Intégrales impropres Rappel sur les comparaisons entre fonctions

Intégrales impropres
Rappel sur les comparaisons entre fonctions usuelles :
Pour tous  < , on a x=o+1(x)en +1et x=o(x)en 0+. En +1,x=o+1(e"x)pour tout " > 0:
En +1,(ln x) = o+1(x")pour tout " > 0, et plus généralement (ln x)=o+1(x")pour tous 2Ret " > 0:
En 0+,(ln x) = o(x")pour tout " > 0, et plus généralement (ln x)=o(x")pour tous 2Ret " > 0:
Exemple : (|||) Pour " > 0,limx!0+x"(ln x)2= 0. En fait, la propriété résulte de (ln x) = o(x"=2):
Exemple : (|) Pour nassez grand, on a : en+(ln n)pnen=2.
En e¤et, on étudie le quotient : (n+ (ln n)pn) + 1
2n! 1 donc n+ (ln n)pn 1 2npour nassez grand.
Rappel sur la relation de domination :
f(t) = O(g(t)) lorsque ttend vers bssi il existe ktel que jf(t)j  kjg(t)jau voisinage de b :
Exemple : (|||)sin t
t(t1) =O+11 t2. En e¤et, sin t=O+1(1) et 1 t(t1) +1
1
t2.
Important : Si f(t) = ob(g(t)) , alors a fortiori f(t) = Ob(g(t)) :Par exemple, en +1,t(ln t) = O+1(t3=2):
1) Intégrales impropres convergentes
a) Dé…nition. Soit f: [a; b[!Rcontinue (par morceaux), avec b2R[f+1g.
L’intégrale converge sur [a; b[ssi il existe limx!bRx
af(t)dt, notée Rb af(t)dt .
Exemples : (|)R+1
1
dt
t2= 1 ;R+1
1
dt
pt= 2 ;R+1
1
dt
t= limx!+1(ln x) = +1et R1
0
dt
t= limx!0+R1
x
dt
t= +1:
Important :La convergence de l’intégrale ne dépend que du comportement de f(t)au voisinage de b. Ainsi, si
c2[a; b[, alors Rb
af(t)dt existe ssi Rb cf(t)dt existe , et dans ce cas, on a (Chasles) Rb af(t)dt =Rc af(t)dt+Rb cf(t)dt:
En particulier, le reste tend vers 0:limx!bRb
xf(t)dt = 0:
b) Interprétation en termes de primitives. Soit Fune primitive de f. On a Rx
af(t)dt =F(x)F(a):
L’intégrale de fconverge sur [a; b[ssi Fadmet une limite en b, et on a alors Rb
af(t)dt = [F(t)]b
a:
Exemples : (|||) Pour  > 0,R+1
0et dt = [ 1
et]+1
0=1
;R1
0(ln t)dt = [tln tt]1
0+=1:
c) Intégrales de Riemann. Exemples : (|||)R+1
1
dt
tconverge ssi  > 1;R1
0
dt
tconverge ssi  < 1.
Important : Si aet bsont réels (avec a < b), Rb
a
dt
(ta)et Rb
a
dt
(bt)convergent ssi  < 1
d) Une intégrale doublement impropre se ramène par Chasles à deux intégrables impropres :
Si f:]a; b[!Rest continue, alors Rb
af(t)dt existe ssi Rc af(t)dt et Rb cf(t)dt existent, où on choisit c2[a; b]:
Autrement dit, si Fest une primitive de f, alors Rb
af(t)dt existe ssi Fadmet une limite en aet en b+:
Exemple : (||) Intégrale doublement impropre R+1
1
dt
1 + t2= [arctan t]+1
1 =
2 2=:
e) Remarque :f:I!Rest continue par morceaux ssi elle est continue par morceaux sur tout segment de I.
