physique 2

´
ECOLE DES PONTS PARISTECH
SUPAERO (ISAE), ENSTA PARISTECH,
TELECOM PARISTECH, MINES PARISTECH,
MINES DE SAINT–´ ETIENNE, MINES DE NANCY,
T´ EL´ ECOM BRETAGNE, ENSAE PARISTECH (FILI` ERE MP)
´
ECOLE POLYTECHNIQUE (FILI` ERE TSI)
CONCOURS D’ADMISSION 2010
SECONDE ´ EPREUVE DE PHYSIQUE
Fili` ere MP
(Dur´ ee de l’´ epreuve: 3 heures)
L’usage de la calculatrice est autoris´ e
Sujet mis ` a disposition des concours : Cycle international, ENSTIM, TELECOM INT, TPE–EIVP
Les candidats sont pri´ es de mentionner de fac¸on apparente sur la premi` ere page de la copie :
PHYSIQUE II — MP.
L’´ enonc´ e de cette ´ epreuve comporte 6 pages.
– Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il est invit´ e` a le
signaler sur sa copie et ` a poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il aura ´ et´ e
amen´ e` a prendre.
– Il ne faudra pas h´ esiter ` a formuler les commentaires (incluant des consid´ erations num´ eriques) qui vous
sembleront pertinents, mˆ eme lorsque l’´ enonc´ e ne le demande pas explicitement. La bar` eme tiendra compte
de ces initiatives ainsi que des qualit´ es de r´ edaction de la copie.
574,8 KILOM` ETRES PAR HEURE!
Le mardi 3 avril 2007, ` a 13 h 14, la SNCF, associ´ ee ` a R´ eseau Ferr´ e de France ainsi qu’` a la com-
pagnie ALSTOM portait le record du monde de vitesse sur rail ` a la valeur de 574,8 km.h−1au point
kilom´ etrique 194 de la ligne ` a grande vitesse est-europ´ eenne, grˆ ace ` a la rame TGV Duplex V150 com-
pos´ ee de deux motrices POS encadrant trois remorques. La remorque centrale ´ etait ´ equip´ ee ` a chaque
extr´ emit´ e de deux essieux moteurs AGV. Pour r´ ealiser cet exploit de nombreux param` etres physiques
et techniques ont ´ et´ e´ etudi´ es et optimis´ es; dans le probl` eme qui suit nous allons en examiner quelques
uns.
Les caract´ eristiques techniques du TGV, dont toutes ne sont pas utilis´ ees dans le probl` eme, sont les
suivantes : masse de la rame avec ses passagers MT=270 tonnes ; longueur de la rame, LT=106 m ;
largeur de la rame, ℓT=2,9 m; hauteur de la rame, hT=4,1 m.
Dans tout le probl` eme, la masse volumique de l’air sera constante et ´ egale ` a ρ
a=1,3 kg.m−3, et
par souci de simplicit´ e, dans les applications num´ eriques, on prendra g=10 m.s−2pour la valeur de
l’acc´ el´ eration de la pesanteur terrestre et on n’utilisera que 3 chiffres significatifs.

574,8 kilom` etres par heure !
I. — Trajet en ligne droite
Lors d’un essai r´ ealis´ e durant la campagne pr´ ealable ` a la tentative de record sur une voie approxima-
tivement rectiligne et plus ou moins horizontale, on a relev´ e les donn´ ees suivantes
t[s]0 70 95 124 155 231 263 332
Vkm.h−10 150 200 250 300 350 400 450
1 — Calculer sur chaque intervalle de mesure les valeurs de l’acc´ el´ eration moyenne de la rame, on
exprimera ces valeurs en m.s−2dans un tableau r´ ecapitulatif. Estimer la distance parcourue n´ ecessaire
pour atteindre la vitesse de 450 km.h−1.
2 — Un journaliste convi´ e` a cet essai avait apport´ e un petit pendule simple qu’il avait suspendu au
plafond de la voiture. Il comptait, selon ses mots, «
mettre en ´ evidence la grande vitesse du train ».
