Chapitre II - Complexes (Partie I) 1 Forme algébrique d`un nombre

Chapitre II - Complexes (Partie I)
1 Forme algébrique d’un nombre complexe
Théorème 1. et définition. Il existe un ensemble noté C, appelé ensemble des nombres complexes, tel que :
1. l’ensemble C contient l’ensemble R.
2. l’addition et la multiplication dans C suivent les mêmes règles de calcul que dans R.
3. C contient un élément, noté i, tel que i2 = −1 .
4. tout nombre complexe z s’écrit de manière unique z = a + i b avec a et b réels.
Définition 1. L’écriture z = a + i b avec a et b réels s’appelle la forme algébrique de z.
→
a est la partie réelle de z, on la note a = Re(z)
→
b est la partie imaginaire de z, on la note b = Im(z)
Remarque. z = i b (b ∈ R) est un imaginaire pur.
Exemple 1. •
•
Si z1 = 5 − 3 i alors Re(z1) = 5 et Im(z1) = −3
√
2 est un imaginaire pur
z2 = −8 est un réel et z3 = i
•
0 est le seul nombre complexe à la fois réel et imaginaire pur.
2 Représentation graphique d’un nombre complexe
Le plan est muni d’un Repère Orthonormé Direct (O ; Qu , Qv ).
Définition 2. Affixe d’un point Soit a et b réels.
• À tout complexe z = a + i b, on associe l’unique point M (x; y) du plan complexe.
M est appelé l’image de z. On note M (z) .
b
Réciproquement, à tout point M (x; y) du plan complexe, on associe l’unique complexe
z = a + i b appelé l’affixe du point M ou du vecteur OM. On note zM .
•
Remarque. • On peut identifier C au plan qui est alors appelé plan complexe.
•
•
M (z)
Qv
O
Qu
a
axe des imaginaires purs
A
L’axe (O ; Qu ) est appelé l’axe des réels.
L’axe (O ; Qv ) est appelé l’axe des imaginaires purs.
Exemple 2. →
Qv
Le point A(0; 2) a pour affixe zA = 2 i.
→
zB = 3 est l’affixe du point B de coordonnées (3; 0).
→
Le nombre complexe z = 2 − i a pour image le point C(2 ; −1).
O
axe des
B
Qu
réels
C
3 Opérations sur les complexes
Pour effectuer des calculs dans C, il suffit d’utiliser i2 = −1 et les mêmes règles de calculs que dans R.
Proposition 1. Soient deux nombres complexes écrits sous forme algébrique z = z = a + i b et z ′ = a ′ + i b ′ (a, a ′ , b et b ′ réels).
•
Somme de deux complexes : z + z ′ = (a + i b) + (a ′ + i b ′) = (a + a ′) + i(b + b ′)
•
Produit de deux complexes : z z ′ = (a + i b) × (a ′ + i b ′) = (a a ′ − b b ′) + i (a b ′ + b a ′)
•
Inverse d’un complexe non nul :
1
a−ib
1
=
= 2
a+ib
a + b2
z
Démonstration. Dans le cahier de bord Remarque. • Un cas particulier de produit : (a + i b) × (a − i b) = a2 + b2
•
Quotient de deux nombres complexes :
z
a+ib
(a + i b) (a ′ − i b ′)
= ′
= ′
′
′
z
a +ib
(a + i b ′) (a ′ − i b ′)
Exemple 3. Mettre sous forme algébrique les complexes suivants : z1 = (3 − 2 i) (i − 4) ; z2 =
z1 = (3 − 2 i) (i − 4) = 3 i − 12 − 2 i2 + 8 i = 3 i − 12 + 2 + 8 i = −10 + 11 i
2
2 (1 − 6 i)
2 − 12 i
2 − 12 i
=
=
=
z2 =
1 + 6 i (1 + 6 i) (1 − 6 i)
1 + 36
37
2i+5
(2 i + 5) (−1 − 3 i)
−2 i − 6 i2 − 5 − 15 i
1
17
1 − 17 i
=
=
=
=
−
i
z3 =
−1 + 3 i (−1 + 3 i) (−1 − 3 i)
1+9
10 10
10
2
1+6i
et z3 =
2i+5
.
