒¡a2+b2−2ab >0¢.
(b) En déduire l’inégalité.
(c) Déterminer les réels aet bde R∗
+qui vérifient le cas d’égalité : a
b+b a=2.
2. SECONDE DÉMARCHE :une approche analytique
On considère la fonction fdéfinie sur ]0,+∞[ par f(x)=x+1
x.
(a) Justifier que fest dérivable et donner une expression pour sa dérivée.
(b) Donner le tableau de variation complet de f.
Toutes les informations figurant dans ce tableau devront être justifiées.
(c) Justifier que la droite d’équation y=xest une asymptote à la courbe Cfreprésen-
tative de f. Préciser la position relative de cette asymptote et de Cf. La courbe Cf
admet-elle une autre droite asymptote ?
(d) Tracer l’allure de Cf.
(e) En déduire l’inégalité (?) et son cas d’égalité.
EXERCICE 5– D’APRÈS EDHEC ECE 2008
Pour tout entier naturel nnon nul, on définit la fonction fnpar :
∀x∈R,fn(x)=1
1+ex+n x
On appelle (Cn)sa courbe représentative dans un repère orthonormé ¡O,~ ı,~ ¢d’unité 5 cm.
1. Soit n∈N∗fixé.
(a) Déterminer, pour tout réel x,f0
n(x)et f00 n(x).
(b) En déduire que la fonction fnest strictement croissante sur R
2. Soit n∈N∗fixé.
(a) Calculer lim
x→−∞ fn(x)ainsi que lim x→−∞ fn(x).
(b) Montrer que les droites (Dn)et ¡D0
n¢d’équations y=nx et y=nx +1 sont asymp-
totes à (Cn).
(c) On considère ici n=1. Donner l’équation de la tangente (T1)à la courbe (C1)au
point A1d’abscisse 0.
Tracer sur un même dessin les droites (D1),¡D0
1¢et (T1)ainsi que l’allure de la
courbe (C1).
3. (a) Soit n∈N∗. Montrer que l’équation fn(x)=0 possède une unique solution sur R,
notée un.
(b) Montrer que l’on a : ∀n∈N∗,−1
n<un<0.
(c) En déduire la limite de la suite (un)
(d) En revenant à la définition de un, montrer que nun→
n→+∞ −1
2.
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