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Mines Physique 2 MP 2010 — Énoncé 1/6
´
ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO(ISAE),ENSTAPARISTECH,
TELECOMPARISTECH,MINES PARISTECH,
MINESDESAINT–´ ETIENNE,MINESDENANCY,
T´ EL ´ ECOMBRETAGNE,ENSAEPARISTECH (FILI` ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE(FILI` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2010
SECONDE´ EPREUVEDEPHYSIQUE
Fili` ere MP
(Dur´ ee del’´ epreuve:3heures)
L’usagedelacalculatrice estautoris´ e
Sujetmis ` adisposition desconcours:Cycle international, ENSTIM,TELECOMINT,TPE–EIVP
Lescandidats sontpri´ esdementionnerdefac¸on apparentesurla premi` erepagedelacopie:
PHYSIQUEII —MP.
L’´ enonc´ ede cette´ epreuve comporte6 pages.
–Si, aucoursdel’´ epreuve,un candidatrep` ere ce quiluisemble ˆ etreune erreurd’´ enonc´ e,il estinvit´ e` ale
signalersursa copie et` apoursuivresa compositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’il aura´ et´ e
amen´ e` aprendre.
–Ilnefaudrapash´ esiter` aformulerlescommentaires(incluantdesconsid´ erationsnum´ eriques)quivous
semblerontpertinents,mˆ eme lorsquel’´ enonc´ enele demandepasexplicitement. Labar` eme tiendra compte
de cesinitiativesainsiquedesqualit´ esder´ edaction dela copie.
574,8 KILOM` ETRESPAR HEURE!
Lemardi3avril 2007,` a13 h 14,laSNCF,associ´
ee ` aR´ eseauFerr´ edeFrance ainsiqu’` ala com-
pagnieALSTOMportait lerecord du mondedevitessesur rail `
alavaleurde574,8 km.h−1au point
kilom´ etrique194 delaligne` agrandevitesse est-europ´ eenne,grˆ ace ` alarameTGV DuplexV150 com-
pos´ ee dedeux motricesPOSencadrant troisremorques.Laremorque centrale´ etait ´ equip´ ee ` a chaque
extr´ emit´ ededeux essieux moteursAGV.Pour r´
ealisercetexploit denombreux param` etresphysiques
et techniquesont´ et´ e´ etudi´ esetoptimis´ es;dansleprobl` emequisuit nousallonsenexaminerquelques
uns.
Lescaract´ eristiquestechniquesdu TGV,dont toutesnesontpasutilis´ eesdansleprobl` eme,sont les
suivantes:massedelarame avec sespassagersMT=270 tonnes; longueurdelarame,LT=106 m;
largeurdelarame,ℓT=2,9m;hauteurdelarame,hT=4,1m.
Danstout leprobl` eme,lamassevolumiquedel’airsera constante et´ egale` a
ρ
a=1,3 kg.m−3,et
parsoucidesimplicit´ e,danslesapplicationsnum´ eriques,on prendrag=10 m.s−2pourlavaleurde
l’acc´ el´ eration delapesanteurterrestre eton n’utiliseraque3chiffres significatifs.
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Mines Physique 2 MP 2010 — Énoncé 2/6
I.—Trajetenlignedroite
Lorsd’un essair´ ealis´ edurant la campagnepr´ ealable` alatentativederecordsurunevoie approxima-
tivementrectiligne etplusou moinshorizontale,on arelev´ elesdonn´ ees suivantes
t[s]0 70 95 124 155 231 263 332
Vkm.h−10 150 200 250 300 350 400 450
1—Calculersurchaqueintervalledemesurelesvaleursdel’acc´ el´ eration moyennedelarame,on
exprimera cesvaleursenm.s−2dansun tableaur´ ecapitulatif.Estimerladistance parcouruen´ ecessaire
pouratteindrelavitessede450 km.h−1.
2—Unjournaliste convi´ e` a cetessaiavait apport´ eun petit pendulesimplequ’il avait suspendu au
plafond delavoiture.Ilcomptait,selon sesmots,«
mettre en´ evidence lagrandevitessedu train ».
