1 Déterminer un argument de chacun des nombres complexes

1 Déterminer un argument de chacun des nombres complexes donnés :
z1 = – 1 + i
z2 = i
−1+i 3
1+i
1+i
z12 =
1−i
z7 =
z6 = i ( 6 – i 2)
z11 =
z3 =
1
i
 1 − i 2
z16 = 

 3 + i
z17 =
−2
i
3
1
−i
2
2
z8 = (− 1 − i)4
z13 =
1
2+2i
z18 =
−3
3 3
+i
2
2
z4 = 6 + i 2
z5 = (2 + 2 i) (1 − i)
 2 3
z9 = 

1 + i 
z10 = −
2
2
+i
2
2
1+i
z15 =
1+i 3
z14 = 3 + i
2 A l'aide d'une calculatrice, donner une valeur à approchée à 10−2 près d'un argument de chacun des nombres
complexes suivants :
a) z1 = 1 – 2 i
b) z2 = i + 7
c) z3 = − 4 + i
3 Ecrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
3 1
+ i
2 2
a) − 1 − i
b) −
f) (1 + i )3
g) 2 (1 + i)
k)
d) 1 − i 3
c) 5 i
e)
2+i 2
−1+i 3
2
− 2−i 6
 3 − i
j)
i) (1 − i)(1 + i 3)
h) 

i
 i 
π
π
π
π
π
π
l) cos   − i sin  
m) sin   + i cos  
n) – cos   + i sin  
3
3
3
3
8
 
 
 
 
 
8 
5(−1 + i)
3
3+i
4 Ecrire sous forme exponentielle chacun des nombres complexes suivants :
z1 = sin θ + i cos θ
θ
z4 = sin θ + 2 i sin2  , θ ∈ ]− π, π]
2
z2 = cos 2 θ – i sin 2 θ
z3 = − 3 (cos θ + i sin θ)
z5 = 1 – cos θ – i sin θ, θ ∈ ]−π,π]
5 Soit z = ( 6 + 2) + i ( 6 – 2).
1° Calculer z2.
2° Déterminer le module et un argument de z2.
3° En déduire le module et un argument de z.
A

→
I
v

→
B
u
J
M
6 Le repère (O; u, v), est orthonormal direct.
Déterminer, par lecture graphique, un argument de chacune des affixes des points A , B , I , J et M .

→

→
7 1° Les points A, B, C ont pour affixes: zA = 1 + i 3 zB = – 1 – i et zc = 3 + 2i.
Quelle particularité présente le triangle ABC ?
7
3
2° Les points A, B, C, D ont pour affixes respectives : – 2 + i, 4i, + 2i, – i.
2
2
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
8 z et z' sont deux nombres complexes donnés non nuls.
Montrer que z + z' = z + z' si, et seulement si, arg z = arg z'+ 2 k π avec k dans ZZ.
1 Déterminer un argument de chacun des nombres complexes donnés :
z1 = – 1 + i
z2 = i
3
z3 = 1 − i
2
2
3 π

z1 =  2 ,

4 

 π
z2 = 1 , 
 2
 π
z3 = 1 , 
 3
z6 = i ( 6 – i 2)
z7 =
π

z6 = 2 2 , 
3

5 π

z7 =  2 ,
12 

z11 =
1
i
π

z11 = 1 , – 
2

1
−
i
2
z16 = 
 3 + i
 2
5 π
z16 =  , –

12 
2
−1+i 3
1+i
z12 =
z8 = (−
− 1 − i)4
z8 = [4 , π]
1+i
1−i
z13 =
 π
z12 = 1 , 
 2
z17 =
1
2+2i
 2
π
z13 =  , – 
4
4
−2
i
z18 =
 π
z17 = 2 , 
 2
z4 = 6 + i 2
π

z4 = 2 2 , 
6

3
2
z9 = 
1 + i
π

z9 = 1 , – 
4

z5 = (2 + 2 i) (1 − i)
z5 = [4 , 0]
z10 = −
2
2
+i
2
2
 3 π
z10 = 1 ,
4 

1+i
1+i 3
z14 = 3 + i
z15 =
 π
z14 = 2 , 
 6
 2
π
z15 =  , – 
12
2
−3
3 3
+i
2
2
 2 π
z18 = 3 ,
3 