Quelle a ´ et´ e, en r´ egime permanent, l’inclinaison maximale du pendule par rapport ` a la verticale durant
l’essai?
La rame repose sur les rails par l’interm´ ediaire de seize essieux, dont douze moteurs, compos´ es cha-
cun de deux roues. La force moyenne appliqu´ ee par les rails sur chaque jante des roues motrices est
appel´ ee force de traction ` a la jante.
3 — On suppose que les efforts sont ´ egalement r´ epartis sur chaque roue. Calculer la force de
traction ` a la jante au d´ emarrage. La loi empirique de Curtius et Kniffer (1943) exprime la variation du
coefficient de frottement statique
µ au contact roue−rail (rail sec et propre) en fonction du module V
de la vitesse du train exprim´ ee en km.h−1. Elle affirme que
µ =0,161+7,5/(44+V). Montrer qu’il
n’y avait pas de patinage possible des roues au d´ emarrage de la rame.
Lors du mouvement, un certain nombre de causes de frottements produisent une force r´ esultante
d’intensit´ eR=A+BV +CV2qui s’oppose ` a la vitesse Vdu train. Cette intensit´ eRest appel´ ee
r´ esistance ` a l’avancement. Pour une rame TGV Duplex standard de 2 motrices et 8 remorques, la SNCF
adopte, grˆ ace ` a des mesures effectu´ ees jusqu’` a des vitesses de 360 km.h−1, les valeurs A=2 700 N,
B=31,8 N.km−1.h etC=0,535 N.km−2.h2. On fait l’hypoth` ese que l’on peut conserver ces valeurs
pour des vitesses sup´ erieures.
4 — La puissance totale des moteurs embarqu´ es lors du record ´ etait de 19,6 MW. Cette puissance
est-elle suffisante pour permettre ` a une rame TGV Duplex standard d’atteindre la vitesse du record
pr´ ec´ edent qui ´ etait de 540 km.h−1? Pour le record vis´ e, la rame TGV avait ´ et´ e modifi´ ee par rapport
`
a une rame standard et notamment les diam` etres des roues avaient ´ et´ e agrandis, passant de 920 mm ` a
1 092 mm. Quelle est la raison de cet agrandissement des roues?
5 — Pour la rame V150 du record qui ne comportait que 3 remorques et pour laquelle quelques
modifications d’a´ erodynamisme avaient ´ et´ e apport´ ees, les param` etres de la r´ esistance ` a l’avancement
sont A=1700 N, B=20,1 N.km−1.h et C=0,37 N.km−2.h2. Calculer la force de traction ` a la jante
lors de l’essai du tableau de la question 1 ` a la vitesse de 450 km.h−1. Existe-t-il un risque de patinage?
6 — Montrer que le record n’est possible que dans une zone de descente. Estimez la pente de
celle-ci.
Lors d’un essai dans la phase de pr´ eparation un incident a d´ eclench´ e le freinage d’urgence alors que
la rame roulait ` a la vitesse Vo=506 km.h−1et la rame s’est immobilis´ ee au bout de 15 km.
7 — Quelle ´ etait l’´ energie cin´ etique de la rame au moment du d´ eclenchement du freinage. Calculer
la d´ ec´ el´ eration moyenne durant le freinage et la dur´ ee de ce freinage.
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Physique II, ann´ ee 2010 — fili` ere MP
8 — Le protocole de freinage habituel comporte plusieurs phases. Dans la premi` ere on ouvre
le disjoncteur, les moteurs sont alors en circuit ouvert, c’est la «marche sur l’erre ». Calculer la
d´ ec´ el´ eration aux alentours de 500 km.h−1pour la rame V150. On note x(t)la distance parcourue
depuis l’ouverture du disjoncteur ` a l’instant t=0. En ne consid´ erant que le terme en V2dans la
r´ esistance ` a l’avancement et un parcours en terrain horizontal, exprimer x(t)en fonction de t, de la
vitesse initiale Vode la rame et de la dur´ ee
τ =MT/(CVo)dont on pr´ ecisera la valeur num´ erique en
secondes. On marche sur l’erre pour abaisser la vitesse ` a 400 km.h−1. Quelle est la distance parcourue
pendant cette marche?
