TS - Maths - D.S.5 CORRECTION

TS - Maths - D.S.5 Samedi 21 Janvier 2017 - 2h
CORRECTION
Exercice 1 (4 points) QCM
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des
trois réponses est exacte.
Vous indiquerez sur votre copie le numéro de chaque question et la lettre de la réponse choisie.
Barème : Une réponse exacte rapporte 1point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou l’absence de
réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Aucune justification n’est attendue.
1. On considère un tétraèdre coupé par un plan. Si la section est un polygone "non trivial", c’est à dire
que sa surface n’est pas égale à 0, elle peut être :
a. Un triangle uniquement. b. Un triangle ou un quadri-
latère.
c. Un triangle, un quadrilatère
ou un pentagone.
2. La courbe représentative de la fonction exponentielle admet ...
a. Deux asymptotes. b. Une asymptote et la droite
d’équation y=x+1 pour tan-
gente.
c. Pour tangente la droite
d’équation y=e×x+1.
3. Pour tout réel al’expression ea+2−eaest égale à :
a. ea(e2−1) b. e2c. ea+2
a
4. On considère la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)=epx
px. Une primitive de fsur ]0;+∞[ est alors la
fonction Fdéfinie sur ]0;+∞[ par :
a. F(x)=2px×epxb. F(x)=
pxepx−1
2px×epx
xc. F(x)=2epx
Exercice 2 (6 points) Un cube
ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.
Le point I est le milieu du segment [BF].
Le point J est le milieu du segment [BC].
Le point K est le milieu du segment [CD]. A
B C
D
E
FG
H
I
J
K
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Partie A
1. Démontrer que (CG)est orthogonale au plan (C BD).
Dans le cube ABC DE FG H on a (CG) perpendiculaire et donc orthogonale à (C B ) et (C D).
(CG) est donc orthogonale à deux sécantes de (C BD) : elle est donc orthogonale au plan (C B D).
2. En déduire que (BD)est orthogonale au plan (ACG).
(BD) est dans le plan (C BD) et (CG) est orthogonale à (C BD) donc (BD) est orthogonale à (CG).
Par ailleurs dans le carré ABC D les diagonales sont perpendiculaires donc (BD) est orthogonale à (C A).
(BD) est donc orthogonale à deux sécantes de (ACG) : elle est donc orthogonale au plan (ACG).
3. En déduire que (AG)est orthogonale à (BD).
(AG) est dans (ACG) et (BD) est orthogonale à (ACG) donc (BD) est orthogonale à (AG).
Partie B
Dans cette partie, on ne demande aucune justification
On admet que les droites (IJ) et (CG) sont sécantes en un point L.
Construire, sur la figure fournie en annexe et en laissant apparents les traits de construction :
•le point L ;
•l’intersection Ddes plans (IJK) et (CDH) ;
•la section du cube par le plan (IJK).
Exercice 3 (10 points) Deux fonctions
Soient fet gles fonctions définies sur Rpar
f(x)=exet g(x)=2ex
2−1.
On note Cfet Cgles courbes représentatives des fonctions fet gdans un repère orthogonal.
1. Restitution organisée de connaissances
(a) Démontrer que pour tout x∈]0;+∞[on a ex>x.
Soit fla fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)=ex−x
fest dérivable sur ]0;+∞[ comme somme de fonctions de référence :
f′(x)=ex−1.
Etudions le signe de f′(x) :
ex−1>0
ex>1
ex>e0
x>0
Donc sur ]0;+∞[ on a f′(x)>0 et donc fest strictement croissante sur ]0;+∞[.
Donc x>0 implique f(x)>f(0) c’est à dire à ex−x>e0−0
On a donc ex−x>1 pour tout x∈]0;+∞[, ce qui implique que sur cet intervalle ex−x>0 et donc
ex>x.
(b) En déduire la limite de la fonction exponentielle en +∞.
On a ensuite lim
x→+∞x= +∞ donc par comparaison de limites :
lim
x→+∞ex=+∞.
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2. Démontrer que les courbes Cfet Cgont un point commun d’abscisse 0et qu’en ce point, elles ont la
même tangente ∆dont on déterminera une équation.
On calcule f(0) =e0=1 et g(0) =2e0/2 −1=1 donc Cfet Cgont un point commun d’abscisse 0 et
d’ordonnée 1.
par théorème fest dérivable sur Ret de dérivée f′(x)=ex.
