ECE 1 DS no3: Concours blanc no1 07/11/2016
Les calculatrices sont interdites dans toutes les épreuves de mathématiques.
— Rédigez sur des copies doubles, laissez une marge importante pour les annotations.
— Changez de page à chaque exercice, et numérotez bien chaque question.
— Écrivez lisiblement et dans un français correct.
— Prêtez une attention particulière à la qualité et la rigueur de la rédaction. Justifiez
tous vos résultats, mais restez concis.
On pourra admettre le résultat d’une question pour traiter les suivantes, en l’indiquant
clairement sur la copie.
Si vous remarquez ce qu’il vous semble être une erreur dans l’énoncé, signalez-la sur sa
copie et indiquez les initiatives que vous avez été amené à prendre.
Question de cours
Rappeler la définition des deux suites adjacentes. Que peut-on dire sur leurs limites éventuelles ?
Exercice 1 (Suites usuelles)
Donner le terme général des suites définies comme suit :
1) u0= 2 et ∀n∈N, un+1 =un+ 3,
2) v2= 6 et ∀n∈N, vn+1 =−2 + vn,
3) w0= 9 et ∀n∈N, wn+1 =−wn
3,
4) x2= 2 et ∀n∈N, xn+1 =√2.xn,
5) y0= 0 et ∀n∈N, yn+1 = 1 + 2yn,
6) z0= 1,z1= 1 et ∀n∈N, zn+2 =zn+1 +zn.
Correction
Exercice 2
On admet que, si une suite (an)converge vers un réel `, alors
lim
n→∞
1
n
n−1
X
k=0
ak=`. (1)
On se propose d’étudier la suite (un)définie par
(u0= 0
∀n∈N, un+1 =u2
n+1
2·
1) a) Montrer que pour tout entier naturel n,06un<1.
b) Étudier les variations de la suite (un).
c) En déduire que la suite (un)converge vers une limite finie `.
d) Montrer que cette limite vérifie l’équation 2`=`2+ 1, et en déduire la valeur de `.
On cherche à présent à obtenir des informations plus précises sur le comportement de (un)quand
n→ ∞.
2) Pour tout entier naturel n, on pose vn= 1 −un.
a) Montrer que pour tout n∈N,1
vn+1 −1
vn=1
1+un·
b) En déduire que 1
vn+1 −1
vn−→
n→∞
1
2·
c) En utilisant (1), montrer que 1
nvn−→
n→∞
1
2·
d) En déduire que n(un−1) −→
n→∞ 2.
Correction
1