a) = b

Évaluation fonction exponentielle, probabilités
Ex1. Écrire le plus simplement possible les expressions suivantes :
a) = b) ln = − ln = −
d) = √ = √
c) = × = 3 e) ln = lne = 2
f) = 3
Ex2. Écrire sous la forme les expressions suivantes :
a.
× = b. = !
c.
"
= #
f.
$
%
= &#
Ex3. Résoudre dans ℝ les équations et inéquations proposées :
a. = 4 ⇔ = ln4 * = {ln4}
b
# = 3 ⇔ − 1 = ./3 ⇔ = ./3 + 1 * = {ln3 + 1}
c.
2 − = 0 ⇔ = 2 ⇔ = ln2 * = {ln2}
d.
# > 5 ⇔ 2 − 1 > ln5 ⇔ >
* =]
; +∞ [
e. ln + 1 = 2 89::;<. .9=:>? + 1 > 0 :9;@ > −1
89?= > −1, + 1 = :9;@ = − 1
* = { − 1}
Ex4. 1) Résoudre dans ℝ l’équation : B + B − 2 = 0.
Δ = 9 B = −2 ; B = 1 S = { −2 ; 1 }
2) En déduire : a) les solutions de l’équation : + − 2 = 0 ;
L’équation peut s’écrire : + − 2 = 0 ; 9/ 89: B = ; 9/ E B > 0
L’équation devient : B + B − 2 = 0 ; d’après 1) on a B = −2 ; ;F89::;<. GE= B > 0 @
B = 1 :9;@ = 1 :9;@ = 0 ?/ :9.?@;9/ ∶ * = { 0 }
b) le signe de + − 2 suivant les valeurs de .
B
0
B + B − 2
1
−
0
−∞
+ − 2
+∞
+
0
−
0
+∞
+
Ex5. Dans chaque cas, calcule la dérivée de la fonction I.
a) I = + 4
b) I = I J = + 4
I J = + = + 1
= Ex6. Amateur de sudoku (jeu consistant à compléter une grille de nombres), Pierre s’entraîne sur un site
internet.
40 % des grilles de sudoku qui y sont proposées sont de niveau facile, 30% sont de niveau moyen et 30% de
niveau difficile.
Pierre sait qu'il réussit les grilles de sudoku de niveau facile dans 95% des cas, les grilles de sudoku de niveau
moyen dans 60 % des cas et les grilles de sudoku de niveau difficile dans 40 % des cas.
Une grille de sudoku lui est proposée de façon aléatoire.
On considère les évènements suivants :
F : « la grille est de niveau facile »
M : « la grille est de niveau moyen »
D : « la grille est de niveau difficile »
R : « Pierre réussit la grille » et R son évènement contraire.
1) Traduire les données de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.
2) a. Calculer la probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse.
8K ∩ M = 0.3 × 0.4 = 0.12
La probabilité que la grille proposée soit difficile et que Pierre la réussisse est égale à 0,12.
b. Calculer la probabilité que la grille proposée soit facile et que Pierre ne la réussisse pas.
8O ∩ MP = 0.4 × 05 = 0.02
La probabilité que la la grille soit facile et que Pierre ne la réussisse pas est égale à 0,02.
c. Montrer que la probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,68.
Les grilles proposées sont soit faciles soit de difficulté moyenne soit difficiles.
Donc F, M et D forment une partition de l'univers alors, d'après la formule des probabilités totales :
8M = 8M ∩ O + 8M ∩ Q + 8M ∩ K
8M = 0.4 × 0.95 + 0.3 × 0.6 + 0.3 × 0.4 = 0.68
La probabilité que Pierre réussisse la grille proposée est égale à 0,68.
3) Sachant que Pierre n'a pas réussi la grille proposée, quelle est la probabilité que ce soit une grille de niveau
moyen ?
8TP Q =
8Q ∩ MP 0.3 × 0.4
=
= 0.375
1 − 0.68
8MP La probabilité que ce soit une grille de niveau moyen sachant que Pierre n'a pas réussi la grille est égale à
0,375.
4) Pierre a réussi la grille proposée. Sa petite sœur affirme : « Je pense que ta grille était facile ».
Dans quelle mesure a-t-elle raison ? Justifier la réponse à l’aide d’un calcul.
8M∩O
0.4×0.95
8T O = 8M = 0.68 ≈ 0.56 ; 8T Q ≈ 0.26 ; 8T K ≈ 0.18
La probabilité que la grille soit facile sachant que Pierre a réussi est plus grande que celle des deux autres cas donc la
sœur a moins de chance de se tromper.