2 A l'aide d'une calculatrice, donner une valeur à approchée à 10−2 près d'un argument de chacun des nombres complexes suivants
a) z1 = 1 – 2 i
b) z2 = i + 7
arg(z1) ≈ – 1,11
arg(z2) ≈ 1,57
c) z3 = − 4 + i
arg(z3) ≈ 2,90
3 Ecrire sous forme trigonométrique chacun des nombres complexes suivants :
b) −
a) − 1 − i
 3 π
 3 π
2 (cos –
 + i sin – 4 
4




3 1
+ i
2 2
5 π
5 π
cos   + i sin 
6
 
6 
2+i 2
−1+i 3
d) 1 − i 3
e)

 π
 π
2 cos – + i sin– 

 3
 3 
 15 π
 15 π
cos –
 + i sin–

 12 
 12 
3 − i2
h) 
 i 
g) 2 (1 + i)

π
π
2 2 cos   + i sin 

4 
 4 
j)
− 2−i 6
i
8 (cos 0 + i sin 0)
k)

5 π
7 π
2 2 cos   + i sin  

6 
 12 
π
π
m) sin   + i cos  
3
3
π π
π π 
cos  –  + i sin  – 
2 3
2 3 
5(−
−1 + i)
3
3+i
5 2
7 π
7 π
cos   + i sin 

2 
 12 
 12 
π
π
n) – cos   + i sin  
8
8
π
π


cos π –  + i sin π – 
8
8


c) 5 i

π
π
5 cos   + i sin  
2

 
 2 
f) (1 + i )3

3 π
3 π
2 2 cos   + i sin 

4 
 4 
i) (1 − i)(1 + i 3)

7 π
7 π
2 2 cos   + i sin  

 12 
 12 
l) cos π − i sin π
3
3
 π
 π
cos –  + i sin – 
 3
 3
4 Ecrire sous forme exponentielle chacun des nombres complexes suivants :
z1 = sin θ + i cos θ
 sin θ = cos π2 – θ

π

 cos θ = sin 2 – θ
z2 = cos (2 θ) – i sin (2 θ)
z1 = ei(π/2 –θ)



cos (2 θ) = cos (– 2 θ)
z = e–2iθ
– sin (2 θ) = sin (– 2 θ) 2
z3 = − 3 (cos θ + i sin θ)
z3 = 3 ei(θ + π)
θ
z4 = sin θ + 2 i sin2  . θ ∈ ]−
− π, π]
2 
z5 = 1 – cos θ – i sin θ. θ ∈ ]−
−π,π
π]
θ
θ
sin θ = 2 sin   cos  
 1 – cos θ = 2 sin2 θ2
2
2

θ 
θ
θ
θ
θ
z4 = 2 sin   cos   + i sin  
sin θ = 2 sin   cos  

2
2
2

 
 
 
2
2 
θ
θ
 π π
θ
 
 
θ
 
θ ∈ ]–π,π] donc θ appartient  – 2 , 2  donc sin   > 0 z5 = 2 sin   cos   – i sin  


2 
2
 2 
2
θ
θ
z5 = z−5 = 2 sin   e–iθ/2
z4 = 2 sin   eiθ/2
2
2
 
2
6 Soit z = ( 6 + 2) + i ( 6 – 2). 1° Calculer z . z = 8 3 + 8 i
2
2
2° Déterminer le module et un argument de z2. | z | = 16 et arg (z ) =
π
6
2
3° En déduire le module et un argument de z. | z | = 16 donc | z | = 4
π
π
π
+ 2 k π donc arg z =
ou arg z =
+ π.
6
12
12
π
13 π
Re(z) > 0 et cos 
< 0 donc arg z =