Quelle a ´ et´ e,enr´ egimepermanent,l’inclinaison maximaledu pendulepar rapport` alaverticaledurant
l’essai?
Laramereposesurlesrailsparl’interm´ ediairedeseize essieux,dontdouze moteurs,compos´ escha-
cun dedeux roues.Laforce moyenne appliqu´ ee parlesrails surchaquejantedesrouesmotricesest
appel´ ee force detraction ` alajante.
3—Onsupposequelesefforts sont´ egalementr´ epartis surchaqueroue.Calculerlaforce de
traction ` alajante au d´ emarrage.LaloiempiriquedeCurtiusetKniffer (1943)exprimelavariation du
coefficientdefrottementstatique
µ aucontactroue−rail (rail sec etpropre)enfonction du moduleV
delavitessedu trainexprim´ ee en km.h−1.Elle affirmeque
µ =0,161 +7,5/(44 +V).Montrerqu’il
n’yavait pasdepatinagepossibledesrouesau d´ emarragedelarame.
Lorsdu mouvement,un certain nombrede causesdefrottementsproduisentuneforce r´ esultante
d’intensit´ eR=A+BV +CV2quis’oppose` alavitesseVdu train.Cetteintensit´ eRestappel´ ee
r´ esistance ` al’avancement.PourunerameTGV Duplexstandard de2motriceset8remorques,laSNCF
adopte,grˆ ace ` adesmesureseffectu´ eesjusqu’` adesvitessesde360 km.h−1,lesvaleursA=2 700 N,
B=31,8N.km−1.hetC=0,535 N.km−2.h2.Onfait l’hypoth` esequel’on peutconservercesvaleurs
pourdesvitesses sup´ erieures.
4—Lapuissance totaledesmoteursembarqu´ eslorsdu record´ etait de19,6MW.Cettepuissance
est-ellesuffisantepourpermettre` aunerameTGV Duplexstandard d’atteindrelavitessedu record
pr´ ec´ edentqui´ etait de540 km.h−1?Pourlerecord vis´ e,larameTGV avait ´
et´ emodifi´ ee par rapport
`
auneramestandardetnotamment lesdiam` etresdesrouesavaient´ et´ e agrandis,passantde920 mm ` a
1 092 mm.Quelle est laraison de cetagrandissementdesroues?
5—PourlarameV150 du record quine comportait que3remorquesetpourlaquellequelques
modificationsd’a´ erodynamisme avaient´ et´ e apport´ ees,lesparam` etresdelar´ esistance ` al’avancement
sontA=1700 N,B=20,1N.km−1.hetC=0,37 N.km−2.h2.Calculerlaforce detraction ` alajante
lorsdel’essaidu tableau delaquestion 1 ` alavitessede450 km.h−1.Existe-t-il un risquedepatinage ?
6—Montrerquelerecord n’estpossiblequedansune zonededescente.Estimez lapentede
celle-ci.
Lorsd’un essaidanslaphasedepr´ eparation un incidentad´ eclench´ elefreinaged’urgence alorsque
larameroulait ` alavitesseVo=506 km.h−1et larames’est immobilis´ ee au boutde15 km.
7—Quelle´ etait l’´ energie cin´ etiquedelarame aumomentdu d´ eclenchementdu freinage.Calculer
lad´ ec´ el´ eration moyennedurant lefreinage et ladur´ ee de ce freinage.
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Mines Physique 2 MP 2010 — Énoncé 3/6
8—Leprotocoledefreinagehabituelcomporteplusieursphases.Danslapremi` ereon ouvre
ledisjoncteur,lesmoteurs sontalorsencircuit ouvert,c’est la«marchesurl’erre».Calculerla
d´ ec´ el´ eration aux alentoursde500 km.h−1pourlarameV150.On notex(t)ladistance parcourue
depuisl’ouverturedu disjoncteur` al’instantt=0.En ne consid´ erantqueleterme enV2dansla
r´ esistance ` al’avancementetun parcoursenterrain horizontal,exprimerx(t)enfonction det,dela
vitesseinitialeVodelarame etdeladur´ ee
τ =MT/(CVo)donton pr´ eciseralavaleurnum´ erique en
secondes.Onmarchesurl’errepourabaisserlavitesse` a400 km.h−1.Quelle est ladistance parcourue
pendantcettemarche ?
