Fonctions holomorphes à valeurs distributions

Séminaire Lelong.
Analyse
M ARTIN Z ERNER
Fonctions holomorphes à valeurs distributions
Séminaire Lelong. Analyse, tome 3 (1961), exp. no 5, p. 1-7
<http://www.numdam.org/item?id=SL_1961__3__A4_0>
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5-01
Séminaire LELONG
(Analyse)
14 février 1961
n° 5
année, 1961,
3e
FONCTIONS HOLOMORPHES À VALEURS DISTRIBUTIONS
par Martin ZERNER
1. Introduction.
T
Soit
une
tenu dans
distribution
sur
K+ 1 (xo ’ xl’ ..., xn)
dont le
soit
support
con-
bande,
une
peut alors définir une transformée de Fourier partielle
ble 03BE, fait correspondre une distribution ST(03BE) sur
On
5T
qui,
... ,
à la varia-
x)
définie
par la formule :
~cp 3 ST) se prolonge en une
plexe ~ +
ir~
.
de sorte que
3T
définit aussi
une
distribution
singularités d’une
peut-elle être singulière
der si les
fonction entière de la variable
et il est
sur
telle distribution sont
légitime
quelconques.
de
Par
com-
deman-
se
exemple
compact et régulière ailleurs ? La réponse
est non en vertu de résultats généraux. Rappelons tout d’abord quelques résultats
concernant les fonctions holomorphes à valeurs vectorielles (GROTHENDIECK, [3]).
5T
Soient
son
E
un
complétée
espace vectoriel complexe localement
F
valeurs dans
une
fonction définie
E . Les 5
1 ° Pour tout
sur un
propriétés
E ~ ~
le
limite dans
E
z
sur un
convexe
domaine A
suivantes sont
séparé ~E~C~~ . ~
du
plan complexe
équivalentes
.
rapport :
A
possède
2~
F
une
est
une
fois
quand
h .~ 0
dans le
continûment dérivable
et
plan complexe.
et à
3°
r
est continue et pour tout contour
F
rectifiable et homotope à
0
dans 6
E
d’une
( intégrale s c alaire ) .
4° Tout
série :
z0
possède
E
un
voisinage
lequel
sur
F(z)
est somme dans
.
A
où les
ak
sont des éléments de
et E E’
5° Pour toute
Si
ces
On
a
propriétés
ont
E .
(e’ , F)
la fonction
lien,
on a
est
la formule de
holomorphe
sur
A ~
Cauchy :
plus le s
de
LEMME d’Abel. - Si la suite
{a. rk
pourz - Z ~ ~, r’ r . Si
tout z vérifiantz ~
z~>
bornée
est
la série de 4° converge unifor-
mément
cette suite n’est pas bornée la série
pour
r .
L’équivalence
propriétés 1°! 2°~ 4°
des
se
Cauchy et le lemme
scalaire ainsi que la formule de
Enfin
3°
=>
5°
comme
dans le
dans le
cas
1 t autre de
ces
comme
ou
5° => 4° à l’aide du théorème de
scalaire. Les autres implications sont
deux derniers énoncés permet de montrer que
Mackey.
démontre exactement
diverge
cas
évidentes.
espace lecalement
EXEMPLE 1. - X
A
x
X (et holomorphe
EXEMPLE 2 . -
fonction
vergence
Toute
E
pour
=
a E
X
compact,
E
F
=
EXEMPLE 3. -
sur
fixé) ,
des fonctions
holomorphes
même espace,
holomorphe sur A x l1~ . Si E est le
simple, le théorème d’Hartogs - Osgood s’énonce :
fonction holomorphe
est continue
à valeurs dans
E
est
holomorphe
sur
~’ ~
F
est
une
mais muni de la
con-
à valeurs dans
E .
.
Remarquons
l’origine,
faits que
0 ~ Y(t)=
t
pour
1
t > 0 ,
pour
que, pour tout z ~ cette distribution
et que
nous
ordre
son
allons
singularité unique
a une
augmente "régulièrement"
Rz . Ce sont
avec -
à
ces
généraliser.
2, Généralisation d’un théorème de Hartogs.
NOTATIONS. - X
est
un
espace localement
fonction strictement positive tendant
de Banach des fonctions f continues
(topologies
Si
f
e
de limites inductive et
E+ , nous
Si maintenant
.
