MATHÉMATIQUES – DEVOIR SURVEILLÉ NO 1

Lycée Dupuy de Lôme – 2016/2017
ECS 1
M ATHÉMATIQUES – D EVOIR SURVEILLÉ N O 1
9 septembre 2016 – Durée : 3 heures – Calculatrices interdites
La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des
raisonnements entreront pour une part importante de l’appréciation des copies. Tout résultat ou
conclusion doit être mis en avant (encadrez, soulignez).
L’usage de documents, d’une calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa
copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à
prendre.
E XERCICE 1 – C OURS , I NÉQUATIONS
Les questions de cet exercice sont toutes indépendantes. On précisera bien les propriétés
des fonctions usuelles utilisées.
1. Rappeler la définition de la fonction valeur absolue.
2. Pour A une partie de R, donner la définition de « La partie A est majorée par le réel M ».
3. Pour A une partie de R et m ∈ R, donner la définition de « m est le minimum de A ».
4. Soit f : R → R une fonction dérivable et a ∈ R. Donner l’équation de la tangente à la
courbe de f au point d’abscisse a.
5. Soit f : I → R une fonction. Donner la définition de « f est décroissante sur l’intervalle I ».
6. Résoudre l’inéquation x 3 − 1 > 0, d’inconnue réelle x.
7. Résoudre l’inéquation |2x + 1| 6 |x − 1|, d’inconnue réelle x.
p
8. Résoudre l’inéquation x + 2 < x, d’inconnue réelle x.
E XERCICE 2 – PARTIE ENTIÈRE
On considère la fonction f : x 7→
p
x − bxc où bxc désigne la partie entière du réel x.
1. Soit x ∈ R. Rappeler l’encadrement de x à l’aide de sa partie entière bxc.
2. Déterminer l’ensemble de définition de f .
3. Montrer que f est périodique de période 1.
4. Déterminer une expression simplifiée de f (x) pour x ∈ [0, 1[.
5. Dans un repère orthonormé, tracer la courbe de f sur [−2; 2[.
E XERCICE 3 – É TUDE D’ UNE FONCTION
µ
¶
1+x
1
ln
.
2
1−x
1. Déterminer le domaine de définition Dh de h.
On considère la fonction h : x 7−→
2. Étudier la parité de h.
3. Dresser le tableau de variation complet de h sur Dh .
ex − e−x
4. On considère la fonction g : x 7−→ x
, définie sur R.
e + e−x
(a) Montrer que, pour tout x ∈ R, g (x) ∈] − 1, 1[.
(b) Déterminer la fonction composée g ◦ h.
(c) Justifier que la composée h ◦ g est définie sur R puis déterminer une expression
simple de celle-ci.
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E XERCICE 4 – U NE INÉGALITÉ
L’objet de cet exercice est de démontrer par plusieurs méthodes l’inégalité suivante :
(?)
Pour tous nombres réels a et b strictement positifs,
a b
+ >2
b a
1. P REMIÈRE DÉMARCHE : une approche algébrique
(a) Démontrer rigoureusement : ∀(a, b) ∈ R∗+ ,
µ
¶
¡
¢
a b
+ > 2 ⇐⇒ a 2 + b 2 − 2ab > 0 .
b a
(b) En déduire l’inégalité.
(c) Déterminer les réels a et b de R∗+ qui vérifient le cas d’égalité :
a b
+ = 2.
b a
2. S ECONDE DÉMARCHE : une approche analytique
1
On considère la fonction f définie sur ]0, +∞[ par f (x) = x + .
x
(a) Justifier que f est dérivable et donner une expression pour sa dérivée.
(b) Donner le tableau de variation complet de f .
Toutes les informations figurant dans ce tableau devront être justifiées.
(c) Justifier que la droite d’équation y = x est une asymptote à la courbe C f représentative de f . Préciser la position relative de cette asymptote et de C f . La courbe C f
admet-elle une autre droite asymptote ?
(d) Tracer l’allure de C f .
(e) En déduire l’inégalité (?) et son cas d’égalité.
E XERCICE 5 – D’ APRÈS EDHEC ECE 2008
Pour tout entier naturel n non nul, on définit la fonction f n par :
∀x ∈ R, f n (x) =
1
+n x
1 + ex
¡
¢
On appelle (C n ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé O,~ı,~ d’unité 5 cm.
1. Soit n ∈ N∗ fixé.
(a) Déterminer, pour tout réel x, f n0 (x) et f n00 (x).
(b) En déduire que la fonction f n est strictement croissante sur R
2. Soit n ∈ N∗ fixé.
(a) Calculer lim f n (x) ainsi que lim f n (x).
x→−∞
x→−∞
¡ ¢
(b) Montrer que les droites (D n ) et D n0 d’équations y = nx et y = nx + 1 sont asymptotes à (C n ).
(c) On considère ici n = 1. Donner l’équation de la tangente (T1 ) à la courbe (C 1 ) au
point A 1 d’abscisse 0.
¡ ¢
Tracer sur un même dessin les droites (D 1 ), D 10 et (T1 ) ainsi que l’allure de la
courbe (C 1 ).
3.
(a) Soit n ∈ N∗ . Montrer que l’équation f n (x) = 0 possède une unique solution sur R,
notée u n .
−1
< u n < 0.
(b) Montrer que l’on a : ∀n ∈ N∗ ,
n
(c) En déduire la limite de la suite (u n )
1
(d) En revenant à la définition de u n , montrer que nu n → − .
n→+∞ 2
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