9—Dansunesecondephase,lefonctionnementde certainsmoteursest invers´ e,chacun desquatre
moteursPOSdevientunedynamoconnect´ ee ` auner´ esistance RM=0,97 Ωrefroidieparun d´ ebit d’air
important.Ce d´ ebit estadapt´ e` alapuissance de900 kWd´ egag´ ee pareffetJouledanslar´ esistance.
Quelle est lad´ ec´ el´ eration danscettedeuxi` emephase,autourde400 km.h−1?
Lafin du freinage´ etait assur´ ee parde classiquesdisquesdefreinsurlesessieux non moteursquiont
´
et´ eport´ es` aplusde800◦Csansd´ eformation niusure anormale!
FIN DELA PARTIEI
II.—Comportementenvirage
Surletronc¸on delavoied’essai,il yavait quelquesvirages.Danslasuitenousprendronscomme
exempleleviragesitu´ e entrelespointskilom´ etriques190 et197 delavoie,delongueurd’arc
s=6 323 metderayon de courbure
χ =16 667 mtournant` agauche.Ce virage estparcouru` a
lavitesse constantede540 km.h−1.Lesfacesinternesdesrails sontdistantesdeℓr=1 435 mm.Les
centresdegravit´ edesremorques sontapproximativementsitu´ es` aunehauteurh=2,5mdu rail.
Onconsid` eredansun premiertempsle cashypoth´ etiqued’unevoiesansd´ evers,c’est-` a-direqueles
deux rails sontdanslemˆ emeplan horizontal.
10 —Latransition entrelavoierectiligne et lavoie en viragesefait parl’interm´ ediaired’un
tronc¸on deraccordementparaboliquedelongueur130 m.Quelle est ladur´ ee de cettephasedetran-
sition ?Qu’ontressenti lespassagers setenantdeboutdanslesvoituresdurant lefranchissementdu
tronc¸on detransition ?Ontraduira ceseffetsdefac¸on quantitative enexprimant lesvaleursextrˆ emes
delaforce ressentieparun passagerdemassemp=75 kgsetenantaucentredu train.
11 —On d´ efinit lasecousse(traduction du terme anglo-saxon «jerk»)commelad´ eriv´ ee du
vecteuracc´ el´ eration par rapportautemps.Lesnormeshabituellesdestransportsencommun limitent
l’intensit´ edes secoussesacceptables` alavaleurde2m.s−3pourle confortdespassagers.Lasecousse
engendr´ ee parce viragerespecte-t-ellelanormede confort?
12 —Un verred’eau pos´ esurlatablettedevantun passagermettrait en´ evidence laforce d’inertie
pr´ esentedansleviragededeux mani` eresdiff´ erentes.Lesquelles?
13 —` Aquellevitessemaximaleth´ eoriqueletrain peut-il parcourirleviragesansrisquede
d´ ecollementdesroues?
Enfait levirage estrelev´ eprogressivementdurant letronc¸on paraboliquederaccordement.Ensortie
de ce dernier,lerail ext´ erieurestsur´ elev´ ed’unehauteur
δ =130 mm par rapportaurail int´ erieur.Ce
d´ ecalagepersistedurant toutelaphase` a courbure constante,enfin,un tronc¸on paraboliquedesortie
deviragepermetderedescendrelerail ext´ erieur` ason niveauinitiald` esleviragetermin´ e.
14 —Quelles sont lesam´ eliorationsapport´ eesparled´ everspar rapport` alasituation delaquestion
pr´ ec´ edente ? D´ eterminer,dansler´ ef´ erentieldelarame,lanormeaedel’acc´ el´ eration centrifugesubie
parlepassager.Quelle est l’indication du penduledu journalistedont il estquestion danslapremi` ere
partiedurant lepassagedu virage ?
