TS - Maths - D.S.5 CORRECTION

TS - Maths - D.S.5
Samedi 21 Janvier 2017 - 2h
CORRECTION
Exercice 1
(4 points)
QCM
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des
trois réponses est exacte.
Vous indiquerez sur votre copie le numéro de chaque question et la lettre de la réponse choisie.
Barème : Une réponse exacte rapporte 1 point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de
réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Aucune justification n’est attendue.
1. On considère un tétraèdre coupé par un plan. Si la section est un polygone "non trivial", c’est à dire
que sa surface n’est pas égale à 0, elle peut être :
a. Un triangle uniquement.
b. Un triangle ou un quadrilatère.
c. Un triangle, un quadrilatère
ou un pentagone.
2. La courbe représentative de la fonction exponentielle admet ...
a. Deux asymptotes.
b. Une asymptote et la droite
d’équation y = x + 1 pour tangente.
c.
Pour tangente la droite
d’équation y = e × x + 1.
3. Pour tout réel a l’expression ea+2 − ea est égale à :
a. ea (e2 − 1)
b. e2
c. e
a+2
a
p
e x
4. On considère la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) = p . Une primitive de f sur ]0; +∞[ est alors la
x
fonction F définie sur ]0; +∞[ par :
p
p
a. F (x) = 2 x × e x
Exercice 2
p
p
xe
p
1
− p ×e x
2 x
x
x
b. F (x) =
p
c. F (x) = 2e
Un cube
(6 points)
E
ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.
Le point I est le milieu du segment [BF].
Le point J est le milieu du segment [BC].
Le point K est le milieu du segment [CD].
x
H
G
F
I
b
A
D
b
K
b
B
J
C
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Partie A
1. Démontrer que (CG) est orthogonale au plan (C BD).
Dans le cube ABC DE FG H on a (CG) perpendiculaire et donc orthogonale à (C B) et (C D).
(CG) est donc orthogonale à deux sécantes de (C BD) : elle est donc orthogonale au plan (C BD).
2. En déduire que (BD) est orthogonale au plan (ACG).
(BD) est dans le plan (C BD) et (CG) est orthogonale à (C BD) donc (BD) est orthogonale à (CG).
Par ailleurs dans le carré ABC D les diagonales sont perpendiculaires donc (BD) est orthogonale à (C A).
(BD) est donc orthogonale à deux sécantes de (ACG) : elle est donc orthogonale au plan (ACG).
3. En déduire que (AG) est orthogonale à (BD).
(AG) est dans (ACG) et (BD) est orthogonale à (ACG) donc (BD) est orthogonale à (AG).
Partie B
Dans cette partie, on ne demande aucune justification
On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L.
Construire, sur la figure fournie en annexe et en laissant apparents les traits de construction :
• le point L ;
• l’intersection D des plans (IJK) et (CDH) ;
• la section du cube par le plan (IJK).
Exercice 3
Deux fonctions
(10 points)
Soient f et g les fonctions définies sur R par
f (x) = ex
x
et g (x) = 2e 2 − 1.
On note C f et C g les courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal.
1. Restitution organisée de connaissances
(a) Démontrer que pour tout x ∈]0; +∞[ on a ex > x.
Soit f la fonction définie sur ]0; +∞[ par f (x) = ex − x
f est dérivable sur ]0; +∞[ comme somme de fonctions de référence :
f ′ (x) = ex − 1.
Etudions le signe de f ′ (x) :
ex − 1 > 0
ex > 1
ex > e0
x >0
Donc sur ]0; +∞[ on a f ′ (x) > 0 et donc f est strictement croissante sur ]0; +∞[.
Donc x > 0 implique f (x) > f (0) c’est à dire à ex − x > e0 − 0
On a donc ex − x > 1 pour tout x ∈]0; +∞[, ce qui implique que sur cet intervalle ex − x > 0 et donc
ex > x.
(b) En déduire la limite de la fonction exponentielle en +∞.
On a ensuite lim x = +∞ donc par comparaison de limites :
x→+∞
lim ex = +∞.
x→+∞
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2. Démontrer que les courbes C f et C g ont un point commun d’abscisse 0 et qu’en ce point, elles ont la
même tangente ∆ dont on déterminera une équation.
On calcule f (0) = e0 = 1 et g (0) = 2e0/2 − 1 = 1 donc C f et C g ont un point commun d’abscisse 0 et
d’ordonnée 1.
par théorème f est dérivable sur R et de dérivée f ′ (x) = ex .
L’équation de la tangente à C f au point d’abscisse 0 est donc :
y = f ′ (0)(x − 0) + f (0) = e0 × x + e0 = x + 1.
g est dérivable sur R comme somme d’une composée d’une fonction de référence dérivable sur R par
la fonction exponentielle avec produit par une constante et d’une fonction de référence dérivable sur
R.
u(x) = x2 .
u ′ (x) = 21 .
x
x
g ′ (x) = 2 × 12 × e 2 − 0 = e 2 .
L’équation de la tangente à C g au point d’abscisse 0 est donc :
y = g ′ (0)(x − 0) + g (0) = e0/2 × x + 2e0/2 − 1 = x + 1.
C f et C g ont donc la même tangente ∆ au point d’abscisse 0, d’équation y = x + 1 .
3. Étude de la position relative de la courbe C g et de la droite ∆
x
Soit h la fonction définie sur R par h(x) = 2e 2 − x − 2.
(a) Déterminer
la limite de la fonction h en −∞.