9 — Dans une seconde phase, le fonctionnement de certains moteurs est invers´ e, chacun des quatre
moteurs POS devient une dynamo connect´ ee ` a une r´ esistance RM=0,97 Ωrefroidie par un d´ ebit d’air
important. Ce d´ ebit est adapt´ e` a la puissance de 900 kW d´ egag´ ee par effet Joule dans la r´ esistance.
Quelle est la d´ ec´ el´ eration dans cette deuxi` eme phase, autour de 400 km.h−1?
La fin du freinage ´ etait assur´ ee par de classiques disques de frein sur les essieux non moteurs qui ont
´
et´ e port´ es ` a plus de 800◦C sans d´ eformation ni usure anormale!
FIN DE LA PARTIE I
II. — Comportement en virage
Sur le tronc¸on de la voie d’essai, il y avait quelques virages. Dans la suite nous prendrons comme
exemple le virage situ´ e entre les points kilom´ etriques 190 et 197 de la voie, de longueur d’arc
s=6 323 m et de rayon de courbure
χ =16 667 m tournant ` a gauche. Ce virage est parcouru ` a
la vitesse constante de 540 km.h−1. Les faces internes des rails sont distantes de ℓr=1 435 mm. Les
centres de gravit´ e des remorques sont approximativement situ´ es ` a une hauteur h=2,5 m du rail.
On consid` ere dans un premier temps le cas hypoth´ etique d’une voie sans d´ evers, c’est-` a-dire que les
deux rails sont dans le mˆ eme plan horizontal.
10 — La transition entre la voie rectiligne et la voie en virage se fait par l’interm´ ediaire d’un
tronc¸on de raccordement parabolique de longueur 130 m. Quelle est la dur´ ee de cette phase de tran-
sition? Qu’ont ressenti les passagers se tenant debout dans les voitures durant le franchissement du
tronc¸on de transition ? On traduira ces effets de fac¸on quantitative en exprimant les valeurs extrˆ emes
de la force ressentie par un passager de masse mp=75 kg se tenant au centre du train.
11 — On d´ efinit la secousse (traduction du terme anglo-saxon «jerk ») comme la d´ eriv´ ee du
vecteur acc´ el´ eration par rapport au temps. Les normes habituelles des transports en commun limitent
l’intensit´ e des secousses acceptables ` a la valeur de 2 m.s−3pour le confort des passagers. La secousse
engendr´ ee par ce virage respecte-t-elle la norme de confort?
12 — Un verre d’eau pos´ e sur la tablette devant un passager mettrait en ´ evidence la force d’inertie
pr´ esente dans le virage de deux mani` eres diff´ erentes. Lesquelles?
13 — ` A quelle vitesse maximale th´ eorique le train peut-il parcourir le virage sans risque de
d´ ecollement des roues?
En fait le virage est relev´ e progressivement durant le tronc¸on parabolique de raccordement. En sortie
de ce dernier, le rail ext´ erieur est sur´ elev´ e d’une hauteur
δ =130 mm par rapport au rail int´ erieur. Ce
d´ ecalage persiste durant toute la phase ` a courbure constante, enfin, un tronc¸on parabolique de sortie
de virage permet de redescendre le rail ext´ erieur ` a son niveau initial d` es le virage termin´ e.
14 — Quelles sont les am´ eliorations apport´ ees par le d´ evers par rapport ` a la situation de la question
pr´ ec´ edente? D´ eterminer, dans le r´ ef´ erentiel de la rame, la norme aede l’acc´ el´ eration centrifuge subie
par le passager. Quelle est l’indication du pendule du journaliste dont il est question dans la premi` ere
partie durant le passage du virage?
FIN DE LA PARTIE II
Page 3/6 Tournez la page S.V.P.

574,8 kilom` etres par heure !
