Fonctions automorphes d`une variable: application du

Séminaire Henri Cartan
J-P. S ERRE
Fonctions automorphes d’une variable : application du
théorème de Riemann-Roch (suite)
Séminaire Henri Cartan, tome 6 (1953-1954), exp. no 5, p. 1-4
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Séminaire E.N.S., 195 ~ -5 ~+
FONCTIONS AUTOMORPHES D’ UNE VARIABLE:
DU
THÉORÈME
(Exposé
Cas ou
§3.
X
est
DE
RIEMANN-ROCH (Suite)
Serre 11-1-54)
Serre,
de J-P.
compact
Conservons les notations du §2, et soit
du disque unité
tomorphismes
Y.
compact;
le groupe
dont les
points doubles (situés
dits
à
Y
que
de facon à obtenir
un
canonique de
Si Q
E
Y
sur
Y
est
sous-groupe de
Gq
est
3) ;
exp.
un
G
sur
G.
ne
un
groupe discret d’au-
plus
supposons
nous
la circonférence
On sait que
Y
espace
X = Y/G
quotient
(cf.
Nous
G
Y/G
X =
que
soit
peut alors contenir des transformations paraboliques,
de
mension 1
que
G
points paraboliques
l’espace
APPLICATION
est
sur
une
noterons
1)
C:
l’on peut rajouter
sont
points
ces
lequel opère le groupe
et
G,
variété analytique complexe de di-
encore
Y --~ X
7r :
la
projection
X.
un
point parabolique
formé des
g
E
G
de
G,
tels que
nous
noterons
g.Q = Q.
groupe cyclique infini, engendré par
une
GQ
On sait
le
(exp. 3)
transformation de
la forme:
où
h
tp
la fonction:
n’est déterminé qu’au signe près.
Cette fonc tion est invariante par
de
est
plus,
une
si le
uniformisante
Soit
g
(z-Q)2n.g(z)
tration:
signe de
une
h
en
Q
est de
une
et soit
fonction
sur
.
on
X:’
vérifie que
t
P.
est alors invariante par
g
X,
E
=
convenablement,
fonction automorphe de poids
du fait que
P
G~ donc définit
est choisi
locale
Soit
poids
5-1
ri
sur
GQ (Rappelons
n,
on a
g(z)
Y~
la fonction
brièvement la démons=
g (z’ )
.dz’n ,
et
dz~(z-~) 2 = dz’ ~(z’ -~) 2,
g(z’)~ ( z’ -~) 2n) . On peut alors
serons) ;
Si
cet ordre
et
gl
Enfin, si
(En effet,
d
~r~(cu) ,
si
noté
est
m
g -dz
une
qui revient
ce
Une fonction de
tp.
réduisent à
tout
en
est in-
forme diffé-
au
S’il
n’y
même,
dire que
fois pour toutes
une
de
Y
et aussi
vectoriel
formé par
3).
en
il suffit de
On
en
ces
se
de
holomorphe
tout
point
fonctions,
points paraboliques,
ces
celles du §2.
identiquement nulle, et méromorphe
exp.
Q
si pour
dite
sera
l’espace D . Comme au §2, nous
fonction g, méromorphe et de poids 1
telle fonction existe:
g, est
holomorphe
n
pas de
a
soit
n,
poids
point
Dn l’espace
D.
poids
Etudions maintenant
(cf.
ôp(g).
