Corrigé

Cours d’Alg` ebre I Bachelor Semestre 3
Prof. E. Bayer Fluckiger 8 octobre 2012
S´erie 3
Exercice 1.
(1) Sachant que le 8 octobre 2012 est un lundi, d´eterminer `a quel jour de
la semaine correspond la date du 8 octobre 2013. R´epondez `a la mˆeme
question en rempla¸cant 2013 par 2014 puis 2015 puis 2016. Essayez de
d´eterminer quel jour de la semaine vous ˆetes n´e.
(2) Calculer le reste de la division euclidienne de 21001 par 15,puis le reste de
la division euclidienne de 41100 par 29.
Solution.
(1) Les jours de la semaine se r´epettent tous les 7 jours. Cela signifie que pour
d´eterminer quel jour de la semaine correspond `a la date du 8/10/2013 en
sachant que le 8/10/2012 est un lundi, il suffit de calculer le reste de la
division euclidienne par 7 du nombre de jours ´ecoul´es entre 8/10/2012 et
le 8/10/2013, `a savoir 365 jours (2013 n’est pas une ann´ee bisextile ; 2012
est une ann´ee bisextile mais le mois de f´evrier intervenant dans les calculs
est le mois de f´evrier 2013). On peut constater que 365 ≡1 mod 7. Par
cons´equent, le 8/10/2013 est un mardi.
De la mˆeme mani`ere, on peut montrer que le 8/10/2014 est un mer-
credi et le 8/10/2015 un jeudi. L’ann´ee 2016 est bisextile. Nous devons
donc prendre en compte un jour suppl´ementaire, `a savoir le 29/2/2016.
Autrement dit, 366 jours s’´ecoulent entre le 8/10/2015 et le 8/10/2016.
Le 8/10/2016 est donc un samedi.
(2) Pour r´epondre `a la question on utilise les classes de congruences modulo
15 et modulo 29 de la fa¸con suivante :
21001 = 21000 ·2 = (24)250 ·2 = 16250 ·2≡15 1250 ·2≡15 2,
et
41100 ≡29 12100 ≡29 (122)50 ≡29 14450 ≡29 (−1)50 ≡29 1.
Le reste de la division euclidienne de 21001 par 15 est donc 2, et le reste
de la divison euclidienne de (41)100 par 29 est 1.

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D´efinition 1. Soient a, b ∈Z.On dit que adivise bet on note a|bs’il existe
c∈Ztel que ac =b.
D´efinition 2. Soient a, b ∈Znon nuls. On dit que d∈Zest un plus grand
commun diviseur (pgcd) de aet b, et on note d= Pgcd(a, b) si dsatisfait aux
deux conditions suivantes :
(1) l’entier ddivise aet b;
(2) l’entier dest divisible par tout diviseur commun cde aet b.
Remarque : Dans l’exercice 3 on commence par vous demander de montrer que
deux entiers non nuls admettent toujours un pgcd, unique au signe pr`es. Par
d´efaut on parle du pgcd de aet bpour d´esigner l’unique pgcd positif de aet b.
D´efinition 3. Soient a, b ∈Znon nuls. On appelle relation de Bezout entre aet
btoute ´egalit´e de la forme
λa +µb = Pgcd(a, b)
avec λ, µ ∈Z. Les entiers λet µsont appel´es coefficients de Bezout.
Exercice 2.
Soient a, b ∈N\ {0}.
(1) Montrer que deux entiers non nuls admettent toujours un pgcd, unique
au signe pr`es.
(2) Soit rle reste de la division euclidienne de apar b. Montrer que
Pgcd(a, b) = Pgcd(b, r).
(3) En d´eduire un algorithme permettant de calculer Pgcd(a, b), ainsi qu’une
relation de Bezout entre aet b. Pensez `a bien justifier votre r´eponse.
(4) En modifiant la r´eponse a la question pr´ec´edente, montrer l’existence
d’une relution de B´ezout entre aet b.
Solution.
(1) Commen¸cons par montrer l’unicit´e au signe pr`es. Supposons que det d0
sont deux Pgcd de aet b. Comme dest un Pgcd et d0est un diviseur
commun de aet b, on a d0|d. De mani`ere analogue on montre que d|d0.
Ainsi, on a d0=±d. L’existence du Pgcd de aet bd´ecoule du th´eor`eme
fondamental de l’arithm´etique.
En effet, d’apr`es le th´eor`eme fondamental de l’Arithm´etique, tout entier
naturel n≥1 se d´ecompose de fa¸con unique `a l’ordre des facteurs pr`es
en produit de nombres premiers. Si Pd´esigne l’ensemble des nombres
premiers, une telle d´ecomposition peut s’´ecrire sous la forme
n=Y
p∈P
pαp,

