Deux théorèmes sur la dérivée d`une fonction holomorphe

Mathematics. - Deux théorémes sur" la dérivée d'une fonction holomorphe univalente
et bomée dans un demi-plan au voi8inage de la frontière, Par Prof, J, WOLPP,
(Communicated by Prof, J, G, " VAN DER CoRPUT,)
(Communicated at the meeting of May 30, 1942.)
Soit f (z) = f (x + i y) holomorphe. univalente et bornée dans Ie demi-plan D (x > 0).
Envisageons dans D une suite So de points zn = x n + i Y n' n = I. 2. ' " telle que
x n+1 < ex n' C étant une constante positive plus petite que l'unlté.
Pour toute valeur réelle de t soit St la suite des points zn + it. obtenue en appliquant
à tous les points de So une même translation parallèle à l'axe imaginaire.
Nom savons que x f' (z) tend vers zéro quelle que soit la manière dont x tend vers
zéro 1). Par conséquent sur St Ie produit xn f' (Zn + i t) tend vers zéro pour n infini.
quelle que soit la valeur réelle de t.
Nom aurons un résultat plus précis en nous bornant
à une certaine plénitude de valeurs de t (ensemble dont l'ensemble complémentaire est de
mesure nulle). Nous démontrerons Ie
THÉORÈME I. L'axe imaginaire contient une plénitude de points i t tel.
que sur les suites St Ie produit f' (zn + i t). V x n tend vers zéro pour n in6oi.
Démonstration. Soit t' une valeur de t n'ayant pas cette propriété. IJ existe alors
un nombre positif E et une suite d'indices nk'" (Xl tels que
(1)
Considérons les segments ok définis par
Y = Ynk + t'. CXnk -=: X -=: Xnk' k = 1. 2, ...
(2)
La fonetion f (z) étant holomorphe et univalente dans les cercles de centres znk + i t' et
de " rayons xnk' Ie théorème de KOEBE assure l'existence d'une constante positive K telle
que
sur les Ok
1 f' (z) 1 > K. 1 f' (Znk + it
')
I·
(3)
D'après (3), (1). (2) nom aurons
k= 1. 2 .... ,
d'oû
1) A. DENJOY (Comptes Rendus de I'Ac. des Sc., Paris, 23 Juin 1941. p. 1072)
J. WOLPP (Proceedings Ned. Ak. v. Wetensch ., Amsterdam, vol. H, No. 8, 1941. p.956).

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D'autre part dans la représentation conforme réalisée par f(z) I'alre A de J'image de
la bande B (0 < x < XI) s' exprlme par I'intégrale double
00 Xn
A = J'~ ~ J If' (x + iyn + it)12 dX~ dt,
-00 Xn+1
(5)
L' équatlon (5) et les inégaUtés X n + I < C x n entraînent l'inégalité
(6)
Parce que f(z) est bornée, A est linie. De (6) résulte que (4) ne se prodult que pour des
valeurs de
t' d'un ensemble de mesure nulIe, ce qui démontre Ie théorème.
Avant de passer au second théorème considérons dans D Ie système des courbes Ft
d'équations
(7)
oü pest une constante positive. Pour p> 1 les Ft sont tangentes à I'axe Imaginaire
aux différents points i t, tandis que pour p ~ 1 elles y font un angle positif avec eet
axe. Dans ce dernier cas nous savons qu'i1 existe une plénitude de valeurs de t telles
que
sur Ft
lirn f' (z). Vx= 02 ),
(8)
z-+ it
Quel que soit p, Ie théorème I nous assure que toute suite So sur Fo de I' espèce
consldérée donne naissance à une plénitude de valeurs de t telles que
sur rt Ie produit
f (z) . VX- tend vers zéro quand z parcourt la suite St . Cela n'imp1lque pas I'existence
d'une plénitude de valeurs de t te lies que ce produit tendrait vers
uro quand z parcourt
sur rt une suite quelconque de la dite espèce, ce qui reviendrait à (8). Car l'ensemble
de ces suites So
sur ro étant non-dénombrable, I'ensemble des plénitudes correspondantes
est de même non-dénombrable
et leur ensemble commun n'est pas nécessairement une
plénitude; il
peut même être vide. Nous donnerons un exemple de fonetion f (z) holomorphe,
univalente
et bornée dans D, telle que pour p < t aucune rt ne satisfait à (8), en
démontrant Ie
THÉOR~ME 11. A tout nombre p entre 0 et t correspondent des fonctions
f(z) holomorphes, univalentes et bornées dans D, telles que sur chaque
courbe y = xP + t, - co < t < co ,
lirn sup If' (z) l. Vx=oo.
z-+ it
(9)
Démonstration. Construisons une suite de points ak' k = 1 ,2, ... partout dense sur
l'intervalle I (x = 0, 0 < y < I) de I'axe imaginaire et telle que pour une inlinité de
valeurs de n les points
al' a2, • • • an divisent I en n + I parties égales. On voit sur Ie
2) A. DENJOY (I.c . p. 1071),
J. WOLPP (I.c . p. 960, Ie théorème VI appliqué au cas 'I' (x) = xP, 0 < P ~ 1).