équivaut à
P
en
est fonction
holomorphe
la dimension de
Poincaré
suppo-
la formule:
a
o, ou,
>
Nous noterons
se
où
fonction automorphe de
8-p (g)
locale
si elle est
définitions
nous
on a
méromorphe
est
g
P, la fonction
en
que
1, la forme différentielle
P, et l’on
qu’une
P
en
parabolique.
et
=
sera
de la fonc-
P
~. ~ o . )
l’uniformisante
Y
n
automorphes,
2n =
point
P, et
et de
g
au
méromorphe (ce
on a
holomorphe
sur
l’ordre
de
est de la forme
en
Nous dirons
projetant
que de
dire que
X;
sur
méromorphe
est
dépend
G, donc
variante par
rentielle
ne
sont deux fonctions
g2
ôP (g2) .
ce
parler
si cette fonction est
tion
g(z)(z-Q)
tire bien
on en
comme
a
tous les
prendre
sur
Y,
un
une
non
points paraboliques.
où
g.dz =
choisirons
Une
quotient de séries de
c~
est
une
différentielle
A
méromorphe
sur
X.
Toute fonction
Pour que
fit
(cf . §2)
h
que :
méromorphe
soit
h
holomorphe
de
poids
en un
point
n
s’écrit alors:
P c X,
il faut et il suf-
A
De même pour que
h
holomorphe
soit
en un
P
point parabolique
~
X,
il faut et il suffit que;
n
Posons alors
eP - ~
si
est
P
un
point parabolique
de
On
X.
Voit que la formule:
,
_
n
est nécessaire et suffisante pour que
Soit
On
K =
le diviseur de
ainsi obtenu
a
une
w,
de la
est
f ~ .gn
holomorphe
sur
Y.
et posons:
généralisation
L’application
PROPOSITION 3.
sur
(w)
soit
h
proposition
§2:
IL du
un isomorphisme de
L(E )
D .
COROLLAIRE.
dn = l(En) .
X n’est
Si
+ 03
que
(et
pas
donne
partir
est vérifiée dans les
exemple lorsque
G
déjà cité
montre
d’autres renseignements, bien plus précis).
Nous supposerons à
hypothèse
le th. de Behnke-Stein
compacte,
de maintenant que
cas
les
particuliers
est le groupe modulaire
X
ou un
est
Cette
compact.
plus importants,
par
sous-groupe d’indice
fini du groupe modulaire.
On
peut
alors
Il faut
~(En).
est > o,
ce
qui
holomorphes
sur
si
n
> 2, d’ou:
appliquer
le théorème de Riemann-Roch
d’abord montrer
se
fait
comme au
au
calcul de
que le nombre
§2
(puisque
~, d’après l’exposé 3).
On
les séries de
en
tire que
Poincaré sont
deg(E~)
>
2g -
2
5-4
Si X
PROPOSITION 4.
Si
n =
0,
on a
Si
n
1,
on a
=
Y/G
=
est
o , d’ où
En =
on a:
g,
1.
do-
P; donc, s’il y
+
K
compact et de genre
moins
a au
point
un
para-
A
P E X-X
bolique,
on a
On
Exemple.
b,
2g-2 ~ deg (K) , d’où
>
g-l+r,
r
étant le
nom-
points paraboliques.
bre de
a,
deg (E1 )
c,
et les
le groupe modulaire
G
sur
le
("signature"
demi-plan supérieur.
ramifications).
des
des formes modulaires de
en
se
reportant à l’exposé
ad-bc
z -;
sont tous nuls, sauf trois d’entre eux,
à (2, 3,~)
obtenue
pour
entiers, qui opère
d
ep
l’espace
prend
,
On
degré 2n;
on
On
a
1
=
g == o,
égaux respectivement
déduit la dimension de
en
pourra vérifier la formule
de Godement
au
Sém. Bourbaki, Février
1953.
Autre
dice 6 du
précédent, formé
g = o, et la
encore
le groupe modulaire
exemple:
des
signature
le revêtement universel de la
au
où
est
00,
sphère privée
b
et
c
sous-groupe
sont
pairs.
d’in-
On
a
c’est le groupe qui donne
de 3
points
et qui conduit
théorème de Picard.
Plus
b,
(ab)
arithmétique,
c,
d
généralement,
on
obtient
d’indice fini
en
imposant
les"groupes
de
du groupe modulaire.
des conditions de congruence
congruence,"
aux
a,
qui sont des sous-groupes