Chapitre II - Complexes (Partie I) 1 Forme algébrique d`un nombre

Chapitre II - Complexes (Partie I)
1 Forme algébrique d’un nombre complexe
Théorème 1. et définition. Il existe un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes, tel que :
1. l’ensemble Ccontient l’ensemble R.
2. l’addition et la multiplication dans Csuivent les mêmes règles de calcul que dans R.
3. Ccontient un élément, noté i, tel que i2=−1.
4. tout nombre complexe zs’écrit de manière unique z=a+ i bavec aet bréels.
Définition 1. L’écriture z=a+ i bavec aet bréels s’appelle la forme algébrique de z.
→aest la partie réelle de z, on la note a=Re(z)
→best la partie imaginaire de z, on la note b=Im(z)
Remarque. z= i b(b∈R) est un imaginaire pur.
Exemple 1. •Si z1= 5 −3 i alors Re(z1) = 5 et Im(z1) = −3
•z2=−8est un réel et z3= i 2
√est un imaginaire pur
•0 est le seul nombre complexe à la fois réel et imaginaire pur.
2 Représentation graphique d’un nombre complexe
Le plan est muni d’un Repère Orthonormé Direct (O;u , v ).
Définition 2. Affixe d’un point Soit aet bréels.
•À tout complexe z=a+ i b, on associe l’unique point M(x;y)du plan complexe.
Mest appelé l’image de z. On note M(z).
•Réciproquement, à tout point M(x;y)du plan complexe, on associe l’unique complexe
z=a+ i bappelé l’affixe du point Mou du vecteur OM. On note zM.
u
v
b
a
M(z)
O
Remarque. •On peut identifier Cau plan qui est alors appelé plan complexe.
•L’axe (O;u)est appelé l’axe des réels.
•L’axe (O;v)est appelé l’axe des imaginaires purs.
Exemple 2. →Le point A(0; 2) apour affixe zA= 2 i.
→zB= 3 est l’affixe du point Bde coordonnées (3; 0).
→Le nombre complexe z= 2 −iapour image le point C(2; −1).
u
v
OB
A
C
axe des
réels
axe des imaginaires purs
3 Opérations sur les complexes
Pour effectuer des calculs dans C, il suffit d’utiliser i2=−1et les mêmes règles de calculs que dans R.
Proposition 1. Soient deux nombres complexes écrits sous forme algébrique z=z=a+ i bet z′=a′+ i b′(a,a′,bet b′réels).
•Somme de deux complexes : z+z′= (a+ i b) + (a′+ i b′) = (a+a′) + i(b+b′)
•Produit de deux complexes : z z′= (a+ i b)×(a′+ i b′) = (a a′−b b′) + i (a b′+b a′)
•Inverse d’un complexe non nul : 1
z=1
a+ i b=a−ib
a2+b2
Démonstration. Dans le cahier de bord 
Remarque. •Un cas particulier de produit : (a+ i b)×(a−ib) = a2+b2
•Quotient de deux nombres complexes : z
z′=a+ i b
a′+ i b′=(a+ i b) (a′−ib′) (a′+ i b′) (a′−ib′)
Exemple 3. Mettre sous forme algébrique les complexes suivants : z1= (3 −2 i) (i −4) ;z2=2
1 + 6 i et z3=2 i + 5 −1 + 3 i.
z1= (3 −2 i) (i −4) = 3 i −12 −2 i2+ 8 i = 3 i −12 + 2 + 8 i = −10 +11 i
z2=2
1 + 6 i =2 (1 −6 i)
(1 + 6 i) (1 −6 i) =2−12 i 1 + 36 =2−12 i
37
z3=2 i + 5
−1 + 3 i =(2 i + 5) (−1−3 i)
(−1 + 3 i) (−1−3 i) =−2 i −6 i2−5−15 i 1 + 9 =1−17 i
10 =1
10 −17 10 i

4 Égalité de deux complexes
Théorème 2. Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
a+ i b=a′+ i b′équivaut à a=a′et b=b′
Remarque. Soit z=a+ i b(aet bréels) zest un réel si, et seulement si, Im(z) = b= 0
zest un imaginaire pur si, et seulement si, Re(z) = a= 0
z= 0 si, et seulement si, a= 0 et b= 0
Exemple 4.
