1 Déterminer un argument de chacun des nombres complexes

1 Déterminer un argument de chacun des nombres complexes donnés :
z1 = – 1 + i z2 = i z3 = 1
2 − i 3
2 z4 = 6 + i 2 z5 = (2 + 2 i) (1 − i)
z6 = i ( 6 – i 2) z7 = − 1 + i 3
1 + i z8 = (− 1 − i)4 z9 = 
2
1 + i
3
z10 = − 2
2 + i 2 2
z11 = 1
i z12 = 1 + i
1 − i z13 = 1
2 + 2 i z14 = 3 + i z15 = 1 + i
1 + i 3
z16 = 
1 − i
3 + i
2
z17 = − 2
i z18 = − 3
2 + i 3 3 2
2 A l'aide d'une calculatrice, donner une valeur à approchée à 10−2 près d'un argument de chacun des nombres
complexes suivants :
a) z1 = 1 – 2 i b) z2 = i + 7 c) z3 = − 4 + i
3 Ecrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
a) − 1 − i b) − 3
2 + 1 2 i c) 5 i d) 1 − i 3 e) 2 + i 2
− 1 + i 3
f) (1 + i )3 g) 2 (1 + i) h) 
3 − i
i
2
i) (1 − i)(1 + i 3) j) − 2 − i 6
i
k) 5(−1 + i)
3 + i 3 l) cos 
π
3 − i sin 
π
3 m) sin 
π
3 + i cos 
π
3 n) – cos 
π
8 + i sin 
π
8
4 Ecrire sous forme exponentielle chacun des nombres complexes suivants :
z1 = sin θ + i cos θ z2 = cos 2 θ – i sin 2 θ z3 = − 3 (cos θ + i sin θ)
z4 = sin θ + 2 i sin2 
θ
2, θ ∈ ]− π, π] z5 = 1 – cos θ – i sin θ, θ ∈ ]−π,π]
5 Soit z = ( 6 + 2) + i ( 6 – 2).
1° Calculer z2.
2° Déterminer le module et un argument de z2.
3° En déduire le module et un argument de z.
6 Le repère (O;
→
u,
→
v), est orthonormal direct.
Déterminer, par lecture graphique, un argument de chacune des affixes des points A , B , I , J et M .
7 1° Les points A, B, C ont pour affixes: zA = 1 + i 3 zB = – 1 – i et zc = 3 + 2i.
Quelle particularité présente le triangle ABC ?
2° Les points A, B, C, D ont pour affixes respectives : – 2 + i, 4i, 7
2 + 2i, 3 2 – i.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
8 z et z' sont deux nombres complexes donnés non nuls.
Montrer que z + z' = z + z' si, et seulement si, arg z = arg z'+ 2 k π avec k dans ZZ.
A
I
M
J
B
→
u
→
v

1 Déterminer un argument de chacun des nombres complexes donnés :
z1 = – 1 + i z2 = i z3 = 1
2 −
−−
− i 3
2 z4 = 6 + i 2 z5 = (2 + 2 i) (1 −
−−
− i)
z1 =  2 , 3 π
4 z2 = 
1 , π
2 z3 = 
1 , π
3 z4 = 
2 2 , π
6 z5 = [4 , 0]
z6 = i ( 6 – i 2) z7 = −
−−
− 1 + i 3
1 + i z8 = (−
−−
− 1 −
−−
− i)4 z9 =
2
1 + i
3
z10 = −
−−
− 2
2 + i 2 2
z6 =  2 2 , π
3 z7 = 
2 , 5 π
12 z8 = [4 , π] z9 = 
1 , – π
4 z10 = 
1 , 3 π
4
z11 = 1
i z12 = 1 + i
1 −
−−