Y
un
X
sur
à l’infini
l’’infini
E
sur X ,
p
P
est
autre espace localement
un
E~
sur
Y ,
nous
compact,
associerons à
et
F
F
une
par
une
suite de compacts.
plus
°
une
de la fonction
fonction
la fonction à valeurs
inférieurement sur Y et par suite
fonction mesurable..
en
l’espace
’
recouvrement de X
F est
ure
telles que :
est une fonction semi- continue
Si enfin
p
projective, respectivement).
réelles définie par :
{Kn}
0
vers
à
poserons :
continue à valeurs dans
Soit
compact dénombrable
fonction
p
holomorphe
ci-dessus
définie de la façon suivante :
à valeurs dans
définie,
il lui
sera
E~
sur un
associé
une
p
est
une
domaine
fonction
A ,
p*
p*(w)
est la borne inférieure des nombres
F
nage où
soit
possède
w
un
voisi-
Eq.
à valeurs dans
holomorphe
q ~ tels que
,
p*
On voit que
Grâce
à la
est
p
A ~
et continue
où
P
désigne
le noyau de Poisson. De
DEMONSTRATION. à la limite
simple
On montre
rieure de
le
sur
espace de
un
q, tels que
mesures)
w
ait
un
on
voi-
Eq.
holomorphe à valeurs
disque fermé . Alors
F
THEOREME 1 . - Soit
est
fait que
au
est la borne inférieure des
soit bornée dans
F
supérieurement $
fonction semi-continue
propriété (1, 5°) (et
démontre aussi que
sinage o&
une
E
dans
plus l’ensemble
sur
où
le
disque unité ouvert
p ~ p~
est
polaire.
C’est essentiellement celle du théorème classique. Un passage
montre que
ensuite,
comme
dans le
cas
p , c’est-à-dire que, si
classique,
que
p £ p0
sur un
E+.
en
/
est la
ouvert,
p* /
régularisée supép0 sur cet
ouvert .
En effet F(0394)
F6)
est
un
soit borné dans
E
Soit alors
W
un
ouvert
Les fonctions
un
entier
nO
résulte qu’ il existe
sous-harmoniques de
p1
tel que
v :
~
sur
lequel
de la ’ limite
LELONG
moniques
Il
supérieurement uniformément
classique d’uniformité
> 0 ~
.
de
Pi
sont donc bornées
e
compact
[2])
on
tel que
on
ait
supérieure
peut trouver,
en
dehors d’un
p .~~
compact fixe
D’après
une
de
X ~
propriété
d’une famille de fonctions sous-harpour tout
compact
de
W
et tout
l’image
d’où il ressort que
de
compact
ce
L’intégrale qui figure dans l’inégalité
sa rélarisée supérieure
p*.
est bornée dans
est
continue,
E
p0 +e.
avec
elle majore aussi
p
dernière affirmation du théorème ré sulte de la ma j oration de
et d’ un théorème de Brelots ot de CARTAN dans [1].
Enfin la
REMARQUE 1. -
où t
plus
est
un
[4],
et
paramètre réel,
générale).
limite
Dans [2]
énonce la
on
et
ft
une
propriété
utilisons pour
nous
que
fonction sous-médiane
g Pt J
-
(et même
un
peu
Il est bien facile de vérifier que la démonstration vaut pour
supérieure
selon
suite décroissante d’ensembles
une
REMARQUE 2. - Le théorème s’étend trivialement
courbe de
Jordan,
p ~ p* $
des
et
au cas
propriétés
quelconques.
d’un domaine limité par
dernier cas l’ensemble où
une
théorème
1).
au cas
polydisque. Dans ce
rareté beaucoup plus précises (LELONG
d’un
de
une
distributions.
3. Application
Pour étudier le comportement d’une fonction à valeurs distribution, on peut commencer par se ramener, à l’aide du produit par une fonction, au cas eu le support reste
dans
et
un
Soit
en
F
la fonction ainsi
particulier
la
proposition
d’un ensemble
non
Dire
F(z)
E
E’~ ~
c’est dire
F(z)
E
.
suivante :
holomorphe à valeurs
polaire ’est dans ~ ~ alors
PROPOSITION 1. - Soit
F
transformée.
pose enfin
l’espace E correspondant.
aboutit à l’étude d’une fonction à valeurs dans
on
D’où
compact fixeo On peut alors faire la transformation de Fourier. On
F
dans
F
p’
est
sur
L~ . Si l’image par
holomorphe
à valeurs dans
ë .
