Dérivée et équation réduite de la tangente à la courbe En chaque point d’une fonction dérivable, on peut calculer le nombre dérivé et déterminer l’équation réduite de la tangente. Cette équation a TOUJOURS la même forme y = ax + b a est le coefficient directeur de la tangente ET le nombre dérivé de la fonction en un point b est l’ordonnée à l’origine Exemple : Soit f(x) = 3 √𝑥 la fonction définie sur l’intervalle [-2 ; 6] 1- Calculer la dérivée f’ de la fonction f 2- Calculer f’(4) 3- Déterminer l’équation réduite de la tangente à la courbe au point d’abscisse xC = 4 Résolution de l’exercice 1- Si f(x) = 3 √𝑥 alors f’(x) = 3 × 2 1 √𝑥 Que l’on peut aussi écrire f’(x) = 2 3 √𝑥 2- On pose x = 4 et on remplace dans le calcul de la dérivée 3 3 f’(4) = 2√4 f’(4) = = 2𝑥2 car √4 = 2 3 f’(4) = 4 3- Pour déterminer l’équation de la droite, on a besoin de procéder par étapes : Calcul des coordonnées de C, point d’abscisse xC = 4 (voir énoncé) XC = 4, on connaît déjà l’abscisse, pour déterminer l’ordonnée, on doit remplacer xC dans l’équation DE LA FONCTION. f(4) = 3√4 f(4) = 3x2 f(4) = 6 Le point C a donc pour coordonnées C (4 ; 6) L’équation de la tangente à la courbe a pour forme y = ax + b On connaît déjà a, car le coefficient directeur de la droite est aussi le nombre dérivé. 3 Donc on peut déjà écrire y = 4𝑥 + 𝑏 On trouvera maintenant b grâce aux coordonnées du point C car ce point appartient à la droite, ces coordonnées vérifient l’équation : 3 3 yC = 4 𝑥𝐶 + 𝑏 6= 4×4+𝑏 6=3+b b= 3 L’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse xC = 4 est : y = 0,75x + 3 C PELLERIN