Points singuliers d`un ensemble analytique notion de dénominateur

Séminaire Henri Cartan
H. C ARTAN
Points singuliers d’un ensemble analytique notion de
dénominateur universel
Séminaire Henri Cartan, tome 6 (1953-1954), exp. no 9, p. 1-10
<http://www.numdam.org/item?id=SHC_1953-1954__6__A9_0>
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Séminaire E.N.S., 1953-54
D’UN ENSEMBLE ANALYTIQUE
POINTS SINGULIERS
NOTION DE DÉNOMINATEUR UNIVERSEL
(Exposé
de H.
Cartan, 8-2-1954,
révisé ultérieurement)
§1.
singuliers d’un ensemble analytique.
Points
Soit
On dit que
tier
k
V
est
0
même de dire que le germe
au
Ck
à
V
soit le germe
k
dans
l’origine
en.
deux germes
point régulier (ou simple)
un
l’algèbre analytique A(V)
tel que
Il revient
de
Ck.
Pour
qu’il
en
d’isomorphismes
à
l’image
alors que
de
soit
g°f
k
isomorphe
soit ainsi,
il
faut
au
l’origine,
et le
est
f, qui
de
en-
un
K.
d’espace
germe
suffit que
et il
de dimension
c’est nécessaire,
et
si
car
réciproques l’un
et
l’application
de
on a
l’au-
d’applications holomorphes
il
identique de
en
résulte que
f
théorème des fonctions implicites montre
est
V,
justement
germe de sous-variété
un
Cn.
Soit maintenant
l’origine
de
en.
réguliers
de
V
l’ouvert
§2.
est
s’il existe
V
en.
0 de
isomorphe à l’algèbre
soit
V
C’est évidemment suffisant;
est de rang
de
(à l’origine) d’une sous-variété analytique
tre, ils sont induits par deux germes
telles que
analytique à l’origine
germe de sous-ensemble
un
On
des
se
On
est
a
un
V
vu
un
germe quelconque
(Exposé 8, Prop. 5)
ouvert
points réguliers
partout dense;
est connexe
(au
d’ensemble analytique à
que
l’ensemble des points
si
V
sens
est
des
propose maintenant de démontrer le résultat
Théorème
guliers) d’un
1.
germe
L’ensemble
S(V)
des
d’ensemble analytique
lytique.
9-1
irréductible,
germes),
cf.
plus précis:
points singuliers (i.e.
V
est
un
Exp. 8,
germe
non
d’ensemble
réana-
entraîne aussitôt:
Ceci
Corollaire.
donné
Etant
X, l’ensemble
riété analytique complexe
est
un
sous-ensemble
germe irréductible
quelconque,
V,
Vi
qu’un point
à
un
Vi
seul
E
et
qu’il
de
i ~ j.
pour
analytique,
on
Si
Si
est
V
besoin
Vi;
pour
est
sont pas
assez
d’être prouvée.
l’origine
V,
S(V)
germe
1°
ce
d’ensemble
d’ensemble analytique.
a
admis que les
V.
lemme.
au
point
voisin de
V1
est
Soit alors
x
point
de
les germes
au
moins
a
résulte aussitôt du lemme suivant:
et
V2
V1
soit
deux germes
d’ensemble analytique à
irréductible;
assez
x
Il existe
un
V~
2°
voisin de
il existe
réguliers
U n
v1;
de
un
V1
et
0
de fonctions
V2;
donc,
définit le germe
voisinage
ouvert
contenu dans
si le germe
Vx
appartenant
.
systeme fini
f
ne soit pas
V
0, dont l’annulation définit
irréductible,
un
évident
Or cette dernière assertion
o.
o, l’annulation des
l’ensemble des points
de
points
Or ceci n’est
n’est pas contenu dans le germe
voisinage de
lomorphes
x
l’origine
des
et des intersections
précédent, on
réguliers pour
Alors, pour tout
V
Prouvons
que
V~
Soient
V2.
le germe
le germe
Elle
o, tels que:
contenu dans
a
voisin de
irré-
appartienne
x
sont des germes
un
d’un
Pour
l’ensemble
donc
réunion des
S(V)
conclut que
Lemme 1.
