Loi binomiale

Loi binomiale
1
Loi de Bernoulli
Définitions :
Soit une expérience aléatoire présentant deux issues : l’une appelée « succès » et notée S et l’autre appelée « échec »
et notée E. On note p la probabilité de succès.
• Cette expérience aléatoire s’appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p.
• La variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et la valeur 0 en cas d’échec s’appelle variable
aléatoire de Bernoulli.
• La loi de probabilité de cette variable aléatoire s’appelle loi de Bernoulli de paramètre p.
Exemple : Un joueur lance un dé cubique bien équilibré. Le joueur gagne lorsque le résultat est « 6 ».
1
Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli de paramètre p= .
6
xi
La loi de probabilité de la variable aléatoire de Bernoulli est résumée dans le tableau
P(X=xi )
suivant
1
1
6
0
5
6
Propriété :
Soit X une variable aléatoire. Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, alors l’espérance de X est E( X)=p.
Preuve : E( X)=0×(1−p)+1×p =p
2
Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions :
• Une expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière identique et indépendante une épreuve de
Bernoulli de paramètre p est appelée schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
• La loi de probabilité de la variable aléatoire X correspondant au nombre de succès au cours des n épreuves est
appelée loi binomiale de paramètres n et p et est notée B( n,p).
Exemple : Un joueur lance un dé cubique bien équilibré neuf fois de suite. On s’intéresse au nombre de fois où le
résultat est « 6 ».
1
La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n=9 et p= .
6
Loi binomiale dans le cas où n=2 :
• L’issue formée de 0 succès est EE, donc, d’après l’arbre de
probabilité,
2
P( X=0)=( 1−p) .
• Les issues formées d’un seul succès sont SE et ES, d’où
P( X=1)=p ×(1−p)+(1−p)×p=2p(1−p).
• L’issue formée de 2 succès est SS, d’où P( X=2)= p 2.
issues
p
S
1−p
E
p
S
1−p
p
E
S
1−p
E
SS
SE
ES
EE
Loi binomiale pour
n=2 :
xi
P(X=xi )
0
2
( 1−p)
1
2p(1−p)
2
p2
Loi binomiale dans le cas où n=3 :
issues
p
S
1−p
p
S
1−p
E
p
S
1−p
E
E
p
S
1−p
p
E
S
1−p
E
p
S
1−p
p
E
S
1−p
E
SSS
SSE
SES
SEE
ESS
ESE
EES
EEE
3
• L’issue formée de 0 succès est EEE, d’où P( X=0)=( 1−p) .
• Les issues formées d’un seul succès sont SEE, ESE et EES,
2
2
2
2
d’où P( X=1)=p×(1−p) + p×(1−p) + p×(1−p) =3p(1−p) .
• Les issues formées de 2 succès sont SSE, SES et ESS,
d’où P ( X=2)= p 2 ×(1−p)+ p 2 ×(1−p)+ p 2 ×(1−p)=3p 2
(1−p).
• L’issue formée de 3 succès est SSS, d’où P( X=3)= p 3.
Loi binomiale pour n=3 :
xi
P(X=xi )
0
3
( 1−p)
1
2
3p(1−p)
2
3p 2 (1−p)
3
p3
Lorsque ܺ suit une loi binomiale, on a vu dans les cas où ݊ = 2 ݁‫ = ݊ ݐ‬3 que, pour calculer la probabilité d’avoir ݇
succès, on commence par noter toutes les issues formées de ݇ succès et de ݊ − ݇ échecs.
n− k
D’après une propriété des arbres pondérés, ces issues ont toutes la même probabilité p k ×(1−p) . Il est donc
nécessaire d’en connaître le nombre. On s’intéresse ainsi au nombre de chemins de l’arbre formé de ݇ succès
exactement (et donc de ݊ − ݇ échecs).
Définition :
Soit n un entier naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n.
n
Le coefficient binomial   est le nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions dans l’arbre
k 
d’un schéma de Bernoulli.
 2
 2
 2
3
 3
Exemple : D’après les cas étudiés précédemment,   =1,   =2,   =1,   =1,   =3,
0
1 
 2
 0
1 
Méthodes :
• Pour calculer les coefficients binomiaux, on peut utiliser la calculatrice ou un tableur :
3
  =3 et
 2
 3
  =1.
 3
• Sur Texas : touche MATH , puis PRB, puis Combinaison (syntaxe : n Combinaison k).
• Sur Casio : touche OPTN , puis , puis PROB, puis nCr (syntaxe : n nCr k).
• Sur Excel : fonction COMBIN (syntaxe : =COMBIN(n;k)).
• Pour obtenir les coefficients binomiaux, on peut aussi utiliser le « triangle de Pascal » :
valeurs de n
0
1
2
3
4
5
…
0
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
3
4
5
1
3
6
10
3
1
4
10
4
5
valeurs de k
…
n
valeurs de  
k
1
5
1
Pour construire le tableau, on utilise la relation
 n + 1  n   n 

 =  +

 k + 1   k   k + 1
Propriété : Formule générale de la loi binomiale
Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètre n et p, alors pour tout entier k compris entre 0 et n :
n
n− k
P( X=k)=   p k ×(1−p) .
k
n
Preuve : Dans l’arbre du schéma de Bernoulli, il y a   chemins réalisant k succès. Donc l’événement « X= k » est
k
n
n− k
formé de   issues. De plus, ces issues ont toutes la même probabilité p k ×(1−p) . D’où le résultat.
k
 
Méthodes :
• Pour calculer p( X=k), on peut utiliser la calculatrice ou un tableur :
• Sur Texas : menu Distrib ( 2nde
var ), puis binomFdp (syntaxe : binomFdp(n,p,k)).
• Sur Casio : touche OPTN , puis STAT, puis DIST, puis BINM, puis Bpd (syntaxe : BinominalPD(k,n,p).
• Sur Excel : fonction LOI.BINOMIALE (syntaxe : =LOI.BINOMIALE(k;n;p;FAUX)).
• Pour calculer p( XÂk), on peut utiliser la calculatrice ou un tableur :
• Sur Texas : menu Distrib ( 2nde
var ), puis binomFrép (syntaxe : binomFrép(n,p,k)).
• Sur Casio : touche OPTN , puis STAT, puis DIST, puis BINM, puis Bcd (syntaxe : BinominalCD(k,n,p).
• Sur Excel : fonction LOI.BINOMIALE (syntaxe : =LOI.BINOMIALE(k;n;p;VRAI)).
Propriété :
L’espérance mathématique la loi binomiale de paramètre n et p est µ=n×p.
(admise)