On
peut
donner à
Il ost alors
légitime
QUESTION 1. - Si
l’ origine,
ce
F
phénomène
le
de posor les
est
et si pour tout
nom
de
"quasi-analyticité
faible do la
régularité’}
questions suivantes :
holomorphe
k ~
à valeurs dans
~’
sur un
voisinage
de
F
prend-elle forcément
Réponse négative. D’après
induite par
r’
une
’
(pour
(0) k’}
{r’kF(k)
les
le lemme
certain
un
r >
soit bornée pour la
hypothèses signifient
0).
La
la
topologie
réponse positive entraînorait que la suite
naturelle de
topologie
que
S ~ bornée pour
à
appartenant
suite de fonctions
est
(Quasi-analyticité forte).
S ?
valeurs dans
ses
et
,
ce
quel
que soit
r .
QUESTION 2. - Soit
suite tendant
F
encore
holomorphe
sont dans
0 . Si les
vers
S’ ~
à valeurs dans
une
est-elle à valeurs dans
F
6 ~
et soit
ë ?
La
vers
réponse, moins évidente,
0 , et tout
de
Comportement
THEOREME
A u
sur
A ~
Dans le
au
bord. On
2. - Soient
F
A
une
telle que
cas
d’un
a
espace fonctionnel
II,
.
rectiligne il suffit d’un
proposition 3 (ZERNER [8])~
de frontière
appliquer
sous-espace
1~ Remplaçons ?’ par S~
devient un espace suites
tome
la suite
C , y un arc de Jordan libre dans la
fonction holomorphe à valeurs dans ’ sur 0394, continue
F(y) c § . Alors F est holomorphe à valeurs dans 6
convenables: Nous allons
(SCHWARTZ [7],
z~ ~0
Si
ë’ ~
domaine de
un
morceau
en un
entière à valeurs dans
immédiatement le théorème suivant :
Autres espaces. - On pourra
p
~0 .
tendant
Pour toute suite
F
peut construire
des distributions pour arriver à la
tion
négative.
k
frontière de 0394,
sur
on
encore
e 0
et
>0 ~
plus être prise bornée dans
V
telle que
peut
est
ch.
~
et
grâce
le théorème 1 si
fermé de
définir
§
par
E
un
pour
deux
telles
§
(notations
développement
7, § 7, exemple 7).
au
en
on
peu de
technique
sait transformer
espace
X
et
une
un
fonc-
applications.
de
[7]~
tome
II).
Alors
fonctions de Hermite
On vérifie ainsi que tous les résultats ci-dessus restent vrais si
S~
§’ et ê par § .
on
remplace
5-07
2° Enfin à
lement
une
une
fonction
indéfiniment dérivable
fonction continue
On étudie de cette
façon
fonctions satisfaisant à
On aboutit alors
PROPOSITION 3, .. Soit
le
supérieur
p
demi-plan
p
valeurs prises par F
=
correspond naturel-
positifs).
ensemble des entiers
analytiques à valeurs dans des espaces de
majoration du type considéré par GEVREY et HOLMGREN
les fonctions
une
résultat
au
N ( N
R x
sur
la droite
sur
F
assez
une
fonction
C
ouvert
compliqué
holomorphe à valeurs
et continue
‘
à formuler que voici s
C+ .
sur
.
sur
On peut donc parler des
~B~
,~,
p~ R)
dans
l’axe réel. Supposons qu’elles soient toutes des traces
sur R de fonctions entières de type de croissance exponentielle borné
p (indéde
la
valeur
F
réelle
de
la distribution sur R 2 que
pendamment
w ). Appelons
sur
définit la restriction de
R2
+
a
et
une
à
R2
F
aux
+ iRr
réels, A priori.
(o
F
possède
vecteur unitaire des
taire des
t ).
La. proposition affirme
holomorphe
sur
C
que
F
est valeur
une
extension à
u , et T
au
vecteur uni-
bord d’une fonction
BIBLIOGRAPHIE
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cylindre
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Sup.,
t.
58, 1941, p. 83-177
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voisinage
LELONG
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2860-2862.
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au
t.
du sous-espace
p.
[6]
LELONG (Pierre). - Fonctions plurisousharmoniques et fonctions
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variable réelle, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, t.
1961
11,
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SCHWARTZ
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ZERNER
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(Laurent). -
Théorie des distributions, Tomes 1 et 2. - Paris,
1950-1951
Hermann,
(Act. scient. et ind., 1091 et 1122 ; Publ. Inst. Math.
Univ. Strasbourg, 9 et 10).
C. R.