L’équation de la tangente à Cfau point d’abscisse 0 est donc :
y=f′(0)(x−0)+f(0) =e0×x+e0=x+1.
gest dérivable sur Rcomme somme d’une composée d’une fonction de référence dérivable sur Rpar
la fonction exponentielle avec produit par une constante et d’une fonction de référence dérivable sur
R.
u(x)=x
2.
u′(x)=1
2.
g′(x)=2×1
2×ex
2−0=ex 2.
L’équation de la tangente à Cgau point d’abscisse 0 est donc :
y=g′(0)(x−0)+g(0) =e0/2 ×x+2e0/2 −1=x+1.
Cfet Cgont donc la même tangente ∆au point d’abscisse 0, d’équation y=x+1.
3. Étude de la position relative de la courbe Cget de la droite ∆
Soit hla fonction définie sur Rpar h(x)=2ex
2−x−2.
(a) Déterminer la limite de la fonction hen −∞.
lim
x→−∞
x
2= −∞ par quotient de limites
lim
X→−∞
eX=0
Donc par composition lim
x→−∞ex
2=0
Par produit de limites on a donc lim
x→−∞2ex
2=0
Par ailleurs on a lim
x→−∞ −x=+∞
Donc par somme lim
x→−∞h(x=lim x→−∞2ex
2−x−2= +∞
(b) Justifier que, pour tout réel x,h(x)=xÃex
2
x
2−1−2
x!.
On développe pour tout réel x:
xÃex
2
x
2−1−2
x!=xex
2
x
2−x×1−x×2
x=xex
2×2
x−x−2=2ex
2−x−2=h(x).
En déduire la limite de la fonction hen +∞.
lim
x→+∞
x
2= +∞ par quotient de limites
lim
X→+∞
eX
X= +∞ par théorème (de croissance comparée)
Donc par composition lim
x→−∞
ex
2
x
2=+∞
Par ailleurs par quotient de limites on a lim
x→−∞
2
x=0
D’où par somme de limites
lim
x→−∞
ex
2
x
2−1−2
x=+∞
Ce qui donne par produit de limites :
lim
x→−∞h(x)=lim x→−∞xÃex
2
x
2−1−2
x!= +∞ .
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(c) On note h′la fonction dérivée de la fonction hsur R.
Pour tout réel x, calculer h′(x)et étudier le signe de h′(x)suivant les valeurs de x.
hest dérivable sur Rcomme somme d’une composée d’une fonction de référence dérivable sur
Rpar la fonction exponentielle avec produit par une constante et d’une fonction de référence
dérivable sur R.
u(x)=x
2.
u′(x)=1
2.
h′(x)=2×1
2×ex
2−1−0=ex 2−1.
On étudie son signe :
ex
2−1>0 (A)
(A)⇔ex
2>1
(A)⇔ex
2>e0
(A)⇔x
2>0
(A)⇔x>0×2 (car 2 est positif)
(A)⇔x>0
De même on a ex
2−1<0⇔x<0.
Ceci nous donne le tableau de signe suivant :
x−∞ 0+∞
f(x)−0+
(d) Dresser le tableau de variations de la fonction hsur R.
On déduit des questions précédentes le tableau de variations suivant :
x−∞ 0+∞
f
+∞❅❅❅❘ 0
✒
+∞
(e) En déduire que, pour tout réel x, 2ex
2−1Êx+1.D’après le tableau de variations hadmet 0 pour
minimum sur R.
On a donc pour tout réel x:
2ex
2−x−2≥0 (B)
(B)⇔2ex
2−2≥x
(B)⇔2ex
2−2+1≥x+1
(B)⇔2ex
2−1≥x+1 .
(f) Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courbe Cget de la droite ∆?
L’équation de ∆étant y=x+1 et gétant définie par g(x)=2ex
2−1, l’inégalité précédente prouve
que la courbe Cgest toujours au dessus de sa tangente ∆.
4. Étude de la position relative des courbes Cfet Cg
(a) Pour tout réel x, développer l’expression ³ex
2−1´2.
On développe :
³ex
2−1´2
=(ex
2)2−2×ex 2×1+12=e2×x 2−(2×ex 2×1−1) =ex−(2×ex 2×1−1) =f(x)−g(x)
(b) Déterminer la position relative des courbes Cfet Cg.
D’après la question précédente nous avons pour tout réel x:
f(x)−g(x)=³ex
2−1´2
Sur Rnous pouvons donc en déduire : f(x)−g(x)≥0.
Cfest donc au dessus de Cgsur R.
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ANNEXE 1 à compléter et à remettre avec la copie
EXERCICE 2
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