son corrigé

Exercice 1 :
1°) Calculons la dérivée : g   x   2ax  b .
On a donc deux équations : g  1  2  2a  b  2 et g   2  4  4a  b  4 .
En faisant une soustraction des deux on obtient : 2a  b   4a  b   2   4  6a  6  a  1 .
Ce qui nous donne b  0 .
Reste à déterminer c. Pour cela écrivons l’équation de la tangente en utilisant les valeurs des coefficients trouvés :
g   x   2 x  y  2 x0  x  x0   x02  c ( x0 étant le point d’abscisse 1, le point de tangence et non le point A !)
 y  2  x  1  1  c . Puis utilisons les coordonnées de A : 10  2  5  1  1  c  c  1 .
On a donc pour terminer :
g  x   x2  1 .
2°) Déterminons l’équation de la tangente :
Le point B nous permet d’écrire y  mx  3 . Le coefficient directeur s’obtient donc en faisant les deltas de y sur x :
5  3
m
 4 . L’équation de la tangente a pour équation réduite : y  4 x  3 .
20
Cette droite étant tangente à la courbe en 0, on peut donc écrire : h  0  4  2r  0  s  4  s  4 .
En utilisant h  1  8 on obtient : 8  r  4  t  r  t  4 . Il nous manque des données pour la résoudre, mais
qu’avons-nous oublier d’exploiter ?
Combien vaut h  0  ? C’est la même valeur que celle de l’ordonnée de la tangente en 0, soit 3 !
Ce qui nous donne une nouvelle équation : t  3 . Donc r  1 , et finalement :
h  x   x2  4x  3 .
3°) a) Pour déterminer l’ensemble de définition trouvons les valeurs interdites :
x 2  4 x  3  0 , possède une racine évidente 1 (il suffit de faire la somme des coefficient) donc 3 est l’autre racine
(en utilisant le produit des racines).
Donc D  \ 1,3 .
b)
2
2
 x 2  1  2 x  x  4 x  3   x  1  2 x  4 
x3  4 x 2  3x  x3  x  2 x 2  2

f  x   2
2

 
2
2
 x  4x  3 
 x 2  4 x  3
 x 2  4 x  3
f  x  2
2 x 2  2 x  2
 x 2  4 x  3
2
4
 x2  x  1
 x 2  4 x  3
2
.
c) Déterminons le signe de la dérivée :
1 5
1 5
et x2 
.
2
2
Le signe de la dérivée est le signe de ce trinôme, donc pas besoin de faire un tableau des signes.
 x 2  x  1  0    b 2  4ac  1  4  5  0  x1 
x
f  x
f  x
1 5
2

-
0
1 5
2
1
+
+
0

3
-
-
Exercice 2 :
5
1°) a) Ensemble de définition de g : il faut que 6 x  5  0  x   .
6
 5

Dg    ;   .
 6




6x  5 
6
3
.

2 6x  5
6x  5
 5

Cette fois-ci on veut que 6 x  5  0 , ce qui implique que Dg     ;   .
 6

3
3
3
b) g  1 


11 .
65
11 11
3
8
3
3

11  x  1  11  y  11   x  1  1  y  11  x   .
2°) y 
11
11 
 11

 11
Calcul de la dérivée : g   x  
Exercice 3 :
1°) a) u  x   g  x   h  x   u  x   g   x   h  x    x  1  1   x  1  1  x  1  1  x  x  2  .
2

x
x2  2 x
+
0
0
-
2
0

+
b)
x
u  x 

0
+
u  x
0
20/3

2
-
0
+
16/3
2°) u  2  g  2  h  2  9   9  0 .
Donc pour x  ; 2 la courbe est en dessous de la droite, et
pour x  2;  la courbe est au-dessus de la droite.
Exercice 4 :
1°) f  x   ax3  bx2  cx  d  f   x    ax3    bx 2    cx  d   3ax 2  2bx  c .
2°) f  0  1 (c’est le point D), f 1  1 (c’est le point A).
2
 2  f  0 .
1
1
 1  f  1 .
Calculons le coefficient directeur de 1 :
1
3°) f  0  d donc d  1 . De même f   0  c , donc c  2 .
Reste à déterminer a et b. Deux inconnues réclament deux équations.
f 1  1  a  b  2 1  a  b  2 .
Calculons le coefficient directeur de  2 :
f  1  3a  2b  2  1  3a  2b  3 .
Multiplions la première par 2 et soustrayons. 3a  2b  2a  2b  4  3  a  1 .
Donc 1  b  2  b  3
Ce qui nous donne :
f  x   x3  3x2  2x 1
f   x   3x 2  6 x  2
4°) Les calculs sont déjà fait. Calculons les racines de la dérivée1.
3 3
3 3
3 x 2  6 x  2  0  3x 2  3x  2  0    9  6  3  0  x1 
et x2 
.
3
3
x
3 3
3

f  x
+
0
3 3
3
-
0

+
f  x
5°) a)
2
f  2   23  3  2   4  1  8  12  4  1  1 et
3
2
125 75
125 150
25 32 7
5 5
5
f       3   5 1 
 4

4 
 .
8
4
8
8
8
8 8
2 2
 2
3  3

;   , car la fonction est strictement monotone et
b) La courbe coupe une seule fois l’axe des abscisses sur 
 3

continue, et change de signe. Il existe donc une solution seule solution à l’équation f  x   0 .
c) Voici un exemple de la procédure à suivre avec un TI :
On vise grossièrement pour commencer :
Ceci nous permet de raffiner entre 2,3 et 2,4
On affine encore entre 2,32 et 2,33 :
Ce qui nous donne l’encadrement suivant :
2,324    2,325 .
J’utilise les formules de réduction par moitié (b=2b’ …). Autrefois elles étaient enseignées en première S pour les élèves qui allaient un
peu plus vite que les autres, mais c’était optionnel, on peut très bien résoudre une équation du second degré sans connaître ces formules.
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