Ecole Nationale Supérieure des Mines de Paris MATH´EMATIQUES

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Ecole Nationale Sup´erieure des Mines de Paris
MATH´ EMATIQUES DISCR` ETES
Laurent PRALY et Pierre ROUCHON
Enseignement sp´ecialis´e S1225 R´evision d’octobre 2007

Avant propos
Ce document est fait de deux parties. La premi`ere partie a pour th`eme l’utilisation d’objets
purement discrets — en particulier le nombre de rotation des hom´eomorphismes du cercle et la
dynamique symbolique — pour l’´etude du comportement, sur des temps tr`es longs, de solutions
d’´equations diff´erentielles ordinaires non lin´eaires. La seconde partie ´evoque le ph´enom`ene in-
verse avec la cryptographie `acl´e publique et l’arithm´etique des tr`es grands nombres premiers.
En particulier nous verrons comment l’´etude des grands nombres premiers s’appuie sur un
objet continu, la fonction ζde Riemann.
Laurent Praly et Pierre Rouchon1
1Pierre Rouchon tient `a remercier Jean-Benoˆıt Bost pour les nombreux conseils qu’il lui a donn´es.

Table des Mati`eres
ISyst`emes dynamiques 3
1 Synchronisation et nombre de rotation 5
1.1 Le ph´enom`enedesynchronisationdanslanature................. 5
1.2 Mise en ´evidence d’un hom´eomorphismeducercle................ 7
1.2.1 Cas des deux oscillateurs faiblement coupl´es ............... 7
1.2.2 Casdupotentield’action.......................... 8
1.3 Hom´eomorphismes de S1.............................. 12
1.4 Stabilit´estructurelledel’accrochagedephase .................. 13
1.5 Encore plus d’arithm´etique............................. 15
1.6 Exercice corrig´e................................... 17
1.6.1 Les donn´ees ................................. 17
1.6.2 Questions .................................. 18
1.6.3 Corrig´e.................................... 19
2Chaosd´eterministe et dynamique symbolique 23
2.1 Dynamique de la balle rebondissant sur une table oscillante . . . . . . . . . . . 23
2.2 Mod`ele simplifi´e:lefer`achevaldeSmale .................... 29
2.2.1 Construction de l’hom´eomorphisme f................... 29
2.2.2 Dynamiquesymbolique........................... 31
2.2.3 φest un hom´eomorphisme ......................... 33
2.2.4 Conclusion.................................. 37
2.3 Exercice corrig´e................................... 37
2.3.1 Les donn´ees ................................. 37
2.3.2 Questions .................................. 38
2.3.3 Corrig´e.................................... 38
II Cryptographie et arithm´etique 41
3 Cryptographie et fonctions `a sens unique 43
3.1 Fonctions `asensunique .............................. 43
3.1.1 Stockagedesmotsdepasse ........................ 44
3.2 Exponentiellemodulaire .............................. 44
3.2.1 D´efinition .................................. 44
3.2.2 LeprotocoledeDiffie-Hellman....................... 45
3.2.3 Syst`emed’ElGamal ............................ 46
3.2.4 SignatureetDSS .............................. 46
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