1 Voyage de “Curiosity” vers Mars

UFR-Sciences de Luminy L1 PC et IM 2011–2012
Centre d’Oc´ eanologie de Marseille UEL SME 2011–2012
D´ epartement de Physique Examen PHY1 – Session 1
DYNAMIQUE DES SYSTEMES – PHY1
Examen du 5 janvier 2012
Dur´ee : 2 h — Documents non autoris´es — Calculatrice non autoris´ee
1 Voyage de “Curiosity” vers Mars
1.1 Questions de cours
Le soleil, de masse M, exerce sur une plan`ete de masse mMla force gravitationnelle
~
F=−GMm
r2~er(1)
o`u Gd´esigne la constante de Newton, ~erla direction du rayon vecteur ~r soleil-plan`ete et
enfin r=k~r k>0.
1) Rappeler le principe fondamental de la dynamique (deuxi`eme loi de Newton) reliant
l’acc´el´eration ~a de la plan`ete, sa masse met la force ~ F.
2) Soit ~v la vitesse de la plan`ete ; que repr´esente le produit vectoriel ~ L=~r ×m~v ?
Prouver que ~ Lest une constante du mouvement. En d´eduire que la trajectoire est plane.
1.2 Orbites circulaires & troisi`eme loi de Kepler
On choisira d´esormais des coordonn´ees polaires (r, θ) dans le plan de l’orbite plan´etaire.
3) Montrer que si la trajectoire est circulaire, de rayon r=R, on a alors ~v =Rω ~eθo`u
ω=˙ θest la vitesse angulaire et ~eθ=d~er/dθ. D´eduire de la question 1.1.2) que ω= const.
4) Calculer l’acc´el´eration ~a de la plan`ete en fonction de R, ω et ~er.
5) D´eduire du principe fondamental de la dynamique la troisi`eme loi de Kepler :
ω2R3=GM pour les orbites circulaires.
6) On admettra la troisi`eme loi de Kepler, valable pour les orbites elliptiques :
ω2a3=GM. (2)
Que repr´esentent ici a? Donner la relation entre ωet la p´eriode Tdu mouvement.
1

1.3 Orbite de transfert
Le robot “Curiosity”, lanc´e fin novembre 2011, doit se poser sur Mars en aoˆut 2012 pour
explorer la plan`ete rouge. On se propose de calculer la dur´ee du voyage en supposant que
la Terre & Mars ont des orbites circulaires de rayons respectifs RT&RM, centr´ees en O.
Le robot quitte la Terre au point Tet emprunte une orbite elliptique — dite ellipse de
R
R
T
M
T
O
M
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
Figure 1 – Voyage de “Curiosity” : T(erre →M(ars
Hohmann1— pour rejoindre Mars sur son orbite au point M; voir la Figure 1.
7) S’aider de la figure pour d´eterminer ad´efini en 1.2.6), puis calculer le rapport a/RT
pour cette orbite elliptique en fonction de λ=RM/RT.
8) D´eduire de l’Equation (2) la p´eriode Tde l’orbite de la sonde en fonction de λet
de l’ann´ee terrestre TT. En d´eduire la dur´ee ∆tdu voyage de T`a M.
9) Application num´erique : sachant que λ∼
=3/2 et que √125 ∼ =11,2 calculer ∆ten
mois terrestres. Comparer ce r´esultat aux 8,5 mois pr´evus par la NASA pour le voyage
interplan´etaire.
1. Walter Hohmann (1880–1945).
2

2 Collisions de wagons en gare de triage
Un wagon W1de masse m1circule `a vitesse constante v16= 0 sur un rail rectiligne en
gare de triage. Il entre en collision avec un wagon W2de masse m2, `a l’arrˆet sur ce rail.
(L’´energie potentielle du syst`eme avant et apr`es collision est nulle ; les forces de frottement
sont n´eglig´ees.)
1) La collision est ´elastique ; on appelle v0
1et v0 2les vitesses de W1et W2apr`es le choc.
D´eduire de la loi de conservation de l’impulsion totale la vitesse v0
1en fonction de v1, v0 2
et des masses m1et m2. (Noter que les vitesses sont ici des nombres dont le signe donne
la direction du mouvement des wagons.)
2) D´eduire alors de la loi de conservation de l’´energie totale la vitesse finale v0
26= 0
de W2en fonction de v1et des masses des wagons.
3) Exprimer enfin la vitesse finale v0
1de W1en fonction de v1et des masses des wagons.
Bonus :
Dans une autre manœuvre, nos mˆemes wagons W1et W2se retrouvent automatiquement
attach´es l’un `a l’autre apr`es collision, pour former un attelage W.
4) Calculer la vitesse v0de Wen fonction de v1et des masses m1et m2.
5) L’´energie totale n’est plus conserv´ee. Calculer la diff´erence ∆E=E0−Eentre les
´energies E0apr`es et Eavant collision. Quel est le signe de ∆E? Interpr´etation physique ?
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