Devoir à la maison n°4

Devoir à la maison n°4
Exercice 1 : La courbe Cg ci-dessous représente la fonction g.
 3
 2
La tangente au point A  0;  passe par le point B (1;0 ) . Le point C 1;  appartient à Cg.
 2
 3
Partie A : Etude graphique de g
1)
2)
3)
4)
Quel est l’ensemble de définition Dg de g ?
Donner les variations de g sur l’ensemble Dg.
Déterminer les limites de g aux bornes de Dg.
Déterminer g ′ ( 0 ) .
Partie B : Etude de u
Soit u la fonction définie sur ]0; + ∞[ par : u ( x ) =
x−2
.
x +1
1) Montrer qu’il existe deux réels a et b tels que u ( x )= a +
b
pour tout x de ]0; + ∞[ .
x +1
2) Etudier les variations de u sur ]0; + ∞[ .
3) Etudier les limites de u aux bornes de son ensemble de définition.
Partie C : Etude de la composée de u et de g
Soit f = g  u .
On note Cf la courbe représentative de f .
1) Montrer que f est définie sur ]0; + ∞[ .
2) Etudier les limites de f en 0 et en +∞ .
3) Déterminer f ( 2 ) et f ′ ( 2 ) . Donner une équation de la tangente à Cf au point d’abscisse 2.
4) Etudier les variations de f et dresser son tableau de variations.
5) Représenter l’allure de Cf précisant sa tangente au point d’abscisse 2.
Exercice 2 : Jean, Claude et Pierre jouent à la pétanque.
Jean a deux fois plus de chances de gagner que Claude qui a lui-même trois fois plus de chances de
gagner que Pierre.
Quelles sont les probabilités de gagner de chacun ?
T ES 1 - Lycée Jacques Feyder 2008-2009
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Exercice 3 : Le but de cet exercice est de vérifier l’efficacité d’un vaccin sur une population donnée. On
dispose des données suivantes :
- Un quart de la population a été vacciné contre la maladie.
- Au cours d’une épidémie, on constate qu’il y a 1 vacciné sur 13 parmi les malades.
- La probabilité qu’un individu soit malade sachant qu’il est vacciné est égale à 0,1.
Pour une personne choisie au hasard, on notera :
M l’événement « être malade », V l’événement « être vacciné ».
1) On choisit au hasard une personne dans la population. Décrire à l’aide de M et de V les diverses
situations possibles de cette personne. Traduire en langage de probabilités les hypothèses de
l’énoncé.
13
2) Calculer P ( M ∩ V ) . En déduire que la probabilité P ( M ) est égale à
.
40
3) Calculer les probabilités P ( M ∩ V ) et P ( M / V ) .
4) Déterminer le réel k tel que P ( M / V ) = k P ( M / V ) .
Conclure quant à l’efficacité du vaccin.
Exercice 4 : Amateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre s’entraîne sur
un site internet.
40 % des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30 % sont de niveau moyen et
30 % de niveau difficile.
Pierre sait qu’il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95 % des cas, les grilles de sudoku de
niveau moyen dans 60 % des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40 % des cas.
Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.
On considère les événements suivants :
F : « la grille est de niveau facile »
M : « la grille est de niveau moyen »
D : « la grille est de niveau difficile »
R : « Pierre réussit la grille » et R sont événement contraire.
1) Traduire les données de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
2) a) Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse.
b) Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas.
c) Montrer que la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,68.
3) Sachant que Pierre n’a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de
niveau moyen ?
4) Pierre a réussi la grille proposée.
Sa petite sœur affirme : « Je pense que ta grille était facile ». Dans quelle mesure a-t-elle raison ?
Justifier la réponse à l’aide d’un calcul.
T ES 1 - Lycée Jacques Feyder 2008-2009
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