Exemple : (|)f: [1;+1[!Rt7! 1
E(t)2est continue par morceaux, et R+1
0f(t)dt =P+1
n=1 1
n22R:
f) Linéarité. Si les intégrales de fet gconvergent, alors celle de f+gaussi. La réciproque est fausse :
Exemple : (|||)Rx
0
dt
(t+1)(t+2) =Rx
0
dt
t+1 Rx
0
dt
t+2 = [ln(t+1 t+2 )]x
0!ln 2 en +1:Mais R+1
0
dt
t+1 =R+1
0
dt
t+2 = +1:

g) Exemple : (|||) Soit f: [a; +1[!R. On suppose que l’intégrale de fconverge sur [a; +1[:
L’unique primitive de fs’annulant en +1est F(x) = Rx
+1f(t)dt , car Rx +1f=Rx afk, où k=R+1 af:
2) Théorèmes de comparaison pour les intégrales de fonctions POSITIVES (important)
a) important : Supposons fpositive sur [a; b[. Alors toute primitive Fde fest croissante sur [a; b[.
Donc l’intégrale de fconverge sur [a; b[ssi Fconverge en b, donc ssi Fest majorée sur [a; b[.
Sinon, on a limx!bRx
af(t)dt = +1, et on note alors Rb af(t)dt = +1.
Prop : Soit f: [a; b[!Rcontinue et positive. Alors Rb
af(t)dt = 0 ssi fest identiquement nulle .
Preuve : Si Rb
af(t)dt = 0, alors F(a) = F(b), donc Fest constante, d’où f=F0= 0:Réciproque immédiate.
b) Théorèmes de comparaison pour les intégrales de fonctions positives.
Principe : Si 0fget Rb
ag(t)dt converge, alors Rb af(t)dt converge (car on a 0Rb af(t)dt Rb ag(t)dt).
Principe : Si 0fget Rb
af(t)dt diverge, c’est-à-dire Rb af(t)dt = +1, alors Rb ag(t)dt = +1.
Remarque : En fait, pour étudier la convergence, il su¢ t d’avoir la positivité et l’inégalité au voisinage de b:
Théorèmes de comparaison. Soient fet gdes fonctions continues sur [a; b[et positives au voisinage de b:
i) Si f(t) = O(g(t)) lorsque ttend vers bet si Rb
ag(t)dt converge, alors Rb af(t)dt converge .
ii) Si f(t)g(t)lorsque ttend vers b, alors Rb
af(t)dt converge ssi Rb ag(t)dt converge .
iii) Si f(t)g(t)au voisinage de b, et si Rb
ag(t)dt diverge (vers +1), alors Rb af(t)dt diverge (vers +1) .
Preuves : i) On a f(t)Mg(t)au voisinage de b. ii) On a f(t) = O(g(t)) et g(t) = O(f(t)):
c) Comparaisons avec les intégrales de Riemann.
- En +1: Soit f: [a; +1[!Rcontinue et positive au voisinage de +1.
Si f(t)+1tavec  > 0, alors l’intégrale de fconverge sur [a; +1[ssi  > 1:
Si f(t) = O+1(t)avec  > 1, l’intégrale de fconverge sur [a; +1[.
Si il existe  > 0tel que f(t)t1pour tassez grand, alors l’intégrale diverge : R+1
af(t)dt = +1.
- En b2R: Soit f: [a; b[!Rcontinue et positive au voisinage de b;c’est-à-dire sur un intervalle [b"; b[:
Si f(t)+1(bt)avec  > 0, alors l’intégrale de fconverge sur [a; b[ssi  < 1:
Si f(t) = O+1(t)avec  < 1, l’intégrale de fconverge sur [a; b[.
Si il existe  > 0tel quef(t)(bt)1pour tassez grand, alors l’intégrale de fsur [a; b[diverge et Rb
af(t)dt =
+1.
Remarque : Idem si f:]a; b]. On compare f(t)avec une fonction de la forme (ta):
3) Exemples d’études de convergence d’intégrales
a) Exemple : (|||) La fonction Gamma d’Euler (x) = R+1
0tx1etdt est dé…nie ssi x > 0:
En 0+,tx1ettx1, donc R1
0tx1etdt converge ssi x1>1, c’est-à-dire x > 0:
En +1,tx1et=O+1(t2), donc R+1
1tx1etdt converge pour tout x.
b) Exemple : (||)R+1
0
1cos t
t2dt converge.
