L`exponentielle de matrices (1)

L’exponentielle de matrices (1)
Résumé
Il s’agit d’un thème de travail conséquent. Commençons déjà par revoir quelques éléments
de bases : il faut savoir avec précision quel résultat on utilise pour justifier tel ou tel point.
On suit ici principalement [Dantzer 333, 266, 297].
Ici, K=Rou C(mais pourquoi cette restriction ?)
1 Sur la définition
Définition
On appelle exponentielle l’application
exp :A∈Mn(K)7−→ P+∞
n=0 An
n!∈Mn(K).
Pourquoi la série converge ?
- Pour quelle topologie ?
Bien que toutes les normes sur Mn(K)sont équivalentes, on ne peut pas
choisir n’importe laquelle : on a besoin qu’elle soit sous-multiplicative pour
pouvoir faire des majorations. Par exemple, on prend la norme |||A||| =
SupkXk=1 kAXksubordonnée à une norme quelconque k.ksur Kn.
- Maintenant, comme pour tout A∈Mn(K)
An
n!
≤|||A|||n
n!,P+∞
n=0 An
n!est
une série absolument convergente à valeurs dans un espace de Banach, elle
est donc convergente.
- On a utilisé le résultat suivant :
Soit (un)une suite à valeurs dans un Banach. Si Punest absolument conver-
gente, alors elle est convergente.
2 Une propriété algébrique
1

Proposition
Si A et B sont deux éléments de Mn(K)qui commutent, alors
exp(A+B) = exp(A)exp(B).
Et en particulier :
Pour toute matrice A de Mn(K), exp(A) est inversible (et son inverse est
exp(-A)).
2 démonstrations
Une 1e démonstration consiste à prendre le produit de Cauchy des séries
P+∞
n=0 An
n!et P+∞
n=0 Bn
n!et on vérifie immédiatement grâce à la formule du bi-
nôme (possible car A et B commutent) qu’il s’agit de exp(A+B).
On a utilisé le théorème suivant qui n’est pas négligeable (p253) :
Soient Punet Pvndeux séries à valeurs dans une algèbre de Banach. Si
elles sont absolument convergentes, alors leur produit de Cauchy Pwnest
aussi absolument convergente et
Pwn= (Pun) (Pvn).
On peut s’en passer en montrant à la main que exp(A)exp(B)−exp(A+
B) = 0, en montrant que la suite ∆n=Pn
i=0 Ai
i!Pn
j=0 Bj
j!−Pn
k=0
(A+B)k
k!
tend vers 0, grâce à la formule du binôme et de simples majorations [Gdg
183]. 
Remarque : si A et B ne commutent pas, l’égalité peut être fausse pour
n≥2 (prendre par exemple en dimension 2 A=
1 0
0 0 
et B=
0 1
0 0 
).
3 Régularité
3.1 Continuité
Proposition
L’application exponentielle est continue sur Mn(K).
2

démonstration
La série P+∞
n=0 An
n!converge normalement sur la boule ouverte B(0,R) de
Mn(K), donc uniformément : exp est continue sur B(0,R), puis sur
SR>0B(0, R) = Mn(K).
On a utilisé les résultats suivants (p289, 290) :
- Soit (fn)une suite de fonctions définies sur un ensemble X à valeurs dans
un Banach F.
Si la série Pfnconverge normalement sur X, alors elle converge uniformé-
ment sur X.
- Soit (fn)une suite de fonctions définies et continues sur un espace mé-
trique E à valeurs dans un evn F. Si Pfnconverge uniformément sur E,
alors la somme est continue sur E. 
3.2 Différentiabilité
Proposition
L’application exponentielle est de classe C1sur Mn(K).
démonstration (à la main) [TT1 MP 830]
* Montrons d’abord qu’elle est différentiable.
Soit U et H dans Mn(K). On a exp(U+H)−exp(U) = P+∞
n=1 1
n!((U+H)n−Un).
On écrit ((U+H)n−Un)sous la forme Ln(H) + Rn(H)avec Ln(H) =
Pn
i=1 U...UHU...U qui ne contient qu’un seul H à la i-ème place et Rn(H)
est une somme de produits de n facteurs contenant au moins deux H.
On montre facilement que
→P+∞
n=1 1
n!Ln(H)est absolument convergente, et définit donc un endomor-
phisme de Mn(K)
→P+∞
n=1 1
n!Rn(H)est absolument convergente et un petit o de ||H|| (à l’aide
de la majoration ||Rn(H)|| ≤ (||U|| +||H||)n− ||U||n−n||U||n−1||H||).
Ainsi exp est différentiable en U et D(exp)U(H) = P+∞
n=1 1
n!(Pn
i=1 U...UHU...U).
3

* Reste à montrer que pour tout H, U7−→ D(exp)U(H)est continue : on
voit immédiatement que cette série converge normalement sur toute boule
fermée de Mn(K).
Remarques
* On retiendra en particulier que l’exponentielle est différentiable en 0 et
D(exp)0=Id ; la démo est bien sûr plus immédiate dans ce cas.
* On peut se demander s’il n’y aurait pas un résultat général qui montre
qu’une série d’un evn est C1. On a le résultat suivant sur les suites de fonc-
tions différentiables (qui n’est pas explicitement au programme) :
Soient E et F deux evn, U un ouvert de E et fk:U→Fune suite d’appli-
cations différentiables sur U. On suppose que :
(i) les fkconvergent simplement sur U ;
(ii) les différentielles Dfkconvergent uniformément sur U.
Alors l’application lim fkest différentiable sur U et D(lim fk) = lim (Dfk).
Si les fksont de classe C1sur U, alors lim fkest aussi C1.
[Rouvière 107]
Notons que ce résultat ne simplifie pas vraiment le travail car il faut tout
de même montrer le caractère C1des fonctions mis en jeu, ce qui revient à
faire les mêmes manip que précédemment.
* L’exponentielle est même C∞...
***************
4