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champ que tout point i t de l'intervalle fIx = o. 0 -< Y < 1) jouit de la propriété que la
suite des
uk contient une suite partielIe de points ukv' v = 1. 2 • . . . tels que
(I 0)
Parce que p < 4 nous pouvons fixer deux nombres positifs e et 0 tels que
(tI)
Considérons la série
a>
1Jl (z) = };k-1-
1l
(Z-ak)Q.
z dans D. (12)
k=l
ou (z -uk)O est positif quand z - Uk est positif. Chaque terme de la série a sa partie
réelle positive parce que 0 < 1 en vertu de (11). et e étant positif la série converge
uniformément dans
tout domaine borné . Par suite 1j1 (z) est holomorphe dans D et sa
partie réelle est positive. En outre 1j1 (z) est continue SUl' D (x:> 0). donc elle est bornée
au voisinage de tout point de I'axe imaginaire. Remarquons encore que pour tout point
de D l'inégalité
11Jl (z) I < M (I z I + 1)°
(13)
est valable. M étant indépendant de z.
La dérivée
a>
1Jl' (z) = 6}; k-1-1! (Z-ak)H
(14)
k=l
est à partie réelle positive. cal' chaque terme de la série (14) I'est parce que 0 < 0 < I.
Donc 1j1 (z) est univalente dans D.
Soit maintenant it un point quelconque de l'intervalle I. SUl' rt considérons la suite
des points
Zv situés avec les ukv SUl' des droites parallèles à I'axe réel. donc
1
Zv-ak
v =
Xv = I ak
v
-it ,"p.
v= 1. 2 •...
En vertu de (14). Ia partie réelle de chaque terme étant positive.
d·ou. en appliquant successivement (10). (15). (111,.
(15)
.=1.2 •... 1 (16)
ou q est une constante positive. Done 1j1 (z) satisfait à (9) quel que soit i t SUl' I. Posons
a>
cp (z) = ); n-
2
1Jl (Z + in).
(17)
n=-CXI
L'inégalité (13) entraïne que dans tout domaine borné la sérit: (17) a pour majorante une
série de terme générale K
n-
HO• K constant.
Done. puisque 0 < 1. cp (z) est holomorphe

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dans D, continue sur D (x ~ 0) , par conséquent bornée au voisinage de tout point de
l'axe imaginaire, comme 1p (z).
De plus ~ (z) est univalente. En effet, la partie réelle de
~'(z) est positive parce que la partie réelle de la dérivée de chaque terme de la série
(17) est positive.
Soit it un point quelconque de l' axe imaginaire. 11 existe un entier m tel que i t -i m
est
sur f En appliquant (16) aux Zv qui correspondent à t-m nous aurons'sur rt_m
ffi I 'P' (z,,) I> 6x;-I-Q,
v= 1. 2., ..
De (17) on tire, en prenant Ie terme d'indice - m,
les parties réelles des dérivées des autTes termes étant positives. Or la suite Zv + i mest
sur rt et Z1 + i m tend vers i t pour vinfini. Donc ~ (z) satisfait à (9) en tout point i t
de l'axe imaginaire.
11 s'agit encore d'en déduire une fonction holomorphe. univalente et bomeé dans D
qui montre la même conduite. Posons
1
f (z) = 'P (z) + 1 .
f (z) est holomorphe et bornée dans D parce que ~ (z) est holomorphe et à partie réelle
positive. f(z) est univalente parce que ~ (z) rest. Soit it un point quelconque de l'axe
imaginaire.
~ (zl étant bornée au voisinage de i t, les Zv sur rt satisfont à
v= 1. 2 ....
ou H (t) et h (t) sont positifs et indépendants de v. Donc f (z) satisfait à (9) quel que soit
i t sur l'axe imaginaire. C. Q. F. D.