FIN DELA PARTIEII
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Mines Physique 2 MP 2010 — Énoncé 4/6
III.—Alimentation´ electrique
Lapuissance ´ electrique estfournie auTGV `
apartirdesous stations´ electriquesSSi=1,...,nquel’on
assimilera` adesg´ en´ erateursid´ eaux detension nominaleE=25 kVetdefr´ equence
ν =50 Hz.Ces
sous stations sont implant´ eeslelong delavoie etespac´ eesd’unedistance d=60 km.Elles sontreli´ ees
parun filconducteur,la cat´ enaire,suspendu au dessusdesrails.Lamotrice TGV rec¸oit l’alimentation
dela cat´ enaireparun contactglissantappel´ epantographesitu´ esurson toit.Touslesmoteursdela
motrice sontmont´ esen parall` ele entrelepantographe et lesrailsquiserventdeliaison masse` ala
Terre.On peutsch´ ematiserle circuit d’alimentation surlafigure1.
Lorsdu record,lapuissance desmoteurs
´
etait augment´ ee par rapportaux moteurs
des´ erie et latension d’alimentation en
sortiedes sous stationsavait ´ et´ emont´ ee
exceptionnellement` a31,2 kVsurlesec-
teurdu record` alaplace des25 kVno-
minaux.Aumomentdu recordlapuis-
sance ´ electrique consomm´ ee «au panto-
graphe»´ etait de24 MW et l’intensit´ e a
´
et´ emesur´ ee ` a800 A.FIG.1 – Sch´
emad’alimentation du TGV
Pournotre´ etudenousnousplac¸onsdanslesconditions suivantes: lefildela cat´ enairedesection
s=1,47 cm2estencuivreder´ esistivit´ e
ρ =1,72 ×10−8Ω.m.Latension des sous-stations´ etant
nominale,on supposequel’intensit´ edu courantcirculantdanslesmoteursestde600 A.Lerail
rectiligne estconfondu avec l’axeOxdont l’origine estplac´ ee ` aladerni` eresous-station ´ electrique
atteinteparleTGV.Lavariablexestdoncd´
efiniemodulod.
15 —Calculerlar´ esistance Rtotaledela cat´ enaire entredeux sous stations,puislar´ esistance
lin´ eique
λ enΩ.km−1.Peut-on n´ egligerlesdiff´ erencesdephasesentrelesdiverspointsdelaligne
entredeux sous stations,quelnomdonne-t-on ` a cette approximation ?
16 —D´ eterminerl’amplitudedesintensit´ esI1(x)etI2(x)d´ elivr´ eesparles sous stationsencadrant
leTGV situ´
e enxainsiquel’amplitudeU(x)delatension effectivementdisponible aux bornesdela
motrice situ´ ee enx.Exprimeralorslapuissance Pdissip´ ee pareffetJouledansla cat´ enaire.
17 —Localiserlaposition xmdelamotrice quicorrespond ` aun minimumdelatension d’alimenta-
tion desmoteurs.Exprimeralorscettetension minimale enfonction deE,RetI=I1+I2.D´ eterminer
lavaleurmaximalePmdelapuissance dissip´ ee enfonction deRetI.Commentercesr´ esultatsainsi
quelesdiversesapplicationsnum´ eriquesaff´ erentes.
Ledispositif r´ eeld’alimentation dispose
enfait d’un second fil(appel´ e«feeder»)
identique` ala cat´ enaired´ eploy´ e entreles
deux sous stationsvoisines;aumilieu
du parcoursun contactest´ etabli avec
lefildela cat´ enaire,aboutissant` ala
sch´ ematisation delafigure2.Onmontre
quelatension Uf(x)aux bornesdelamo-
trice s’´ ecrit maintenantFIG.2 – Alimentation avec feeder
Uf(x)=E−
λ
x(2d−3x)
2dIpour0≤x≤d 2
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Mines Physique 2 MP 2010 — Énoncé 5/6
18 —Calculerlatension Ufaux bornesdelamotrice enx=d/2,ainsiquesavaleurminimale.
Repr´ esentersurun mˆ emegraphiquelesfonctionsUetUfpourx∈[0,d].Commenterlerˆ oledu feeder.