1. Déterminer les réels xet ytels que
(i −3) x+ 4i y(2 i −1) = −2 + i
(i −3) x+ 4i y(2 i −1) = −2 + i ⇔ix−3x−8y−4 i y=−2 + i
⇔ −3x−8y+ i (x−4y) = −2 + i
⇔−3x−8y=−2
x−4y= 1
⇔
x=4
5
y=−
1
20
2. Résoudre dans Cl’équation −i
z+ 1 = 2.
On pose z=x+ i yavec xet yréels.
Pour z−1,−i
z+ 1 = 2 ⇔ −i = 2 (z+ 1)
⇔ −i = 2 (x+ i y) + 2
⇔ −i = 2 x+ 2 + i (2 y)
⇔2x+ 2 = 0
2y=−1
⇔x=−1
y=−0,5
donc l’équation −i
z+ 1 = 2 a pour solution z=−1−1
2i.
3. À quelle condition le nombre complexe z=x+ 1 + i (−ix+x) + 3 i −3 i x
est-il un imaginaire pur ?
z=x+ 1 + i (−ix+x) + 3 i −3 i x= (2 x+ 1) + (3 −2x) i
zimaginaire pur équivaut à Re(z) = 0,
ce qui équivaut à 2x+ 1 = 0 soit x=−1
2
4. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, déterminer l’ensemble des points
M(x;y)tels que Z=x+ 1 + i y
x+ i (y−1) soit un réel.
Z=x+ 1 + i y
x+ i (y−1)
=(x+ 1 + i y) (x−i (y−1))
x2+ (y−1)2
=y2
−y−iy+x2+ i x+x+ i
x2+ (y−1)2
=y2
−y+x2+x+ i (x−y+ 1)
x2+ (y−1)2
d’où Im(Z) = x−y+ 1
x2+ (y−1)2
donc Zréel équivaut à Im(Z) = 0, ce qui équivaut à x−y+ 1
x2+ (y−1)2= 0
soit x−y+ 1 = 0 et (x;y)(0; 1)
L’ensemble cherché est la droite d’équation x−y+ 1 = 0 privée du point de
coordonnées (0; 1).
5 Conjugué d’un nombre complexe
Définition 3. Le conjugué d’un nombre complexe z=a+ i best le nombre complexe noté z¯ = a−ib.
Exemple 5. Si z= 5 −2 i alors z¯ = 5 + 2 i 7 i = −7 i Si Z=−8alors Z
¯=−8
Exemple 6. Résoudre dans Cl’équation iz¯−1 = 2 z+ i.
On pose z=x+ i yavec xet yréels. Alors z¯ = x−iy.
iz¯−1 = 2 z+ i ⇔i (x−iy)−1 = 2 (x+ i y) + i
⇔ix+y−1 = 2 x+ 2 yi + i
⇔y−1 + ix= 2 x+ (2 y+ 1) i
⇔y−1 = 2 x
x= 2 y+ 1
⇔x=−1
y=−1donc l’équation iz¯−1 = 2 z+ i a pour solution z=−1−i.
Proposition 2. z+z¯ = 2 Re(z)et z−z¯ = 2 Im(z)
Interprétation géométrique
Les images de zet z¯sont symétriques
par rapport à l’axe des réels.
v
O
M(z)
ua
b
M′(z¯)
−b
Proposition 3. zest un réel si, et seulement si, z¯ = −z⇔z+z¯ = 0 ⇔Re(z) = 0
zest un imaginaire pur si, et seulement si, z¯ = z⇔z−z¯ = 0 ⇔Im(z) = 0
Remarque. En cas de doute, vérifier pour des cas simples :
•z= 5 (réel) équivaut à z=z¯ = 5
•z= 3 i (imaginaire pur) équivaut à z=−z¯ = 3 i
Proposition 4. Opérations sur les conjugués Soit zet z′deux nombres complexes.
z+z′=z¯ + z′
¯z z′=z¯z′ ¯et zn=z¯n1
z=1
z¯et z z′=z¯
z′
¯z¯
¯=z
Proposition 5. Si z=a+ i balors z z¯ = a2+b2(réel positif ou nul).