III. — Alimentation ´ electrique
La puissance ´ electrique est fournie au TGV ` a partir de sous stations ´ electriques SSi=1,...,nque l’on
assimilera ` a des g´ en´ erateurs id´ eaux de tension nominale E=25 kV et de fr´ equence
ν =50 Hz. Ces
sous stations sont implant´ ees le long de la voie et espac´ ees d’une distance d=60 km. Elles sont reli´ ees
par un fil conducteur, la cat´ enaire, suspendu au dessus des rails. La motrice TGV rec¸oit l’alimentation
de la cat´ enaire par un contact glissant appel´ e pantographe situ´ e sur son toit. Tous les moteurs de la
motrice sont mont´ es en parall` ele entre le pantographe et les rails qui servent de liaison masse ` a la
Terre. On peut sch´ ematiser le circuit d’alimentation sur la figure 1.
Lors du record, la puissance des moteurs
´
etait augment´ ee par rapport aux moteurs
de s´ erie et la tension d’alimentation en
sortie des sous stations avait ´ et´ e mont´ ee
exceptionnellement ` a 31,2 kV sur le sec-
teur du record ` a la place des 25 kV no-
minaux. Au moment du record la puis-
sance ´ electrique consomm´ ee «au panto-
graphe »´ etait de 24 MW et l’intensit´ e a
´
et´ e mesur´ ee ` a 800 A. FIG. 1 – Sch´
ema d’alimentation du TGV
Pour notre ´ etude nous nous plac¸ons dans les conditions suivantes : le fil de la cat´ enaire de section
s=1,47 cm2est en cuivre de r´ esistivit´ e
ρ =1,72×10−8Ω.m. La tension des sous-stations ´ etant
nominale, on suppose que l’intensit´ e du courant circulant dans les moteurs est de 600 A. Le rail
rectiligne est confondu avec l’axe Ox dont l’origine est plac´ ee ` a la derni` ere sous-station ´ electrique
atteinte par le TGV. La variable xest donc d´ efinie modulo d.
15 — Calculer la r´ esistance Rtotale de la cat´ enaire entre deux sous stations, puis la r´ esistance
lin´ eique
λ en Ω.km−1. Peut-on n´ egliger les diff´ erences de phases entre les divers points de la ligne
entre deux sous stations, quel nom donne-t-on ` a cette approximation?
16 — D´ eterminer l’amplitude des intensit´ es I1(x)et I2(x)d´ elivr´ ees par les sous stations encadrant
le TGV situ´ e en xainsi que l’amplitude U(x)de la tension effectivement disponible aux bornes de la
motrice situ´ ee en x. Exprimer alors la puissance Pdissip´ ee par effet Joule dans la cat´ enaire.
17 — Localiser la position xmde la motrice qui correspond ` a un minimum de la tension d’alimenta-
tion des moteurs. Exprimer alors cette tension minimale en fonction de E,Ret I=I1+I2. D´ eterminer
la valeur maximale Pmde la puissance dissip´ ee en fonction de Ret I. Commenter ces r´ esultats ainsi
que les diverses applications num´ eriques aff´ erentes.
Le dispositif r´ eel d’alimentation dispose
en fait d’un second fil (appel´ e«feeder »)
identique ` a la cat´ enaire d´ eploy´ e entre les
deux sous stations voisines; au milieu
du parcours un contact est ´ etabli avec
le fil de la cat´ enaire, aboutissant ` a la
sch´ ematisation de la figure 2. On montre
que la tensionUf(x)aux bornes de la mo-
trice s’´ ecrit maintenant FIG. 2 – Alimentation avec feeder
Uf(x) = E−
λ
x(2d−3x)
2dIpour 0 ≤x≤d 2
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Physique II, ann´ ee 2010 — fili` ere MP
18 — Calculer la tension Ufaux bornes de la motrice en x=d/2, ainsi que sa valeur minimale.
Repr´ esenter sur un mˆ eme graphique les fonctionsUetUfpour x∈[0,d]. Commenter le rˆ ole du feeder.