x
 lim
= −∞ par quotient de limites
x→−∞ 2
X
 lim e
=
0
X →−∞
x
Donc par composition lim e 2 = 0
x→−∞
x
Par produit de limites on a donc lim 2e 2 = 0
x→−∞
Par ailleurs on a lim − x = +∞
x→−∞
x
Donc par somme lim h(x = lim 2e 2 − x − 2 = +∞
x→−∞
x→−∞
!
à x
e2
2
(b) Justifier que, pour tout réel x, h(x) = x x − 1 − .
x
2
On développe pour tout réel x :
à x
!
x
e2
2
2
e2
x
x
x x −1−
= x x − x × 1 − x × = xe 2 × x2 − x − 2 = 2e 2 − x − 2 = h(x).
x
x
2
2
En
la limite de la fonction h en +∞.
 déduire
x

= +∞
par quotient de limites
 lim
x→+∞ 2
X
e

 lim
= +∞ par théorème (de croissance comparée)
X →+∞ X
x
e2
Donc par composition lim x = +∞
x→−∞
2
Par ailleurs par quotient de limites on a lim
D’où par somme de limites
2
x→−∞ x
=0
x
2
= +∞
x
Ce qui donne par produit de limites :
!
à x
2
e2
= +∞ .
lim h(x) = lim x x − 1 −
x→−∞
x→−∞
x
2
e2
lim
x→−∞ x
2
−1−
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(c) On note h ′ la fonction dérivée de la fonction h sur R.
Pour tout réel x, calculer h ′ (x) et étudier le signe de h ′ (x) suivant les valeurs de x.
h est dérivable sur R comme somme d’une composée d’une fonction de référence dérivable sur
R par la fonction exponentielle avec produit par une constante et d’une fonction de référence
dérivable sur R.
u(x) = x2 .
u ′ (x) = 21 .
x
x
h ′ (x) = 2 × 12 × e 2 − 1 − 0 = e 2 − 1.
On étudie son signe :
x
e2 −1 > 0
(A)
x
2
(A) ⇔ e > 1
x
(A) ⇔ e 2 > e0
(A) ⇔ x2 > 0
(A) ⇔ x > 0 × 2 (car 2 est positif)
(A) ⇔ x > 0
x
De même on a e 2 − 1 < 0 ⇔ x < 0.
Ceci nous donne le tableau de signe suivant :
x
−∞
0
+∞
f (x)
− 0 +
(d) Dresser le tableau de variations de la fonction h sur R.
On déduit des questions précédentes le tableau de variations suivant :
x −∞
0
+∞
+∞
+∞
f
❅
❅
❘
❅
✒
0
x
(e) En déduire que, pour tout réel x, 2e 2 −1 Ê x +1. D’après le tableau de variations h admet 0 pour
minimum sur R.
On a donc pour tout réel x :
x
2e 2 − x − 2 ≥ 0
(B)
x
(B) ⇔ 2e 2 − 2 ≥ x
x
(B) ⇔ 2e 2 − 2 + 1 ≥ x + 1
x
(B) ⇔ 2e 2 − 1 ≥ x + 1 .
(f) Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe C g et de la droite ∆ ?
x
L’équation de ∆ étant y = x + 1 et g étant définie par g (x) = 2e 2 − 1, l’inégalité précédente prouve
que la courbe C g est toujours au dessus de sa tangente ∆.
4. Étude de la position relative des courbes C f et C g
³ x
´2
(a) Pour tout réel x, développer l’expression e 2 − 1 .
On développe :
´2
³ x
x
x
x
x
x
e 2 − 1 = (e 2 )2 − 2 × e 2 × 1 + 12 = e2× 2 − (2 × e 2 × 1 − 1) = ex − (2 × e 2 × 1 − 1) = f (x) − g (x)
(b) Déterminer la position relative des courbes C f et C g .
D’après la question précédente nous avons pour tout réel x :
´2
³ x
f (x) − g (x) = e 2 − 1
Sur R nous pouvons donc en déduire : f (x) − g (x) ≥ 0.
C f est donc au dessus de C g sur R.
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ANNEXE 1 à compléter et à remettre avec la copie
EXERCICE 2
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