V
cas
de germes
(cf. Exposé 4, §3).
sait que les
on
i ~ j) ne
est
x
de
d’un germe
qu’a condition de savoir qu’en un point x commun à Vi et Vj
V1 et VJ sont tels qu’aucun n’est contenu dans l’autre, tout
dès que
va-
germe quelconque
un
il faut et il suffit que
régulier
est la
V
dans le
est vrai dans le cas
pour
régulier,
soit
prouvé
1 est
Mais; dans le raisonnement
Vi~ Vj (avec
d’une
V
points singuliers
réunion d’une famille finie
Vj
soit
V
points singuliers
Vi~ Vj
est
tels que
x
suit.
comme
V
qu’il
déduit
on en
d’ensemble analytique,
ductibles
des
Théorème
que si le
raisonnant
en
S
analytique
analytique.
d’abord
Observons
sous-ensemble
un
était
U
V2x.
U
de
fa
hotout
en
Puisque
o
tel
soit connexe.
contenu dans le
V2x,
germe
toutes les
donc de même
tout
en
point
points réguliers
V1
de
v
germe
V1
germe
V2,
l’origine;
ceci
contrairement à
Nous
aurons
Lemme 2.
holomorphes
que les
existe
une
l dans
tout
fa
s’annulent
V1
le
sur
est contenu dans le
cas
d’un germe irréductible ,
U’
(non supposée finie)
l’origine
(U’ C U) et
0
de
de
U
suivante:
un
f E ~
toute
d’une combinaison linéaire des
la forme
point régu-
en
C.Q.F.D.
le
famille
voisinage ouvert
propriété
de la
il s’ensuit
besoin d’un lemme:
voisinage ouvert
un
jouissant
dans
un
que le germe
signifie
a
Puisque l’ensemble
U.
s’annulent
fa
Or il y
x.
est connexe,
U
serait
en
l’hypothèse.
Soit ~
dans
et il
suffisamment voisin de
contenus dans
Démonstration du Théorème
§2.
V1
le germe
U, donc, à la limite, les
contenu dans
à
sur
appartiennent à
et
(par prolongement analytique)
lier de
V1
E
y
réguliers
de tels y qui sont
des
s’annuleraient
f
f.
de fonctions
Cn;
de
o
système
alors il
fini de
s’écrit,
U’,
dans
E ~
f.
sous
à coefficients holomorphes
U’ .
(Pour
Exposé 18,
Séminaire 1951-52,
la démonstration voir
Exposé
Il, Th. 2, et
§5, Coroll. 3.)
Ce lemme entraîne aussitôt le suivant:
Etant
Lemme 3.
une
un
la
par
sous-ensemble
où
description
k
analytique
sommes
le germe
l’espace
V
une
la dimension de
qu’à l’origine.
polynôme distingué
en mesure
Cn
V
donne dans
V,
on a un
tel que
x ,
irréductible
l’Exposé
dans
est
communs
x.
ne
8
0
(§§l
Théorème
de
et
cordonnées
C ).
2).
1 dans
Reprenons
En
désignant
de
s’annulent simultanément
sur
description conduit à introduire
P(z)
(à
le
xl,..., xn
choix des
... ,
En outre cette
de prouver le
(à l’origine
est irréductible
du germe
holomorphes
X.
maintenant
V
ambiant
de
famille de fonctions
X, l’ensemble de leurs zéros
variété analytique complexe
Nous
cas
donnée
coefficients
holomorphes
un
en
et on
x-, ~ ...~
points réguliers
les
de
peut supposer
coordonnées locales
est ~
Toutefois,
on
tout
en
pour lesquels
V
sur
Bien entendu,
o.
V.
de
V
de
est la
z
que
coordonnée
un
où la dérivée
système
P’(z)
n’obtient pas ainsi tous les points
réguliers
point régulier
on
V
de
(voisin
ci. J (arbitrairement petites)
choisir des constantes
forment
xl,..., xk
sont exactement ceux
alors
de
o) j,
peut
telles que les fonc-
tions
forment
système
un
coordonnées locales
de
en ce
Cette remarque conduit à introduire
(l
1
De
(1)
où
les
k,
1
n) ,
j
au
f
de
sont des fonctions
im
xk+1,..., xn,
phisme réciproque g.