12
 12 
A
arg (z2) =

→

→
I
v

→
B
u
J

→
M
7 Le repère (O; u , v ), est orthonormal direct.
Déterminer, par lecture graphique, un argument de chacune des affixes des points A , B , I , J et M .
zA = 1 + i, zB = – 1 – i, zI = 2, zJ = – 2 i et zM = 2 – 2 i
8 1° Les points A, B, C ont pour affixes: zA = 1 – i 3 zB = – 1 – i et zc = 3 – 2 + i.
C
Quelle particularité présente le triangle ABC ?
ABC semble rectangle isocèle en B
AB = | zA – zB | = | 1 – i 3 + 1 + i | = | 2 + i (1 – 3) | =
= 4+1+3–2 3= 8–2 3
BC = | zC – zB | = | 3 – 2 + i + 1 + i | = | 3 – 1 + 2 i | =
AB = BC le triangle ABC est donc isocèle en B.
4 + (1 – 3)2
o
B
2
( 3 – 1) + 4 =
8–2 3
A
AC = | zC – zA | = | 3 – 2 + i – 1 + i 3 | = | 3 – 3 + i (1 + 3) | =
2
( 3 – 3) + (1 + 3)
2
= 9 – 6 3 + 3 + 1 + 2 3 + 3 = 16 – 4 3
AC2 = 16 – 4 3 et AB2 + BC2 = 8 – 2 3 +8 – 2 3 = AC2. Le triangle est donc rectangle en B.
2° Les points A, B, C, D ont pour affixes respectives : – 2 + i, 4i,
7
3
+ 2i, – i.
2
2
B
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
ABCD semble être un parallélogramme.
zB – zA = – 2 + i – 4 i = – 2 – 3 i
3
7
4
zD – zC = – i – – 2 i = – – 3 i = – 2 – 3 i
2
2
2
zB – zA = zD – zC donc ABCD est un parallélogramme.
C
A
o
D z = arg z'+ 2 k π
9 z et z' sont deux nombres complexes donnés non nuls. Montrer que |z+z'|=|z|+|z '| si, et seulement si, arg
Interprétation géométrique. Soit M le point d'affixe z, M ' le point d'affixe z ' et M '' celui d'affixe z + z '
OM = | z |, OM ' = | z ' |, OM '' = | z '' | et MM '' = | z '' – z | = | z ' | = OM '
| z + z ' | = | z | + | z ' | ⇔ OM '' = OM + MM '' ⇔ M ∈ (OM '') ⇔ O, M, M ' alignés ⇔ arg z = arg z ' + 2 k π
Par le calcul. z = x + i y et z ' = x ' + i y '
| z + z ' | = | z | + | z ' | ⇔ (x + x ')2 + (y + y ')2 = x2 + y2 + x '2 + y '2
⇔ x2 + x '2 + 2 x x ' + y2 + y '2 + 2 y y ' = x2 + y2 + x '2 + y '2 + 2 x2 + y2 × x '2 + y '2
⇔ x x ' + y y ' = x2 + y2 × x '2 + y '2 ⇔ (x x ')2 + (y y ')2 + 2 x x ' y y ' = (x2 + y2)(x '2 + y '2)
⇔ (x x ')2 + (y y ')2 + 2 x x ' y y ' = (x x ')2 + y2 x '2 + x2 y '2 + (y y ')2
⇔ 2 x x ' y y ' = y2 x '2 + x2 y '2 ⇔ y2 x '2 + x2 y '2 – 2 x x ' y y ' = 0 ⇔ (x x ' – y y ')2 = 0
→
→
⇔ x x ' – y y ' = 0 ⇔ OM et OM ' colinéaires ⇔ z = α z ' avec α ∈ IR ⇔ rang z = arg z '