Loi binomiale

Loi binomiale
1 Loi de Bernoulli
Définitions :
Soit une expérience aléatoire présentant deux issues : l’une appelée « succès » et notée S et l’autre appelée « échec »
et notée E. On note p la probabilité de succès.
• Cette expérience aléatoire s’appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p.
• La variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et la valeur 0 en cas d’échec s’appelle variable
aléatoire de Bernoulli.
• La loi de probabilité de cette variable aléatoire s’appelle loi de Bernoulli de paramètre p.
Exemple : Un joueur lance un dé cubique bien équilibré. Le joueur gagne lorsque le résultat est « 6 ».
Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli de paramètre p=
1
6
.
La loi de probabilité de la variable aléatoire de Bernoulli est résumée dans le tableau
suivant
Propriété :
Soit X une variable aléatoire. Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, alors l’espérance de X est E(X)=p.
Preuve : E(X)=0×(1−p)+1×p=p
2 Schéma de Bernoulli et loi binomiale
Définitions :
• Une expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière identique et indépendante une épreuve de
Bernoulli de paramètre p est appelée schéma de Bernoulli de paramètres n et p.
• La loi de probabilité de la variable aléatoire X correspondant au nombre de succès au cours des n épreuves est
appelée loi binomiale de paramètres n et p et est notée B(n,p).
Exemple : Un joueur lance un dé cubique bien équilibré neuf fois de suite. On s’intéresse au nombre de fois où le
résultat est « 6 ».
La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n=9 et p=
1
6
.
Loi binomiale dans le cas où n=2 :
• L’issue formée de 0 succès est EE, donc, d’après l’arbre de
probabilité,
P(X=0)=(1−p)
2
.
• Les issues formées d’un seul succès sont SE et ES, d’où
P(X=1)=p×(1−p)+(1−p)×p=2p(1−p).
• L’issue formée de 2 succès est SS, d’où P(X=2)=p
2
.
Loi binomiale pour
n=2 :
x
i
0 1 2
P(X=xi) (1−p)
2
2p(1−p) p
2
Loi binomiale dans le cas où n=3 :
• L’issue formée de 0 succès est EEE, d’où P(X=0)=(1−p)
3
.
• Les issues formées d’un seul succès sont SEE, ESE et EES,
d’où P(X=1)=p×(1−p)
2
+p×(1−p)
2
+p×(1−p)
2
=3p(1−p)
2
.
• Les issues formées de 2 succès sont SSE, SES et ESS,
d’où P (X=2)=p
2
×(1−p)+p
2
×(1−p)+p
2
×(1−p)=3p
2
(1−p).
• L’issue formée de 3 succès est SSS, d’où P(X=3)=p
3
.
Loi binomiale pour n=3 :
x
i
0 1 2 3
P(X=xi) (1−p)
3
3p(1−p)
2
3p
2
(1−p) p
3
x
i
1 0
P(X=xi)
1
6
5
6
issues
SS
SE
ES
EE
S
E
1
−
p
p
S
E
1
−
p
p
S
E
1
−
p
p
issues
SSS
SSE
SES
SEE
S
E
1
−
p
p
S
E
1
−
p
p
S
E
1
−
p
p
S
E
1
−
p
p
S
E
1
−
p
p
S
E
1
−
p
p
S
E
1
−
p
p
ESS
ESE
EES
EEE

Lorsque ܺ suit une loi binomiale, on a vu dans les cas où ݊ = 2 ݁ݐ ݊ = 3 que, pour calculer la probabilité d’avoir ݇
succès, on commence par noter toutes les issues formées de ݇ succès et de ݊ − ݇ échecs.
D’après une propriété des arbres pondérés, ces issues ont toutes la même probabilité p
k
×(1−p)
n−k
. Il est donc
nécessaire d’en connaître le nombre. On s’intéresse ainsi au nombre de chemins de l’arbre formé de ݇ succès
exactement (et donc de ݊ − ݇ échecs).
Définition :
Soit n un entier naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n.
Le coefficient binomial
n
k
est le nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions dans l’arbre
d’un schéma de Bernoulli.
Exemple : D’après les cas étudiés précédemment,
2
0
=1,
2
1
=2,
2
2
=1,
3
0
=1,
3
1
=3,
3
2
=3 et
3
3
=1.
Méthodes :
• Pour calculer les coefficients binomiaux, on peut utiliser la calculatrice ou un tableur :
• Sur Texas : touche MATH , puis PRB, puis Combinaison (syntaxe : n Combinaison k).
• Sur Casio : touche OPTN , puis , puis PROB, puis nCr (syntaxe : n nCr k).
• Sur Excel : fonction COMBIN (syntaxe : =COMBIN(n;k)).
• Pour obtenir les coefficients binomiaux, on peut aussi utiliser le « triangle de Pascal » :
Propriété : Formule générale de la loi binomiale
Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètre n et p, alors pour tout entier k compris entre 0 et n :
P(X=k)=
n
k
p
k
×(1−p)
n−k
.
Preuve : Dans l’arbre du schéma de Bernoulli, il y a
n
k
chemins réalisant k succès. Donc l’événement « X=k » est
formé de
n
k
issues. De plus, ces issues ont toutes la même probabilité p
k
×(1−p)
n−k
. D’où le résultat.
Méthodes :
• Pour calculer p(X=k), on peut utiliser la calculatrice ou un tableur :
• Sur Texas : menu Distrib ( 2
nde
var ), puis binomFdp (syntaxe : binomFdp(n,p,k)).
• Sur Casio : touche OPTN , puis STAT, puis DIST, puis BINM, puis Bpd (syntaxe : BinominalPD(k,n,p).
• Sur Excel : fonction LOI.BINOMIALE (syntaxe : =LOI.BINOMIALE(k;n;p;FAUX)).
• Pour calculer p(XÂk), on peut utiliser la calculatrice ou un tableur :
• Sur Texas : menu Distrib ( 2
nde
var ), puis binomFrép (syntaxe : binomFrép(n,p,k)).
• Sur Casio : touche OPTN , puis STAT, puis DIST, puis BINM, puis Bcd (syntaxe : BinominalCD(k,n,p).
• Sur Excel : fonction LOI.BINOMIALE (syntaxe : =LOI.BINOMIALE(k;n;p;VRAI)).
Propriété : (admise)
L’espérance mathématique la loi binomiale de paramètre n et p est µ=n×p.
0 1 2 3 4 5 …
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
…
valeurs de k valeurs de n
valeurs de
n
k
Pour construire le tableau, on utilise la relation
1
1
+
+
n
k
=
n
k
+
1
+
n
k