− i z13 = 1
2 + 2 i z14 = 3 + i z15 = 1 + i
1 + i 3
z11 =  1 , – π
2 z12 = 
1 , π
2 z13 = 
2
4 , – π 4 z14 = 
2 , π
6 z15 = 
2
2 , – π 12
z16 =
1 −
−−
− i
3 + i
2
z17 = −
−−
− 2
i z18 = −
−−
− 3
2 + i 3 3 2
z16 = 
2
2 , – 5 π 12 z17 = 
2 , π
2 z18 = 
3 , 2 π
3
2 A l'aide d'une calculatrice, donner une valeur à approchée à 10
−
−−
−2
près d'un argument de chacun des nombres complexes suivants
a) z1 = 1 – 2 i b) z2 = i + 7 c) z3 = −
−−
− 4 + i
arg(z1) ≈ – 1,11 arg(z2) ≈ 1,57 arg(z3) ≈ 2,90
3 Ecrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
a) −
−−
− 1 −
−−
− i b) −
−−
− 3
2 + 1 2 i c) 5 i
2 (cos  – 3 π
4 + i sin 
– 3 π
4 cos 
5 π
6 + i sin
5 π
6 5 
cos 
π
2 + i sin 
π
2
d) 1 −
−−
− i 3
e) 2 + i 2
−
−−
− 1 + i 3
f) (1 + i )3
2  cos  – π
3+ i sin
– π
3 cos 
– 15 π
12 + i sin
– 15 π
12 2 2 
cos 
3 π
4 + i sin
3 π
4
g) 2 (1 + i) h)
3 −
−−
− i
i
2
i) (1 −
−−
− i)(1 + i 3)
2 2  cos 
π
4 + i sin
π
4 8 (cos 0 + i sin 0) 2 2 
cos 
7 π
12 + i sin 
7 π
12
j) −
−−
− 2 −
−−
− i 6
i
k) 5(−
−−
−1 + i)
3 + i 3
l) cos π
ππ
π
3 −
−−
− i sin π
ππ
π
3
2 2  cos 
5 π
6 + i sin 
7 π
12 5 2
2 
cos 
7 π
12 + i sin
7 π
12 cos 
– π
3 + i sin 
– π
3
m) sin
π
ππ
π
3 + i cos
π
ππ
π
3 n) – cos
π
ππ
π
8 + i sin
π
ππ
π
8
cos 
π
2 – π 3 + i sin 
π
2 – π 3 cos 
π – π
8 + i sin 
π – π
8
4 Ecrire sous forme exponentielle chacun des nombres complexes suivants :
z1 = sin θ
θθ
θ + i cos θ
θθ
θ z2 = cos (2 θ
θθ
θ) – i sin (2 θ
θθ
θ) z3 = −
−−
− 3 (cos θ
θθ
θ + i sin θ
θθ
θ)
sin θ = cos 
π
2 – θ
cos θ = sin 
π
2 – θ z1 = ei(π/2 –θ)
cos (2 θ) = cos (– 2 θ)
– sin (2 θ) = sin (– 2 θ) z2 = e–2iθ z3 = 3 ei(θ + π)

z4 = sin θ
θθ
θ + 2 i sin2
θ
θθ
θ
2. θ
θθ
θ ∈
∈∈
∈ ]−
−−
− π
ππ
π, π
ππ
π] z5 = 1 – cos θ
θθ
θ – i sin θ
θθ
θ. θ
θθ
θ ∈
∈∈
∈ ]−
−−
−π
ππ
π,π
ππ
π]
sin θ = 2 sin 
θ
2 cos 
θ
2
z4 = 2 sin 
θ
2 
cos 
θ
2 + i sin 
θ
2
θ ∈ ]–π,π] donc θ appartient 
– π
2 , π 2 donc sin 
θ
2 > 0
z4 = 2 sin 
θ
2 eiθ/2
1 – cos θ = 2 sin2 
θ
2
sin θ = 2 sin 
θ
2 cos 
θ
2
z5 = 2 sin 
θ
2 
cos 
θ
2 – i sin 
θ
2
z5 = − z5 = 2 sin 
θ
2 e–iθ/2
6 Soit z = ( 6 + 2) + i ( 6 – 2). 1° Calculer z2. z = 8 3 + 8 i
2° Déterminer le module et un argument de z2. | z2 | = 16 et arg (z2) = π
6
3° En déduire le module et un argument de z. | z2 | = 16 donc | z | = 4
arg (z2) = π
6 + 2 k π donc arg z = π 12 ou arg z = π 12 + π.