FIN DE LA PARTIE III
IV. — Instrumentation lors des essais
Pour veiller ` a la s´ ecurit´ e et tirer des enseignements sur le comportement du mat´ eriel dans ces condi-
tions extrˆ emes de vitesse, de nombreux capteurs (plus de 350, enregistrant plus de 500 param` etres!)
´
etaient dispos´ es en divers endroits de la rame d’essai. Les informations de ces capteurs, dirig´ ees vers
la voiture R8 transform´ ee en laboratoire scientifique, ´ etaient analys´ es par une ´ equipe compos´ ee d’une
quarantaine de techniciens et ing´ enieurs.
Pour d´ etecter par exemple d’´ eventuelles vibrations ou instabilit´ es significatives d’une entr´ ee en r´ eso-
nance, il est n´ ecessaire d’´ etudier le mouvement de diverses parties mobiles au cours de l’essai. On
prendra comme exemple le mouvement de l’une des roues de la rame, l’´ etude consistera ` a relever en
continu l’acc´ el´ eration d’un point ` a la p´ eriph´ erie du disque constituant cette roue.
On pr´ esente ici un mod` ele d’acc´ el´ erom` etre ca-
pacitif 1D de la famille des MEMS (Micro Elec-
tro Mechanical Systems) fix´ e sur une puce de
3 mm de cˆ ot´ es. La dimension typique du cap-
teur lui mˆ eme est de 400
µ m. Le reste de la
puce est occup´ e par l’´ electronique associ´ ee. Le
mod` ele m´ ecanique simplifi´ e de l’acc´ el´ erom` etre
est repr´ esent´ e sur la figure 3. Une masse m=
3 µ g, dite masse sismique, assimilable ` a un
point mat´ eriel Aest reli´ ee ` a l’enveloppe du
capteur par des micro poutres ´ elastiques de
coefficient de raideur k=0,17 N.m−1. Elles
contraignent le mouvement de Adans une di-
rection fixe Oz par rapport au boˆ ıtier. FIG. 3 – Sch´
ema de l’acc´ el´ erom` etre
Un amortissement ` a frottement visqueux proportionnel ` a la vitesse de Apar rapport au boˆ ıtier et de
coefficient f=6,8
µ N.m−1.s est assur´ e par un gaz comprim´ e dans le boˆ ıtier ´ etanche. On note zA
la position de Aet zBla position d’un point de r´ ef´ erence du boˆ ıtier du capteur rigidement fix´ e au
syst` eme dont on veut mesurer l’acc´ el´ eration. On prendra zA=zBau repos et on notera z=zA−zB.
Deux condensateurs plans C1et C2sont form´ es par deux armatures fixes
σ
1et
σ
2li´
ees au boˆ ıtier et
par l’armature mobile
σ
0li´
ee ` aA. La distance entre les deux armatures fixes sera not´ ee 2e(on prendra
e=50
µ m pour les applications num´ eriques) et la surface de chacune des armatures est S. Au repos
l’armature
σ
0est `
a´ egale distance de
σ
1et
σ
2. On rappelle que les roues du TGV record ont un rayon
rt=546 mm. La puce est quant ` a elle implant´ ee sur la face int´ erieure d’une roue (suppos´ ee plane
verticale) de l’une des remorques. Elle est fix´ ee ` a une distance rb=540 mm de l’axe de rotation de
la roue, de plus l’axe Oz du boˆ ıtier du capteur est confondu avec un rayon de la roue.
IV.A. — Analyse m´ ecanique
19 — ´ Etablir l’´ equation diff´ erentielle v´ erifi´ ee par z. On notera aBla composante de l’acc´ el´ eration
du boˆ ıtier sur Oz, on utilisera les param` etres ω
o=qk
m,
ξ =f
2m ω
odont on pr´
ecisera les valeurs
num´ eriques et l’on tiendra compte du poids de A.
20 — On consid` ere un roulement sans glissement de la roue sur un rail horizontal ` a la vitesse
constante de V=540 km.h−1. D´ eterminer la composante sur Oz de l’acc´ el´ eration communiqu´ ee au
boitier. On notera aB0cette composante.
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