Exemple : En 0+,f:t7! 1cos t
t2est prolongeable par continuité avec f(0) = 1
2(donc pas de problème en 0).
En +1,f(t) = O+1(t2). On en conclut que l’intégrale converge sur [0;+1[.

c) Exemple : (||)R1
0ln(sin x)dt converge. On a ln(sin x) = ln(x+o(x)) = ln x+o(1) = O1
px:
d) Cas particulier d’intégrale de Bertrand.
Exemple : (|||)R+1
0
ln t
1 + t2dt converge. En 0+,ln t=O1
ptet en +1,ln t
1 + t2=O1
t3=2:
e) Exemple : (|||)Intégrales de Bertrand. On considère J(; ) = R+1
ef(t)dt, avec f(t) = 1
(ln t)t:
Si  > 1, alors t(ln t)=O+1(t+")avec " > 0. On choisit "de sorte que " > 1:D’où J(; )<+1:
Si = 1,J(; ) = R+1
e(ln t)d(ln t) = R+1 1udu (avec u= ln t), donc J(1; )<+1ssi  > 1:
Par exemple, R+1
e
dt
tln t= [ln ln t]+1
e= +1.
Si  < 1, alors f(t)1
tpour tassez grand, donc J(; ) = +1.
En conclusion, l’intégrale converge ssi  > 1ou (= 1 et  > 1). Par exemple, R+1
e
(ln t)2
dt <+1ssi  > 1:
4) Intégrations par parties et changements de variables
a) Intégrations par parties.
Principe : On intègre par parties sur des segments et on passe aux limites ensuite. En e¤et, les deux termes
obtenus peuvent diverger (même si l’intégrale initiale converge). Il est parfois nécessaire de bien choisir la constante
d’intégration a…n que les deux termes obtenus convergent.
Exemple : (|||) On considère la fonction d’Euler (x) = R+1
0tx1etdt dé…nie pour tout x > 0:
Alors (x+ 1) = x(x). En e¤et, on a Ra
0txetdt = [txet]a
0+xRa
0tx1etdt, et on fait tendre avers +1.
Remarque : Comme (1) = 1, on obtient en particulier (n+ 1) = R+1
0tnetdt =n!pour tout n2N:
b) Changements de variables.
Prop : Soient f: [a; b[!Rcontinue (par morceaux) et ': [; [![a; b[bijection de classe C1.
Alors Rb
af(t)dt converge ssi R f('(u)) '0(u)du converge, et dans ce cas Rb af(t)dt =R f('(u)) '0(u)du:
Preuve : On passe à la limite la relation véri…ée sur les segments [a; x]et [; '1(x)].
Remarque : Contraitement au a), il est donc ici inutile de revenir systématiquement à des segments.
Exemple : (|||) On admet G=R+1
1 exp(t2)dt =p(Gauss). Alors G=R+1 0u1=2eudu = (1
2):
On a G= 2 R+1
0exp(t2)dt: Et avec u=t2, c’est-à-dire t=pu, on obtient G= (1
2).
Remarque : Un changement de variable peut transformer une intégrale impropre en une intégrale propre :
Exemple : (||) Pour n2N,R+1
0
dt
(1 + t2)n=R=2
0(cos u)2n2du (cf intégrales de Wallis) avec t= tan u.
5) Exemples de calcul d’intégrales
Remarque : Il convient de commencer par justi…er la convergence de l’intégrale considérée.
Exemple : (||) Pour  > 0,R+1
0tnet dt converge car tnet =O+1t2, et vaut n!
n+1 (intégrations par
parties).
Exemple : (||)R1
0(ln t)ndt converge car (ln t)n=O1
pt:En intégrant par parties, R1
0(ln t)ndt = (1)nn!
Exemple : (||) Posons I=R+1
1
dt
tpt21:Avec t= 1 + h,1 tpt211
p2hlorsque h!0+. Donc R2
1
dt
tpt21converge.
En +1,1
tpt211
t2. Donc R+1
2
dt
tpt21converge. On en déduit que Iest réel (c’est-à-dire l’intégrale converge).