Re(z) > 0 et cos 
13 π
12 < 0 donc arg z = π 12
7 Le repère (O;
→
→→
→
u ,
→
→→
→
v ), est orthonormal direct.
Déterminer, par lecture graphique, un argument de chacune des affixes des points A , B , I , J et M .
zA = 1 + i, zB = – 1 – i, zI = 2, zJ = – 2 i et zM = 2 – 2 i
8 1° Les points A, B, C ont pour affixes: zA = 1 – i 3 zB = – 1 – i et zc = 3 – 2 + i.
Quelle particularité présente le triangle ABC ?
ABC semble rectangle isocèle en B
AB = | zA – zB | = | 1 – i 3 + 1 + i | = | 2 + i (1 – 3) | = 4 + (1 – 3)2
= 4 + 1 + 3 – 2 3 = 8 – 2 3
BC = | zC – zB | = | 3 – 2 + i + 1 + i | = | 3 – 1 + 2 i | = ( 3 – 1)2 + 4 = 8 – 2 3
AB = BC le triangle ABC est donc isocèle en B.
AC = | zC – zA | = | 3 – 2 + i – 1 + i 3 | = | 3 – 3 + i (1 + 3) | = ( 3 – 3)2 + (1 + 3)2
= 9 – 6 3 + 3 + 1 + 2 3 + 3 = 16 – 4 3
AC2 = 16 – 4 3 et AB2 + BC2 = 8 – 2 3 +8 – 2 3 = AC2. Le triangle est donc rectangle en B.
2° Les points A, B, C, D ont pour affixes respectives : – 2 + i, 4i, 7
2 + 2i, 3 2 – i.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
ABCD semble être un parallélogramme.
zB – zA = – 2 + i – 4 i = – 2 – 3 i
zD – zC = 3
2 – i – 7 2 – 2 i = – 4 2 – 3 i = – 2 – 3 i
zB – zA = zD – zC donc ABCD est un parallélogramme.
9 z et z' sont deux nombres complexes donnés non nuls. Montrer que |z+z'|=|z|+|z '| si, et seulement si, arg z = arg z'+ 2 k π
ππ
π
Interprétation géométrique. Soit M le point d'affixe z, M ' le point d'affixe z ' et M '' celui d'affixe z + z '
OM = | z |, OM ' = | z ' |, OM '' = | z '' | et MM '' = | z '' – z | = | z ' | = OM '
| z + z ' | = | z | + | z ' | ⇔ OM '' = OM + MM '' ⇔ M ∈ (OM '') ⇔ O, M, M ' alignés ⇔ arg z = arg z ' + 2 k π
Par le calcul. z = x + i y et z ' = x ' + i y '
| z + z ' | = | z | + | z ' | ⇔ (x + x ')2 + (y + y ')2 = x2 + y2 + x '2 + y '2
⇔ x2 + x '2 + 2 x x ' + y2 + y '2 + 2 y y ' = x2 + y2 + x '2 + y '2 + 2 x2 + y2 × x '2 + y '2
⇔ x x ' + y y ' = x2 + y2 × x '2 + y '2 ⇔ (x x ')2 + (y y ')2 + 2 x x ' y y ' = (x2 + y2)(x '2 + y '2)
⇔ (x x ')2 + (y y ')2 + 2 x x ' y y ' = (x x ')2 + y2 x '2 + x2 y '2 + (y y ')2
⇔ 2 x x ' y y ' = y2 x '2 + x2 y '2 ⇔ y2 x '2 + x2 y '2 – 2 x x ' y y ' = 0 ⇔ (x x ' – y y ')2 = 0
⇔ x x ' – y y ' = 0 ⇔
→
OM et
→
OM ' colinéaires ⇔ z = α z ' avec α ∈ IR ⇔ rang z = arg z '
A
I
M
J
B
→
u
→
v
o
A
B
C
o
A
B
C
D