Démonstration. Immédiate, dans le cahier de recherche 
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6 Équation du second degré à coefficients réels
Théorème 3. Soit l’équation a z2+b z +c= 0, d’inconnue z∈C, où a,bet csont des réels (a0).
Le discriminant de cette équation du second degré est le réel :∆ = b2−4a c .
1. Si ∆>0:L’équation a z2+b z +c= 0 a2 solutions réelles distinctes :
z1=−b−∆
√
2aet z2=−b+ ∆
√
2a
2. Si ∆ = 0 :L’équation a z2+b z +c= 0 aune solution double réelle :
z0=−b
2a
3. Si ∆<0:L’équation a z2+b z +c= 0 a2 solutions complexes conjuguées :
z1=−b−i−∆
√
2aet z2=z1
¯ = −b+ i −∆
√
2a
Démonstration. Dans la cahier de bord 
Exemple 7. x2= 3
√a pour solutions −3 √et 3 √et x2=−7a pour solutions −i 7 √et i 7 √.
Exemple 8. Résoudre dans Cles équations suivantes : −10 z2+ 2 z−1 = 0 et z4+ 6 z2−7 = 0.
1. −10 z2+ 2 z−1 = 0 a pour discriminant : ∆ = −36 <0et −∆
√= 6
donc cette équation a deux solutions complexes conjuguées : z1=−2−6 i
−20 =1 + 3 i 10 et z2=z1
¯ = 1−3 i
10
2. Posons Z=z2. L’équation z4+ 6 z2−7 = 0 est équivalente à Z2+ 6 Z−7 = 0.
Z2+ 6 Z−7 = 0 a pour discriminant : ∆ = 64 >0
donc cette équation a deux solutions réelles : Z1=−6−8
2=−7et Z2=−6 + 8
2= 1
d’où z4+ 6 z2−7 = 0 ⇔z2=−7ou z2= 1
⇔z=−7iou z= 7 iou z=−1ou z= 1
On en déduit donc que z4+ 6 z2−7 = 0 a pour ensemble de solutions S={−7 i; 7 i; −1; 1}
Proposition 6. Dans C, le trinôme a z2+b z +cpeut toujours être factorisé (éventuellement avec z1=z2=z0)
a z2+b z +c=a(z−z1) (z−z2)
7 Module, argument et forme trigonométrique
Le plan est muni d’un Repère Orthonormé Direct (O;u , v ).
Définition 4. Soit z=a+ i bun nombre complexe et M(a;b)le point d’affixe z.
•Le module de z, noté |z|est égal à la distance OM =r
|z|=r=a2+b2
√
•Un argument de z(znon nul), noté arg zest une mesure de l’angle orienté θ=u;OM 
arg z=θ+k×2π(k∈Z)avec 
cos θ=a
r
sin θ=b
r
On note arg z=θ[2 π]et on dit « argument de zégal à θmodulo 2π»
u
v
b
a
M(z)
O
|z|=r
arg z=θ
Remarque. • |z|est un réel positif.
•Dans le cas |z|= 1, on retrouve les propriétés du cercle trigonométrique.
•On verra aussi la notation arg z≡θ[2 π]
et on dira « argument de zcongru àθmodulo 2π».
Exemple 9. Dans le plan complexe, placer les points Aet Btels que :
|zA|= 1 et arg (zA) = 3π
4[2 π]
|zB|= 2 et arg (zB) = −5π
6[2 π]
1
12
−2
A
B
0
Exemple 10. Déterminer l’ensemble E1des points Md’affixe zdu plan tels que : |z|= 5.
|z|= 5 ⇔OM = 5 donc E1est le cercle de centre Oet de rayon 5.
Exemple 11. Déterminer l’ensemble E2des points Md’affixe zdu plan tels que : arg z=3π
4[2 π].
arg z=3π
4[2 π]⇔u;OM =3π
4[2 π]donc E2est la demi-droite d’origine Oexclu et passant par M−2
√
2+ i 2
√
2.
Proposition 7. |z|2=z z¯ = a2+b2
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Théorème 4. et définition. Tout nombre complexe znon nul peut s’écrire sous la forme :
z=r(cos θ+ i sin θ)où r=|z|et arg z=θ[2 π]
Cette écriture est appelée forme trigonométrique de z.
Démonstration. Dans le cahier de bord 
Remarque. •Un nombre complexe écrit sous la forme z=r(cos θ+ i sinθ)avec r > 0a pour module |z|=ret pour argument arg z=θ[2 π].
•Deux nombres complexes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont même module et même argument modulo 2π.
Si l’on connaît r=|z|et θ=arg z[2 π]alors
(z=r(cos θ+ i sin θ))
→z=r(cos θ+ i sin θ) = (rcos θ) + i (rsin θ)
ou
→a=rcos θ
b=rsin θdonne z=a+ i b
Si l’on connaît aet balors (z=a+ i b)
r=|z|=a2+b2
√
→on factorise zpar r:z=ra
r+ i b r
et on identifie a
ret b
rau cos et au sin d’un angle θ
ou
→
cos θ=a
r
sin θ=b
r
permet de déterminer θ=arg z[2 π]
Exemple 12. Déterminer le module et l’argument de z1=−5
√+ i 5 √et l’écrire sous forme trigonométrique.
r=|z1|=−5
√2+5
√2
q= 5 + 5
√=10
√
•Méthode 1 : (on factorise z1par r=|z1|=10
√)
z1=−5
√+ i 5 √=10 √−5
√
10
√+ i 5
√
10
√=10
√−1
2
√+ i 1
2
√=10
√−2
√
2+ i 2
√
2forme trigonomérique de z1
d’où arg(z) = 3π
4[2 π]
•Méthode 2 : (on calcule cos θ=a
ret sin θ=b r)
cos θ=−5
√
10
√=−1
2
√=−2
√
2et sin θ=5
√
10
√=1
2
√=2
√
2
d’où arg(z) = 3π
4[2 π]on en déduit la forme trigonométrique z1=10
√−2
√
2+ i 2
√
2
Exemple 13. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe z2de module 4 et d’argument −π
6.
z2= 4 cos−π
6+ i sin−π
6= 43
√
2−1
2i= 2 3
√−2 i (on a aussi : a= 4 cos −π
6= 4 ×3
√
2= 2 3
√et b= 4 sin −π
6= 4 ×−1
2=−2)
Proposition 8. Soit zest un nombre complexe non nul,
1. zest un réel si, et seulement si, arg z= 0 [2 π]ou arg z=π[2 π](ou bien arg z= 0 [π])
2. zest un imaginaire pur si, et seulement si, arg z=±π
2[2 π](ou bien arg z=π
2[π])
Proposition 9. Module et argument de l’opposé et du conjugué
Soit zun nombre complexe non nul.
→arg z¯ = −arg z
→arg (−z) = arg z+π
→ |z¯|=|z|=|−z|
O
M(z)
a
b
−b
M′′(−z)M′(z¯)
|−z||z¯|
|z|
arg z¯
arg z
arg z+π
v
u
Exemple 14. Soit zun complexe tel que ziet Z=z¯−i
z+ i . Montrer que |Z|= 1.
|Z|=
z¯−i
z+ i 
=|z¯−i|
|z+ i|=|z¯−i|
|z+ i|=|z+ i| |z+ i|= 1 (car |z¯−i|=|z¯−i|et z¯−i = z¯
¯−i
¯=z+ i)
Proposition 10. Soit zet z′deux nombres complexes non nuls et nun entier naturel.
1. |z z′|=|z||z′|et arg (z z′) = arg(z) +arg (z′) [2 π]
2. |zn|=|z|net arg (zn) = narg(z) [2 π]
3. 
z
z′
=|z|
|z′|et arg z
z′=arg(z)−arg (z′) [2 π]
Exemple 15. Calculer le module et l’argument de (1 + i)8.
|(1 + i)8|=|1 + i|8=2
√8= 24=16 (car |z8|=|z|8)
arg (1 + i)8= 8 arg(1 + i) = 8 ×π
2=0 [2 π](car arg (z8) = 8 arg(z) [2 π])
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8 Interprétation géométrique des nombres complexes
Le plan est muni d’un Repère Orthonormé Direct (O;u , v ).