En e¤ectuant le changement de variable t= ch u, avec u2]0;+1[, on a I=R+1
0
du
ch u:
Avec x= sh u, où x2[0;+1[, on obtient I=R+1
0
ch u
(sh u)2+1 du =R+1
0
1
x2+1 dx = [arctan x]+1
0=
2:
Variante : Avec x=eu2[1;+1[, on obtient I=R+1
0
du
ch u=R+1
0
2du
eu+eu= 2 R+1
1
dx
x2+1 = 2 [arctan x]+1
1=
2:
Exemple : (|||)R+1
0
dx
x2+c2=1 cR+1
0
d(x=c)
1+(x=c)2=1 cR+1
0
du
1 + u2= 2c:
Exemple : (||) Posons I=R
0
dx
1+a(sin x)2, où a0:On a I= 2 R=2
0
dt
1+a(cos t)2, avec x=
2t:
Avec le changement de variable u= tan t, on obtient I= 2 R+1
0
du
1+u2+a=
p1+a:
Exemple : (||)R1
1
dt
p1t2existe car 1 p1t211 p2p1t(et de même en 1). On a R1
1
dt
p1t2= [arcsin t]+1
1=:
Remarque : De façon générale, Rb
a
dt
p(bt)(ta)=: il su¢ t de considérer le changement de variable a¢ ne qui
permet de paramétrer [a; b]par [1;1] :t=a+b
2+uba 2, avec u2[1;1] :dt
p(bt)(ta)=du
p1u2:
6) Erreurs fatales
Remarque préliminaire : Expression de l’intégrale d’une fonction positive par une série.
Principe : Soient f: [a; b[!Rcontinue positive et (xn)n2Nune suite croissante telle que x0=aet limn!+1xn=b:
Alors Rb
af=Pn2NRxk+1 xkf(t)dt et en particulier l’intégrale converge ssi la série converge.
a) Ne pas confondre la convergence de R+1
afet la convergence de limx!+1f(x) = 0:
Exemple : (|||) On a R+1
1
dt
t= +1, alors que limt!+11 t= 0:
Exemple : (|||) On considère une fonction positive dont le graphe sur [0;+1[présente en tout entier n2Nun
pic d’aire 2net de hauteur 1. Ainsi, R+1
0f=P+1
n=1 2n= 1, alors que la fonction fne tend pas vers 0en +1.
Remarque : On peut trouver une variante telle que R+1
0f < +1et limn!+1(f(n))n2N= +1.
b) Si f(x) = O+11
t, avec  > 0, alors R+1
af(t)dt converge (par comparaison avec Riemann).
En revanche, si on a seulement f(t) = o+11
t, alors R+1
af(t)dt ne converge pas nécessairement.
Exemple : (||)R+1
e
dt
tln t= [ln ln t]+1
e= +1.
7) Cas des fonctions positives décroissantes (exercice)
Exercice : (||) Soit f: [0;+1[positive décroissante telle que R+1
0f < +1. Alors f(x) = o+11
x:
Solution : On a 01
2xf(x)Rx
x=2f(t)dt R+1 x=2f(t)dt. Or, limx!+1R+1 x=2f(t)dt = 0. Donc limx!+1xf(x) = 0:
Remarque : Sans l’hypothèse de décroissance, la propriété est fausse (cf paragraphe précédent).
8) Critère de convergence d’une fonction de classe C1
Important : Si f: [a; +1[!Rest de classe C1, alors limx!+1f(x)existe ssi R+1
af0(t)dt converge .
En e¤et, Rx
af0(t)dt =f(x)f(a)admet une limite …nie lorsque xtend vers +1ssi il existe limx!+1f(x):
Exemple : (|||) Supposons R+1
0fet R+1 0f0convergentes. Alors fconverge vers 0 en +1.
En e¤et, comme R+1
0f0converge, alors fconverge en +1. Posons = lim+1f:
Si 6= 0, alors l’intégrale de fdivergerait (car l’intégrale de x7! diverge). Donc = 0: