td operateurs fermes

Université Abdelhamid Ibn Badis de Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et d’Informatique
Master2 Analyse Harmonique et EDP
Matière : Théorie des Opérateurs Linéaires III
Opérateurs Fermés
(Novembre 2012)
1. Considérons dans l’espace de Hilbert l2 l’opérateur T dé…ni par
T (xn ) = (nxn ):
(a) Montrer que T est un opérateur densement dé…ni et fermé.
(b) Prouver que Im T = l2 :
2. Soit T : H ! H un opérateur linéaire fermé où H est un espace de Hilbert
et soit A 2 B (H) :
(a) Montrer que A + T est un opérateur linéaire fermé.
(b) Montrer que AT est un opérateur linéaire fermé.
3. Considérons dans l’espace de Hilbert l2 l’opérateur T dé…ni par
T (x1 ; x2 ; x3 ; : : :) = (x2 ; 2x3 ; 3x4 ; : : :):
Montrer que T est un opérateur densement dé…ni et fermé.
4. Soit T : D (T ) H ! H un opérateur linéaire fermé où H est un espace
de Hilbert. Supposons (un )n et (vn )n deux suites de D (T ) véri…ants :
limun = limvn :
n
n
Montrer que si (T un )n et (T vn )n sont toutes deux convergentes, alors
limT un = limT vn :
n
n
5. Soit T : D (T ) H ! H un opérateur linéaire fermé où H est un espace
de Hilbert. Montrer qu’il existe précisement une unique extension T1 de
T telle que D (T ) = H; et montrer que kT1 k = kT k :
6. Soit T : D (T )
H ! H un opérateur linéaire fermé et soit A
compact. Montrer que T (A) est fermé.
H
7. Soit T : D (T ) H ! H un opérateur linéaire fermé. Montrer que ker T
est un sous espace fermé de H.
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