Analyse I Maths 104 - Maths 104b - Département de Mathématiques

Analyse I
Maths 104 - Maths 104b
Thierry Ramond
Math´ematiques
Universit´e Paris Sud
e-mail: thierry[email protected]
version du 29 aoˆut 2010

Table des mati`eres
1 Nombres r´eels 4
1.1 Ensemblesdenombres............................... 4
1.2 R`egles de calcul dans R.............................. 5
1.2.1 Sommeetproduit ............................. 5
1.2.2 Larelationd’ordre............................. 6
1.2.3 Distance dans R:valeurabsolue ..................... 6
1.3 Majorant, minorant, borne inf´erieure, borne sup´erieure . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 D´efinitions, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 La propri´et´e de la borne sup´erieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Propri´et´e d’Archim`ede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.1 D´eveloppement d´ecimal d’un r´eel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.2 Qest dense dans R............................. 10
1.4.3 Caract´erisation des intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Suites de nombres 11
2.1 Premi`eresnotions.................................. 11
2.1.1 Qu’est-ce qu’une suite de nombres ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Sensdevariation.............................. 11
2.1.3 Suites major´ees, minor´ees ou born´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Suites d´efinies par r´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 Principe de la r´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Repr´esentation graphique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Convergence..................................... 15

TABLE DES MATI` ERES 2
2.3.1 Limited’unesuite ............................. 15
2.3.2 Limite et relation d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Calculdelimite................................... 17
2.4.1 Le th´eor`eme des gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Limites et op´erations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.3 Cas des suites d´efinies par r´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Crit`eres de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.1 Suitesmonotones.............................. 20
2.5.2 Suitesadjacentes.............................. 21
2.5.3 Crit`ere de Cauchy pour les suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.4 LelemmedeCesaro ............................ 24
3 Propri´et´es des fonctions d’une variable r´eelle 26
3.1 Fonctionscontinues................................. 26
3.1.1 Continuit´e en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2 Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 Le th´eor`eme de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.2 Le Th´eor`eme des Valeurs Interm´ediaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 D´eriv´ees....................................... 29
3.3.1 D´efinitions ................................. 29
3.3.2 Extremums ................................. 30
3.3.3 Le Th´eor`eme des Accroissements Finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3.4 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 M´ethodes de r´esolution num´erique d’´equations 33
4.1 Fonctionsr´eciproques ............................... 33
4.1.1 Bijection et bijection r´eciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.1.2 Cas des fonctions r´eguli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.2 M´ethodededichotomie .............................. 35
4.3 M´ethodedupointfixe ............................... 36
4.3.1 Le th´eor`eme du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

TABLE DES MATI` ERES 3
4.3.2 Points fixes attractifs et points fixes r´epulsifs . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3.3 Algorithme ................................. 39
4.4 M´ethodedeNewton ................................ 39
5 Calcul de primitives 42
5.1 Primitive d’une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.2 Trois techniques de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.1 Int´egration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.2.2 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2.3 Primitives de fraction rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6 Equations diff´erentielles 47
6.1 Motivation ..................................... 47
6.2 Equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.1 Le principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2.2 Solutions de l’´equation homog`ene associ´ee . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2.3 Recherche d’une solution : variation de la constante . . . . . . . . . . 51
6.2.4 L’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.3 Equations diff´erentielles lin´eaires du second ordre `a coefficients constants . . . 52
6.3.1 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.3.2 Equations homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.4 Un peu de th´eorie g´en´erale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
6.4.1 D´efinitions ................................. 55
6.5 Probl`emedeCauchy ................................ 56
6.6 Sch´emad’Euler................................... 58

Chapitre 1
Nombres r´eels
1.1 Ensembles de nombres
Vous avez rencontr´e jusqu’`a pr´esent diff´erents types de nombres : d’abord les entiers, ou
entiers naturels, d`es la petite enfance, puis au coll`ege les entiers relatifs et les rationnels. Vous
avez not´e Nl’ensemble des entiers, Zcelui des entiers relatifs, et Qcelui des rationnels. En
identifiant les entiers naturels aux entiers relatifs positifs, vous avez ´ecrit N⊂Z, puis en
identifiant les entiers relatifs aux fractions rationnelles dont le d´enominateur est 1, vous avez
aussi ´ecrit
N⊂Z⊂Q.
Dans Qvous savez faire des additions et des soustractions, des multiplications et des divisions.
Vous savez aussi comparer deux nombres rationnels quelconques.
C¸a n’est pas tout.Vous avez rencontr´e πet √2, et on vous a dit qu’il ne s’agit pas de nombres
rationnels. Vous avez alors admis l’existence d’un ensemble de nombre not´e R, dit ensemble
des nombres r´eels, tel que Q⊂R, et dans lequel vous pouvez faire additions, soustractions,
multiplications et divisions, et aussi comparer deux nombres r´eels quelconques.
Dans ce premier chapitre, on veut d’abord faire le point sur les r`egles qui r´egissent la ma-
nipulation des nombres r´eels. On veut aussi mettre l’accent sur une propri´et´e essentielle de
R, qui n’est pas vraie dans l’ensemble Qdes rationnels, et dont on va d´eduire la plupart des
r´esultats de ce cours : la propri´et´e de la borne sup´erieure.
Pour commencer, il est temps de montrer la
Proposition 1.1.1 Il n’existe pas de nombre rationnel dont le carr´e est 2. Autrement dit :
√2n’est pas un rationnel.
Preuve: On raisonne par l’absurde : supposons le contraire. Il existe une fraction ir-
reductible p
qtelle que 2 = p2
q2. Mais alors p2= 2q2, donc p2est pair. Puisque seuls les
nombres pairs ont un carr´e pair, pest pair et s’´ecrit p= 2k. Du coup 2q2= 4k2donc q2
est pair, et qest pair. C’est absurde puisque la fraction p/q est irreductible.