1 Voyage de “Curiosity” vers Mars

L1 PC et IM 2011–2012
UEL SME 2011–2012
Examen PHY1 – Session 1
UFR-Sciences de Luminy
Centre d’Océanologie de Marseille
Département de Physique
DYNAMIQUE DES SYSTEMES – PHY1
Examen du 5 janvier 2012
Durée : 2 h — Documents non autorisés — Calculatrice non autorisée
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Voyage de “Curiosity” vers Mars
1.1
Questions de cours
Le soleil, de masse M , exerce sur une planète de masse m M la force gravitationnelle
GM m
F~ = − 2 ~er
r
(1)
où G désigne la constante de Newton, ~er la direction du rayon vecteur ~r soleil-planète et
enfin r = k ~r k > 0.
1) Rappeler le principe fondamental de la dynamique (deuxième loi de Newton) reliant
l’accélération ~a de la planète, sa masse m et la force F~ .
~ = ~r × m~v ?
2) Soit ~v la vitesse de la planète ; que représente le produit vectoriel L
~ est une constante du mouvement. En déduire que la trajectoire est plane.
Prouver que L
1.2
Orbites circulaires & troisième loi de Kepler
On choisira désormais des coordonnées polaires (r, θ) dans le plan de l’orbite planétaire.
3) Montrer que si la trajectoire est circulaire, de rayon r = R, on a alors ~v = Rω ~eθ où
ω = θ̇ est la vitesse angulaire et ~eθ = d~er /dθ. Déduire de la question 1.1.2) que ω = const.
4) Calculer l’accélération ~a de la planète en fonction de R, ω et ~er .
5) Déduire du principe fondamental de la dynamique la troisième loi de Kepler :
ω 2 R3 = GM pour les orbites circulaires.
6) On admettra la troisième loi de Kepler, valable pour les orbites elliptiques :
ω 2 a3 = GM.
Que représentent ici a ? Donner la relation entre ω et la période T du mouvement.
1
(2)
1.3
Orbite de transfert
Le robot “Curiosity”, lancé fin novembre 2011, doit se poser sur Mars en août 2012 pour
explorer la planète rouge. On se propose de calculer la durée du voyage en supposant que
la Terre & Mars ont des orbites circulaires de rayons respectifs RT & RM , centrées en O.
Le robot quitte la Terre au point T et emprunte une orbite elliptique — dite ellipse de
1.5
1.0
0.5
M
-1.5
O
-1.0
T
0.5
-0.5
1.0
1.5
RT
RM
-0.5
-1.0
-1.5
Figure 1 – Voyage de “Curiosity” : T(erre → M(ars
Hohmann1 — pour rejoindre Mars sur son orbite au point M ; voir la Figure 1.
7) S’aider de la figure pour déterminer a défini en 1.2.6), puis calculer le rapport a/RT
pour cette orbite elliptique en fonction de λ = RM /RT .
8) Déduire de l’Equation (2) la période T de l’orbite de la sonde en fonction de λ et
de l’année terrestre TT . En déduire la durée ∆t du voyage de T à M.
√
9) Application numérique : sachant que λ ∼
= 3/2 et que 125 ∼
= 11,2 calculer ∆t en
mois terrestres. Comparer ce résultat aux 8,5 mois prévus par la NASA pour le voyage
interplanétaire.
1. Walter Hohmann (1880–1945).
2
2
Collisions de wagons en gare de triage
Un wagon W1 de masse m1 circule à vitesse constante v1 6= 0 sur un rail rectiligne en
gare de triage. Il entre en collision avec un wagon W2 de masse m2 , à l’arrêt sur ce rail.
(L’énergie potentielle du système avant et après collision est nulle ; les forces de frottement
sont négligées.)
1) La collision est élastique ; on appelle v10 et v20 les vitesses de W1 et W2 après le choc.
Déduire de la loi de conservation de l’impulsion totale la vitesse v10 en fonction de v1 , v20
et des masses m1 et m2 . (Noter que les vitesses sont ici des nombres dont le signe donne
la direction du mouvement des wagons.)
2) Déduire alors de la loi de conservation de l’énergie totale la vitesse finale v20 6= 0
de W2 en fonction de v1 et des masses des wagons.
3) Exprimer enfin la vitesse finale v10 de W1 en fonction de v1 et des masses des wagons.
Bonus :
Dans une autre manœuvre, nos mêmes wagons W1 et W2 se retrouvent automatiquement
attachés l’un à l’autre après collision, pour former un attelage W .
4) Calculer la vitesse v 0 de W en fonction de v1 et des masses m1 et m2 .
5) L’énergie totale n’est plus conservée. Calculer la différence ∆E = E 0 − E entre les
énergies E 0 après et E avant collision. Quel est le signe de ∆E ? Interprétation physique ?
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