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o`u les entiers naturels αp≥0 sont presque tous nuls, c’est-`a-dire qu’ils
sont tous nuls, sauf un nombre fini d’entre eux. Le produit ci-dessus est
donc un produit fini.
Soient a=Y
p∈P
pαpet b=Y
p∈P
pβples d´ecompositions de aet ben produit
de nombres premiers. On v´erifie alors que l’entier naturel ddonn´e par
d=Y
p∈P
pmin{αp;βp}
est un pgcd de aet b, et donc le pgcd de aet b.
(2) Soit dun Pgcd de aet b. La division euclidienne de apar bs’´ecrit
a=qb +r(*)
pour un couple d’entiers (q, r) avec 0 ≤r < b.
Comme ddivides b, l’entier ddivise bq. Or ddivise adonc ddivise
a−qb =r. Soit d0un diviseur commun de bet r. De l’´egalit´e (*) nous
d´eduisons que d0divise a. Par d´efinition de dnous savons alors que d0
divise d. Ainsi dsatisfait aux deux conditions d´efinissant le Pgcd de bet
r.
(3) Nous d´ecrivons un algorithme r´ecursif bas´e sur le r´esultat de la question 2.
Entr´ee : deux entiers a, b.
Sortie : un Pgdc pour aet b.
PGCD(a, b){
r := Residue(a, b) ; /*rest le reste de la division de apar b*/
If r= 0 returns b; /* Cela signifie que si b divise aalors b= Pgdc(a, b)*/
else returns PGCD(b, r) ;
}
Cet algorithme termine en temps fini (et ne cr´ee pas de boucle infinie)
car le reste rdiminue au moins de 1 `a chaque appel r´ecursif `a la fonction
PGCD. Par ailleurs, le r´esultat de la question (2) implique que l’algorithme
retourne bien un Pgcd de aet b.
(4) Nous modifions la r´eponse `a la question pr´ec´edente en donnant un algo-
trithme permettant le calcul d’une relation de Bezout entre aet b.

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Entr´ee : deux entiers positifs aet b.
Sortie : un tableau Aavec pour entr´ees λ:= A[1], µ := A[2] tels que
λa +µb = Pgcd(a, b).
BR(a, b){
r := Residue(a, b) ; /*rest le reste de la divison euclidienne de apar b*/
If r= 0 returns [0,1] ; /* dans ce cas on a bien 0·a+1·b=b=Pgcd(a, b).*/
else q:= (a−b)/r ;
returns [BR(b, r)[2],(BR(b, r)[1] −BR(b, r)[2] ∗q] ;
}.
Soient a, b deux entiers strictement positifs. Nous montrons par r´ecurrence
que BR(a, b) calcule bien un couple de coefficients de Bezout pour aet b.
Initialisation : b= 1. Dans ce cas r= 0 et la fonction calcule bien
une relation de Bezout entre aet b, `a savoir [0,1].
´
Etape de r´ecurrence : on suppose que pour tout couple (a1, b1) d’en-
tiers positifs tels que b1< b le r´esultat BR(a1, b1) est une relation de
Bezout entre a1et b1. Si b|aalors r= 0 et le r´esultat provient alors de la
d´efinition de BR. Sinon, on a 0 < r < b. Dans ce second cas, l’hypoth`ese de
r´ecurrence montre que les entiers λ1:= BR(b, r), µ1:= BR(b, r) v´erifient :
λ1b+µ1r= Pgcd(b, r).(†)
En rempla¸cant rpar a−qb dans l’´equation (†) on constate que
µ1a+ (λ1−µ1q)b= Pgcd(b, r).
Comme Pgcd(a, b) = Pgcd(b, r) on en d´eduit que [λ, µ] := [µ1,(λ1−µ1q)]
sont des coefficients de Bezout pour aet b.
Exercice 3.
(1) Trouver tous les entiers ntels que 147 divise 34n−1.
(2) Montrer que l’application
f:Z/20Z−→ Z/20Z
[n]20 7−→ [13n]20
est un automorphisme de groupes.
Solution.