’V
x
sur un
une
des variables
y..
au
Alors- f
projection
réductible,
tible dans
on
induit
germe d’ensemble
point
peut
p
montrer
donc
Et
un
g,
Vf
sans
W est
sur
peine
un
germe
(coordonnées
(2) définissent
du
W,
suivi de la
V
x
comme
projection
défi-
(x1,..., xn),
point
V.
l’isomor-
germe-produit
de
W
~ ij
(1’ isomorphisme
C
isomorphisme
le germe
que
un
sur
associe le
x
du germe
’-
y..- )
analytique
k(n+l) .
(x1,...,
holomorphes
Et les formules
y.. ) .
est (le dimension
qui,
nit
y..
(l) définissent
Les formules
(coordonnées x~ ... ~ x ~
C
C
nouvelles variables
à poser
et
X1,..., Xk,
x
nk
tire inversement
on
B.. et les
ij
voisinage de o.
’V
point.
Puisque
est
germe irréductible.
un
V
est ir-
germe irréduc-
D’après ce qu’on a vu plus haut, tout point régulier de V ( voisin de l’origine) est la projection, par p, d’un point régulier de W
(voisin de l’origine) tel que X1,..., X. et les y.. forment un système
de coordonnées locales
de
singuliers
V
compose des
se
système
nôme
Xk
de
paragraphe,
ce
et les
système
est /
de
W
singuliers
de
V
sont
pour lesquels
ceux
quels que soient les nombres
les
points
tème infini
de
ce
de
en (coordonnées
le Lemme 3,
Théorème
dans
les solutions
d’ensemble analytique à
Il
l’origine.
soient pas
un
y.. sont
en
W
les résultats rap-
s’introduit donc
holomorphes
un
X-~...~
en
coordonnée
et les
poly-
et les
y..
forment
un
où le polynôme dérivé
qui
ce
voisins de
d’équations holomorphes
point
précède
que les
points
l’on ait
x ,...,
système étant holomorphes
D’après
en
un
x)
zéro.
ceux
Ce sont donc,
qui satisfont à
xl,..., xn,
les
premiers
parmi
un
sys-
membres
voisinage fixe de l’origine.
d’un tel
système
définissent
un
germe
Et ceci achève la démonstration du
1.
Remarque:
si
V
est
composantes irréductibles de
S(V) ~
yl.
ne
et les
X ~...~ X k
ceux
tels que
points
s’annulent simultanément
ne
coefficients
Finalement, il résulte de tout
o.
y..
X.
est la
coordonnées locales sont
de
et
...,
V.
peut supposer
on
points réguliers
X1,
pour
Q(z) , à
distingué irréductible
des
point.
et elles
W
S(V)
tels que, pour tout
V
~
qu’on peut appliquer à
Il s’ensuit
qu’à l’origine.
pelés, au début
ce
W, les fonctions
à la dimension de
égal
x
X1,..., X.
coordonnées locales pour
de
Sur le germe
nombre
points
les fonctions
de la fibre
l’ensemble
Autrement dit,
W.
sur
V.
irréductible
S(V)
de dimension
sont de dimension
k, toutes les
k-l, puisque
La notion de dénominateur universel
§3 .
V
Soit
Vl
soient
ses
un
d’ensemble analytique à l’origine
germe
composantes irréductibles.
A(V),
Notons
Cn, et
A(Vl), l’alde
0
resp.
.
gèbre
germes de fonctions induites
des
sur
(resp.
V
V1)
sur
par les ger.
’"-’
de fonctions
mes
l’espace
de
holomorphes
ambiant.
A(V) ~
Soit
resp.
.
intégrale
la clôture
de
l’Exposé
A(V)
Les
2.
Vi ~ V)
L’algèbre
resp. de
Les
Propositions 5
et 6
7 entraînent aussitôt le théorème suivant:
Théorème
clusions
A(V),
de
identifient
est
un
A(Vl)
A(V) ~
pro jections
A"(V)
l’algèbre
par les in-
algèbres
au_ produit des
type fini
sur
intégrale A(V)
est
module de
(définies
A(V) ,
c’est
et
un
anneau
noethérien.