FIN DELA PARTIEIII
IV.—Instrumentationlorsdesessais
Pourveiller` alas´ ecurit´ e et tirerdesenseignements surle comportementdu mat´ erieldanscescondi-
tionsextrˆ emesdevitesse,denombreux capteurs(plusde350,enregistrantplusde500 param` etres!)
´
etaientdispos´ esen diversendroitsdelaramed’essai.Lesinformationsde cescapteurs,dirig´ eesvers
lavoitureR8 transform´ ee enlaboratoirescientifique,´ etaientanalys´ esparune´ equipe compos´ ee d’une
quarantainedetechnicienset ing´ enieurs.
Pourd´ etecterparexempled’´ eventuellesvibrationsou instabilit´ es significativesd’une entr´ ee enr´ eso-
nance,il estn´ ecessaired’´ etudierlemouvementdediversespartiesmobilesaucoursdel’essai.On
prendra comme exemplelemouvementdel’unedesrouesdelarame,l’´ etude consistera` areleveren
continu l’acc´ el´ eration d’un point` alap´ eriph´ eriedu disque constituantcetteroue.
On pr´ esenteiciun mod` eled’acc´ el´ erom` etre ca-
pacitif1DdelafamilledesMEMS(MicroElec-
troMechanicalSystems)fix´ esurunepuce de
3mm de cˆ ot´ es.Ladimension typiquedu cap-
teurluimˆ eme estde400
µ m.Lerestedela
puce estoccup´ eparl’´ electronique associ´ ee.Le
mod` elem´ ecaniquesimplifi´ edel’acc´ el´ erom` etre
estrepr´ esent´ esurlafigure3.Unemassem=
3
µ g,ditemassesismique,assimilable` aun
pointmat´ erielAestreli´ ee ` al’enveloppedu
capteurpardesmicro poutres´ elastiquesde
coefficientderaideurk=0,17 N.m−1.Elles
contraignent lemouvementdeAdansunedi-
rection fixeOzpar rapportau boˆ ıtier.FIG.3 – Sch´
emadel’acc´ el´ erom` etre
Unamortissement` afrottementvisqueux proportionnel` alavitessedeApar rapportau boˆ ıtieretde
coefficientf=6,8
µ N.m−1.sestassur´ eparun gaz comprim´ edansleboˆ ıtier´ etanche.On notezA
laposition deAetzBlaposition d’un pointder´ ef´ erence du boˆ ıtierdu capteur rigidementfix´ e au
syst` emedonton veutmesurerl’acc´ el´ eration.On prendrazA=zBaureposeton noteraz=zA−zB.
Deux condensateursplansC1etC2sontform´ espardeux armaturesfixes
σ
1et
σ
2li´
eesau boˆ ıtieret
parl’armaturemobile
σ
0li´
ee ` aA.Ladistance entrelesdeux armaturesfixes seranot´ ee 2e(on prendra
e=50
µ mpourlesapplicationsnum´ eriques)et lasurface de chacunedesarmaturesestS.Aurepos
l’armature
σ
0est`
a´ egaledistance de
σ
1et
σ
2.Onrappellequelesrouesdu TGV record ontun rayon
rt=546 mm.Lapuce estquant` a elleimplant´ ee surlaface int´ erieured’uneroue(suppos´ ee plane
verticale)del’unedesremorques.Elle estfix´ ee ` aunedistance rb=540 mm del’axederotation de
laroue,deplusl’axeOzdu boˆ ıtierdu capteurestconfondu avec un rayon delaroue.
IV.A.—Analysem´ ecanique
19 —´ Etablirl’´ equation diff´ erentiellev´ erifi´ ee parz.On noteraaBla composantedel’acc´ el´ eration
du boˆ ıtiersurOz,on utiliseralesparam` etres
ω
o=qk
m,
ξ =f
2m ω
odonton pr´
eciseralesvaleurs
num´ eriqueset l’on tiendra comptedu poidsdeA.
20 —Onconsid` ereun roulementsansglissementdelarouesurun rail horizontal` alavitesse
constantedeV=540 km.h−1.D´ eterminerla composantesurOzdel’acc´ el´ eration communiqu´ ee au
boitier.On noteraaB0cette composante.
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