L`exponentielle de matrices (1)

L’exponentielle de matrices (1)
Résumé
Il s’agit d’un thème de travail conséquent. Commençons déjà par revoir quelques éléments
de bases : il faut savoir avec précision quel résultat on utilise pour justifier tel ou tel point.
On suit ici principalement [Dantzer 333, 266, 297].
Ici, K = R ou C (mais pourquoi cette restriction ?)
1
Sur la définition
Définition
On appelle exponentielle l’application
P
An
exp : A ∈ Mn (K) 7−→ +∞
n=0 n! ∈ Mn (K).
Pourquoi la série converge ?
- Pour quelle topologie ?
Bien que toutes les normes sur Mn (K) sont équivalentes, on ne peut pas
choisir n’importe laquelle : on a besoin qu’elle soit sous-multiplicative pour
pouvoir faire des majorations. Par exemple, on prend la norme |||A||| =
SupkXk=1 kAXk subordonnée à une norme quelconque k.k sur Kn .
n n
P+∞ An
- Maintenant, comme pour tout A ∈ Mn (K) An! ≤ |||A|||
,
n=0 n! est
n!
une série absolument convergente à valeurs dans un espace de Banach, elle
est donc convergente.
- On a utilisé le résultat suivant :
P
Soit (un ) une suite à valeurs dans un Banach. Si un est absolument convergente, alors elle est convergente.
2
Une propriété algébrique
1
Proposition
Si A et B sont deux éléments de Mn (K) qui commutent, alors
exp(A + B) = exp(A)exp(B).
Et en particulier :
Pour toute matrice A de Mn (K), exp(A) est inversible (et son inverse est
exp(-A)).
2 démonstrations
Une 1e démonstration consiste à prendre le produit de Cauchy des séries
P+∞ An
P+∞ B n
n=0 n! et
n=0 n! et on vérifie immédiatement grâce à la formule du binôme (possible car A et B commutent) qu’il s’agit de exp(A+B).
On a utilisé le théorème suivant qui n’est pas négligeable (p253) :
P
P
Soient un et vn deux séries à valeurs dans une algèbre de Banach. Si
P
elles sont absolument convergentes, alors leur produit de Cauchy wn est
aussi absolument convergente et
P
P
P
wn = ( un ) ( vn ).
On peut s’en passer en montrant à la main
que exp(A)exp(B)
− exp(A +
k
Pn Ai
Pn
Pn
(A+B)
Bj
B) = 0, en montrant que la suite ∆n =
−
i=0 i!
j=0 j!
k=0
k!
tend vers 0, grâce à la formule du binôme et de simples majorations [Gdg
183]. peut
être fausse
pour
Remarque : si A et B ne commutent pas, l’égalité




1
0
0
1
 et B = 
).
n≥2 (prendre par exemple en dimension 2 A = 
0 0
0 0
3
3.1
Régularité
Continuité
Proposition
L’application exponentielle est continue sur Mn (K).
2
démonstration
n
A
La série +∞
n=0 n! converge normalement sur la boule ouverte B(0,R) de
Mn (K), donc uniformément : exp est continue sur B(0,R), puis sur
S
R>0 B(0, R) = Mn (K).
P
On a utilisé les résultats suivants (p289, 290) :
- Soit (fn ) une suite de fonctions définies sur un ensemble X à valeurs dans
un Banach F.
P
Si la série fn converge normalement sur X, alors elle converge uniformément sur X.
- Soit (fn ) une suite de fonctions définies et continues sur un espace méP
trique E à valeurs dans un evn F. Si fn converge uniformément sur E,
alors la somme est continue sur E. 3.2
Différentiabilité
Proposition
L’application exponentielle est de classe C 1 sur Mn (K).
démonstration (à la main)
[TT1 MP 830]
* Montrons d’abord qu’elle est différentiable.
P
n
1
n
Soit U et H dans Mn (K). On a exp(U +H)−exp(U ) = +∞
n=1 n! ((U + H) − U ).
On écrit ((U + H)n − U n ) sous la forme Ln (H) + Rn (H) avec Ln (H) =
Pn
i=1 U...U HU...U qui ne contient qu’un seul H à la i-ème place et Rn (H)
est une somme de produits de n facteurs contenant au moins deux H.
On montre facilement que
P
1
→ +∞
n=1 n! Ln (H) est absolument convergente, et définit donc un endomorphisme de Mn (K)
P
1
→ +∞
n=1 n! Rn (H) est absolument convergente et un petit o de ||H|| (à l’aide
de la majoration ||Rn (H)|| ≤ (||U || + ||H||)n − ||U ||n − n ||U ||n−1 ||H||).
Ainsi exp est différentiable en U et D(exp)U (H) =
3
P+∞ 1 Pn
n=1 n! ( i=1 U...U HU...U ).
* Reste à montrer que pour tout H, U 7−→ D (exp)U (H) est continue : on
voit immédiatement que cette série converge normalement sur toute boule
fermée de Mn (K). Remarques
* On retiendra en particulier que l’exponentielle est différentiable en 0 et
D(exp)0 = Id ; la démo est bien sûr plus immédiate dans ce cas.
* On peut se demander s’il n’y aurait pas un résultat général qui montre
qu’une série d’un evn est C 1 . On a le résultat suivant sur les suites de fonctions différentiables (qui n’est pas explicitement au programme) :
Soient E et F deux evn, U un ouvert de E et fk : U → F une suite d’applications différentiables sur U. On suppose que :
(i) les fk convergent simplement sur U ;
(ii) les différentielles Dfk convergent uniformément sur U.
Alors l’application lim fk est différentiable sur U et D (lim fk ) = lim (Dfk ).
Si les fk sont de classe C 1 sur U, alors lim fk est aussi C 1 .
[Rouvière 107]
Notons que ce résultat ne simplifie pas vraiment le travail car il faut tout
de même montrer le caractère C 1 des fonctions mis en jeu, ce qui revient à
faire les mêmes manip que précédemment.
* L’exponentielle est même C ∞ ...
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