Mathématiques pour la mécanique quantique

Mathématiques pour la mécanique quantique
Responsable(s) : Xavier Bay
DESCRIPTION GENERALE
En mécanique quantique, l'état d'un système physique est décrit par une fonction d'onde. Cette
fonction peut être vue comme un point dans un espace (vectoriel) comme en mécanique
classique sauf que ce point (ou vecteur) vit en réalité dans un espace de dimension infinie,
puisqu'il s'agit d'un espace (linéaire) de fonctions.
Il se trouve que la vision euclidienne classique peut être prolongée aux espaces de la mécanique
quantique, grâce au concept central d'espace de Hilbert : espace vectoriel normé complet dont la
norme (métrique) est issue d'un produit scalaire comme pour les espaces euclidiens. Les espaces
de Hilbert usuels sont construits grâce à la théorie de l'intégrale de Lebesgue.
Un premier travail sera de voir comment une fonction d'onde dans un espace de Hilbert peut être
décrite par un système infini (mais souvent discret) de coordonnées grâce à la notion de base
orthonormée ou base hilbertienne. Cela permettra également d'interpréter dans le formalisme de
la mécanique quantique une fonction d'onde comme une superposition infinie d'états avec des
probabilités a priori (en dehors de toute mesure) plus ou moins importantes. La cohérence d'un
tel formalisme sera assurée par la relation de Bessel-Parseval. Par ailleurs, l'analyse de Fourier
apparaîtra comme un cas très particulier.
Un second travail va s'attacher à décrire simplement une classe suffisamment riche d'applications
linéaires (ou opérateurs sur un espace de Hilbert) en terme de décomposition spectrale comme
dans le cas de la dimension finie. Dans le formalisme de la mécanique quantique, cela permettra
d'analyser le résultat d'une mesure ou observable puisque cette dernière est "naturellement"
associée à un opérateur auto-adjoint...
Enfin, l'exemple de l'oscillateur harmonique quantique sera étudié en détails pour illustrer les
différents concepts, en particulier de symétrie et de compacité d'un opérateur..
MOTS-CLES
espace de Hilbert, base hilbertienne, opérateur, spectre d'un opérateur
NOMBRE D’HEURES A L’EMPLOI DU TEMPS
12
DOMAINE(S) OU CHAMPS DISCIPLINAIRES
Chimie, génie des procédés, Matériaux, Mathématiques

LANGUE D’ENSEIGNEMENT
Français
OBJECTIFS D’APPRENTISSAGE
A la fin de l’unité pédagogique, l’élève sera capable de :
Niveau de
taxonomie
Priorité
d'appréhender la géométrie dans les espaces de Hilbert
comme extension de la géométrie 3D usuelle
2. Comprendre
Important
faire la décomposition d'un vecteur sur une base hilbertienne
3. Appliquer
Essentiel
d'analyser la décomposition spectrale de certains opérateurs
auto-adjoints
4. Analyser
Utile
d'étudier un cas simple d'opérateur issu de la mécanique
quantique
4. Analyser
Utile
MODALITES D’EVALUATION DES APPRENTISSAGES
Part de l’évaluation individuelle
Part de l’évaluation collective
Examen sur table :
100
%
Livrable(s) de projet :
0
%
Examen oral individuel :
0
%
Exposé collectif :
0
%
Exposé individuel :
0
%
Exercice pratique collectif :
0
%
Exercice pratique individuel :
0
%
Rapport collectif :
0
%
Rapport individuel :
0
%
Autre(s) :0 0 %
PROGRAMME ET CONTENUS

Type d’activité
pédagogique
Contenu, séquencement et organisation
Cours
Introduire à la géométrie dans des espaces de dimension infinie avec le
cas des espaces fonctionnels
Définir les espaces de Hilbert et la décomposition sur une base
orthonormée ou base hilbertienne
Travaux Dirigés
Construction de bases orthonormées pour des espaces de fonctions
usuels à partir du procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt
Cours
Définir et étudier certains opérateurs auto-adjoints sur un Hilbert.
Expliquer la notion topologique de compacité et le rôle central de cette
notion en dimension infinie : un opérateur auto-adjoint et compact a un
spectre discret
Travaux Dirigés
Etude de l'oscillateur harmonique quantique...