Puisque la clôture
contenue, par définition,
~/
dans
l’anneau complet des fractions de
s’écrire
pas diviseur de zéro dans
Définition:
semble
analytique
on
V,
u
ou
et
cette dernière condition
ambiant qui induit
appelle dénominateur
élément
un
v
E
A(V),
v
exprime
étant
que le
s’annule identi-
ne
v
A(V) peut
A(V),
sont dans
v
Vi.
composantes irréductibles
des
aucune
sur
A(V);
l’espace
germe de fonction de
quement
uw,
fraction
comme une
tout élément de
A(V),
universel pour le germe d’ennon
zéro,
diviseur de
tel que,
N
pour tout
f
E
A(V),
dans
ayant
de
vf
A(V)
A(V).
soit dans
puisse s’écrire
pour dénominateur
v
Autrement dit,
on
la forme d’une
sous
(le numérateur ètant,
bien
entendu,
A(V) ) .
Proposition
un
produit
élément
demande que tout
fraction
le
IL.
Un germe
d’ensemble analytique
V
possède toujours
dénominateur universel.
f-~
Cela résulte immédiatement du fait que
fini
sur
module;
zéro.
A(V).
on a
Alors le
dent que c’est
En
effet, soit
f =
avec
produit
un
v
des
système
un
ua
et
A(V)
va
dans
va n’est pas
dénominateur universel.
est
un
générateurs
fini de
A(V),
module de
va
diviseur de
non
zéro,
type
de
ce
diviseur de
et il évi-
On
étudiera plus loin (Théorèmes 3
4)
et
dénominateurs
les
d’un germe d’ensemble analytique irréductible.
sels
univer-
Des maintenant,
on va
.
voir comment la connaissance ~ pour chaque
composante irréductible
Vl
de
.
{V
V
non
supposé irréductible), d’un
de construire
un
vl,
dénominateur universel
dénominateur universel pour
V.
Pour chaque
permet
i, il existe
.
une
gl
fonction holomorphe
l’espace
de
ambiant qui induit la constante
o
..
w
VJ ( j ~ i)
chaque germe
sur
2.
Proposition
est
n’induit pas zéro
et
précédentes,
Avec les notations
dénominateur universel pour le germe
un
V1.
sur
la fonction
V.
.
Démonstration:
V1,
sur
même germe de fonction que
induit le
v
...
n’induit pas identiquement
V
donc
diviseur de zéro dans
IL
fl
avec
dans
l’espace
A(V).
ambiant qui,
On
sur
va
montrer
V~ ~
chaque
V1;
sur
~
f
Soit alors
A(V ) .
E
o
qu‘ il
n’est pas
v
N
(fl)
_
ainsi
un
élément
existe
une
de
A(V) ~
holomorphe
(p
induit la même fonction que
v~’.
......
*
v~’
Or
induit
hypothèse,
Donc
vf
sur
Vl
la même fonction que
induite par une fonction
induit
sur
Vl
03C6i
et
holomorphe
dans
gl
la même fonction que
est, par
l’espace
ambiant.
et aus s i la même f onc -
*
....
03A3j
tion que
cp
gj03C6j,
satisfait bien
puisque
aux
gj
induit zéro
conditions
V1 pour j ~
sur
i.
Posons
exigées.
C.Q.F.D.
§4.
Etude des
dénominateurs
Soit maintenant
V
un
l’origine
0
de
de
ouvert
U
supposé
irréductible.
au
universels
§2 de cet
Exposé:
d’un germe irréductible,
sous-ensemble
en,
et soit
analytique
V
son
0
dans
germe à
Reprenons la description canonique
il
s’introduit
un
de
un
voisinage
l’origine,
Va rappelée
polynôme distingué irréductible
P(z ; xl,
xk) . L’Exposé
...,
nôme dérivé
P’ (z; x-. ~ ... ~
Vo.
Aux
ment
irréductible;
points
P’ (z)
Ainsi
est
est
point
x
polynôme Q
au
de la fin du
existe
dans
est
on
Théorème
3.
X,
un
au
de
a
va
analytique
X,
X
au
et
et
en
suffisam-
V
de
point
irréductible à l’origine.
zéro),
voisines de
Compte
Pour
Vx
le
poly-
tout
en
tenu des résultats
analytique d’une variété
ses
points
au
Alors il
a.
de
voisinage
a
suivantes:
point
a,
par
l’ensemble
S
l’ensemble des points du germe
V
des
défini
est
v.