Définition 5. Affixe d’un vecteur
À tout vecteur w(a;b)du plan complexe, on associe l’unique complexe z=a+ i b.
zest appelé l’affixe du vecteur w. On le note zw.
Proposition 11. zw+zw′=zw+w′et zkw =k zw(avec k∈R)
Démonstration. Dans le cahier de bord. 
Proposition 12. Soit Aet Bdeux points d’affixes zAet zB,
1. zA B =zB−zA
2. AB =|zB−zA|
3. u;AB =arg (zB−zA) [2 π]si AB
4. Soit Imilieu de [AB],zI=zA+zB
2
Exemple 16. Soient A,Bet Ctrois points du plan dont les affixes sont : zA=−3 + i ;zB=−1−2 i et zC= 4 + 3 i.
1. Déterminer l’affixe du vecteur A B .
zA B =zB−zA=−3 + i −(−1−2 ) = 2−3 i donc A B2
−3
2. Déterminer l’affixe du point Dtel que AB CD soit un parallélogramme.
ABCD parallélogramme ⇔A B =DC
⇔zAB =zD C
⇔2−3 i = 4 + 3 i −zD
⇔zD= 2 + 6 i
3. Déterminer l’affixe du centre Idu parallélogramme A B C D.
On en déduit que zI=zA+zB
2=−3 + i + (−1−2 i)
2=1 + 4 i 2=1
2+ 2 i
Proposition 13. Soit A,B,Cet Dquatre points deux à deux distincts d’affixes zA,zB,zCet zD,
AB ;AC =argzD−zC
zB−zA[2 π]
Exemple 17. Soit A,Bet Ctrois points d’affixes respectives : a= 1 −i;b= 2 + i et c= 3 −2 i. On pose Z=c−a
b−a.
Calculer Zet en déduire la nature de A B C.
• |Z|=
c−a
b−a
=AC
AB et arg z=AB ;AC [2 π]
•Z=c−a
b−a=(3 −2 i) −(1 −i)
(2 + i) −(1 −i) =2−i 1 + 2 i =2−i 1 + 2 i ×1−2 i 1−2 i =−5 i 5=−i
On en déduit que : |Z|=|−i|
AC
AB = 1
AC =AB
et arg(Z) = arg(−i)
AB ;AC =−π
2[2 π]
donc ABC est un triangle rectangle isocèle en A.
Exemple 18. Déterminer l’ensemble E3des points Md’affixe zdu plan tels que Z=z+ 1
z−1est un imaginaire pur.
Z=z+ 1
z−1imaginaire pur ⇔Z
¯=−Z
⇔z¯ + 1
z¯−1=−z+ 1
z−1
⇔(z¯ + 1) (z−1) = −(z¯−1) (z+ 1) et z1
⇔2z z¯ = 2
⇔z z¯ = 1
⇔ |z|2= 1
⇔ |z|= 1
donc E3est le cercle de centre Oet de rayon 1 privé du point d’affixe 1.
ou bien
Soit z=x+ i y(xet yréels). Z=z+ 1
z−1=x+ i y+ 1
x+ i y−1=x+ 1 + i y x−1 + i y×x−1−iy x−1−iy=x+ (1 + i y) (x−1) + i y×x−(1 + i y) (x−1) −iy=x2−(1 + i y)2
(x−1)2−(i y)2=x2−1 + y2−2yi
(x−1)2+y2
Z=z+ 1
z−1imaginaire pur ⇔Re(Z) = 0
⇔Rex2−1 + y2−2yi
(x−1)2+y2= 0
⇔x2−1 + y2= 0 et (x, y)(1,0)
⇔x2+y2= 1
donc E3est le cercle de centre Oet de rayon 1 privé du point d’affixe 1.
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