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(1) On va montrer que 147 divise 34n−1 si et seulement si n≡13 mod 147.
Les entiers 147 et 34 n’ayant pas de facteur premier commun, on a
Pgcd(147,34) = 1.On commence par remarquer que 147 divise 34n−1 si
et seulement si il existe m∈Ztel que 34n−1 = 147m, c’est `a dire si et
seulement si il existe une relation de Bezout entre 147 et 34 de la forme
147m+ 34n= 1. Le calcul des relations de Bezout entre 147 peut ˆetre
effectu´e `a l’aide de l’algorithme d’Euclide ´etendu d´ecrit dans la solution
de l’exercice 2.
147 = 4 ∗34 + 11
34 = 3 ∗11 + 1
La seconde ´egalit´e donne une relation de Bezout entre 34 et 11. En rem-
pla¸cant 11 par 147 −4∗34 dans cette seconde ´egalit´e, on constate que
−3∗147 + 13 ∗34 = 1 est une relation de Bezout entre 147 et 34. Nous
allons d´ecrire deux m´ethodes pour d´eduire tous les ntels que 147 divise
34n−1.
Premi`ere m´ethode : on a 34n−1≡0 mod 147 si et seulement si
34n≡1 mod 147. Comme −3∗147+13∗34 = 1, la multiplication par 34
est un automorphisme de Z/147Zd’inverse la multiplication par 13. Plus
g´en´eralement, nous verrons dans l’exercice suivant que la multiplication
par 34 est un automorphisme de tout groupe cyclique d’ordre fini premier
`a 34. En d’autre termes, pour tout entier non a [n]147 = [13 ∗34n]147.
En particulier, [34n]147 = [1]147 si et seulement si [n]147 = [13 ∗34n]147 =
[13]147.
Seconde m´ethode : Pour d´eduire de l’´egalit´e −3∗147 + 13 ∗34 = 1
toutes les relations de Bezout entre 147 et 34, on remarque que l’on a
147m+ 34n= 1 si seulement si 34(n−13) + 147(m+ 3) = 0. Comme 147
and 34 sont premiers entre eux, l’´egalit´e 34(n−13) + 147(m+ 3) = 0 est
possible 1si et seulement si il existe un entier ktel que n= 13 + 147ket
m=−3 + 34k.
(2) La multiplication par un nombre entier dans Z/20Zet plus g´en´eralement
dans un groupe cyclique est un homomorphisme de groupe. Cette affir-
mation est une cons´equence de la distributivit´e de la multiplication par
rapport `a l’addition. Comme Z/20Zest un ensemble fini, une application
de Z/20Zdans lui-mˆeme est bijective si et seulement si elle est injective.
Ainsi pour pour montrer que fest un automorphisme de groupe, il suffit
de montrer que ker(f) = {[0]20}.
1une mani`ere simple de le prouver consiste ˜
A utiliser le Lemme d´ecrit dans la seconde
question