E
x
dénominateur universel pour
un
suffisamment voisin de
V
a.
maintenant prouver le:
Soit
V
un
puissance
wn
chaque point
E
x
Démonstration:
vi
du
le germe
sur
V
l’un de
en
V.
Si
ses
une
points
fonction
s’annule identiquement
a
soit
analytique d’une variété
sous-ensemble
irréductible
supposé
voisinage de
les fonctions
applicable.
encore
v., holomorphes
au
chaque point
en
s’annuler identiquement
que la
est
l’un de
en
l’ensemble des points singuliers de
dans
n’est plus nécessaire-
0;
Théorème 4.
’
V
sous-ensemble
chacune des fonctions
point
tout
l’origine.
propriétés
est
V,
équations
On
un
Sa défini,
le germe
(ii)
X
en
y.. (et
de fonctions
X, qui jouissent des
par les
V
V
Soit
supposé irréductible
points singuliers
poly-
peut énoncer:
système fini
(i)
montre que le
dénominateur universel pour le germe
un
§2,
analytique
1)
de la fin du §2 ci-dessus.
aux
suffisamment voisin de
V
E
o, le germe
o, du moment que
chaque système de valeurs données
Q’
Lemme
dénominateur universel pour le germe
un
dénominateur universel
un
Revenons alors
nôme dérivé
au
toutefois le même corollaire est
l’origine
ment voisin de
xk)
voisins de
V
E
x
(Corollaire
7
un
dénominateur
assez
soit
V ,
I
il
existe
entier
universel pour
voisin de
V
h
au
>
S
sans
o
tel
point
a
a.
l’idéal (premier)
Théorème 3 engendrent
holomorphe
le germe
sur
un
w
S
et soit
a,
un
idéal
du germe
J, et
V ; I et
Sa est le germe
des
zéros
satz"
(Exp. 8,
wh
tel que
les
Théorème
J.
E
On
comme
u.g. -L
En
I.
au
point
A(VX )~
~
-L
sous-ensemble
on a
irréductibles
blé
analytique
voisinage
U
un
un
h
exposant
un
dans la variété ambiante
a
point
bien
V
E
x
gi
prouvé
E
que
voisin de
assez
(Théorème 3).
élément
soit, dans
les
fÉ
Donc si
A( X);
donc
v
un
est
x,
a,
on a
dénominateur
V~
dans
V .
assez
petit
V n U.
Chaque
V
a
(cf. Théorème 3).
en
fait, que la fonction
~
a
Viaa
de
a
dans
est le germe
Avec les notations de la
en
chacun de
ses
d’un
sous -ensem-
on
peut choisir
V
sont
a)
soit
V
Proposition
en
un
définis~
un
sup-
dénomi-
points suffisamment voisins
Alors la démonstration de la
a.
de
X,
les composan-
Proposition 2~
voisinage
dénominateur universel pour l’ensemble
suffisamment voisin de
a ;
lequel tous les
au
Via
Soient
V.
voisinage convenable de
v (holomorphe
posons que la fonction
nateur universel pour
a
un
variété analytique complexe
une
V, et soit
du germe
leur réunion étant
un
il existe
"Nullstellen-
x.
analytique
tes
de
voisinage
au
égal à
est
E. -L
En vertu du
donc
a
Remarque finale:
est
corollaire),
sont des dénominateurs universels
universel
un
Théorème 3.
le
et son
l
étant dans l’idéal
chaque produit
et
d’après
J,
ul étant holomorphes
et 03C6
v.
l’idéal
de
2
de
prouve,
chaque point de
V
9-10
BIBLIOGRAPHIE
Pour la notion de
dénominateur universel,
K. OKA, Journal Math. Soc.
l’énoncé
Japan,
3(1951),
p.
et le Théorème
259-278.
4,
voir
Voir notamment
du haut de la page 265.
Le lecteur pourra aussi consulter le livre de M.
Complex Variables, Local
§6.
Theory,
Oxford Univ. Press
1963;
HERVÉ,
Several
voir
Chap. IV,