td operateurs fermes

Université Abdelhamid Ibn Badis de Mostaganem
Faculté des Sciences Exactes et d’Informatique
Département de Mathématiques et d’Informatique
Master2 Analyse Harmonique et EDP
Matière : Théorie des Opérateurs Linéaires III
Opérateurs Fermés
(Novembre 2012)
1. Considérons dans l’espace de Hilbert l2l’opérateur Tdé…ni par
T(xn) = (nxn):
(a) Montrer que Test un opérateur densement dé…ni et fermé.
(b) Prouver que Im T=l2:
2. Soit T:H!Hun opérateur linéaire fermé où Hest un espace de Hilbert
et soit A2B(H):
(a) Montrer que A+Test un opérateur linéaire fermé.
(b) Montrer que AT est un opérateur linéaire fermé.
3. Considérons dans l’espace de Hilbert l2l’opérateur Tdé…ni par
T(x1; x2; x3; : : :) = (x2;2x3;3x4; : : :):
Montrer que Test un opérateur densement dé…ni et fermé.
4. Soit T:D(T)H!Hun opérateur linéaire fermé où Hest un espace
de Hilbert. Supposons (un)net (vn)ndeux suites de D(T)véri…ants :
lim
nun= lim nvn:
Montrer que si (T un)net (T vn)nsont toutes deux convergentes, alors
lim
nT un= lim nT vn:
5. Soit T:D(T)H!Hun opérateur linéaire fermé où Hest un espace
de Hilbert. Montrer qu’il existe précisement une unique extension T1de
Ttelle que D(T) = H; et montrer que kT1k=kTk:
6. Soit T:D(T)H!Hun opérateur linéaire fermé et soit AH
compact. Montrer que T(A)est fermé.
7. Soit T:D(T)H!Hun opérateur linéaire fermé. Montrer que ker T
est un sous espace fermé de H.
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