−1 + 3 i
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Guist’hau - 2014/2015
4 Égalité de deux complexes
Théorème 2. Deux nombres complexes sont égaux si, et seulement si, ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.
a + i b = a ′ + i b ′ équivaut à a = a ′ et b = b ′
Remarque. Soit z = a + i b (a et b réels)
z est un réel si, et seulement si, Im(z) = b = 0
z est un imaginaire pur si, et seulement si, Re(z) = a = 0
z = 0 si, et seulement si, a = 0 et b = 0
Exemple 4.
1. Déterminer les réels x et y tels que
(i − 3) x + 4i y (2 i − 1) = −2 + i
(i − 3) x + 4i y (2 i − 1) = −2 + i ⇔ i x − 3 x − 8 y − 4 i y = −2 + i
⇔ −3
x − 8 y + i (x − 4 y) = −2 + i
3. À quelle condition le nombre complexe z = x + 1 + i (−i x + x) + 3 i − 3 i x
est-il un imaginaire pur ?
z = x + 1 + i (−i x + x) + 3 i − 3 i x = (2 x + 1) + (3 − 2 x) i
z imaginaire pur équivaut à Re(z) = 0,
⇔
4. Dans le plan muni d’un repère orthonormé, déterminer l’ensemble des points
x+1+i y
M (x ; y) tels que Z = x + i (y − 1) soit un réel.
⇔
2. Résoudre dans C l’équation
Pour z
−3 x − 8 y = −2
x −4 y = 1

 x= 4
5
 y=− 1
20
ce qui équivaut à 2 x + 1 = 0 soit x = − 1
2
= 2.
Z =
On pose z = x + i y avec x et y réels.
=
−1,
−i
z+1
−i
z+1
= 2 ⇔ −i = 2 (z + 1)
=
⇔ −i = 2 (x + i y) + 2
⇔ −i
= 2 x + 2 + i (2 y)
⇔
⇔
donc l’équation
−i
z+1
=
2x+2=0
2 y = −1
x = −1
y = −0,5
= 2 a pour solution z = −1 −
d’où Im(Z) =
1
2
i.
x+1+iy
x + i (y − 1)
(x + 1 + i y) (x − i (y − 1))
x2 + (y − 1)2
y 2 − y − i y + x2 + i x + x + i
x2 + (y − 1)2
y 2 − y + x2 + x + i (x − y + 1)
x2 + (y − 1)2
x−y+1
2
x + (y − 1)2
x−y+1
donc Z réel équivaut à Im(Z) = 0, ce qui équivaut à x2 + (y − 1)2 = 0
soit x − y + 1 = 0 et (x; y) (0 ; 1)
L’ensemble cherché est la droite d’équation x − y + 1 = 0 privée du point de
coordonnées (0; 1).
5 Conjugué d’un nombre complexe
Définition 3. Le conjugué d’un nombre complexe z = a + i b est le nombre complexe noté z̄ = a − i b .
Exemple 5. Si z = 5 − 2 i alors z̄ = 5 + 2 i
7 i = −7 i
Si Z = −8 alors Z̄ = −8
Exemple 6. Résoudre dans C l’équation i z̄ − 1 = 2 z + i.
On pose z = x + i y avec x et y réels. Alors z̄ = x − i y.
i z̄ − 1 = 2 z + i ⇔ i (x − i y) − 1 = 2 (x + i y) + i
⇔ ix+ y −1=2x+2 yi+i
⇔ y − 1 + ix = 2 x + (2 y + 1) i
⇔
⇔
y −1=2x
x=2 y+1
x = −1
y = −1
Proposition 2. z + z̄ = 2 Re(z)
Proposition 3.
Interprétation géométrique
Les images de z et z̄ sont symétriques
par rapport à l’axe des réels.
Qv
donc l’équation i z̄ − 1 = 2 z + i a pour solution z = −1 − i .
O
et
M (z)
b
z − z̄ = 2 Im(z)
Q
u
−b
z est un réel si, et seulement si,
z est un imaginaire pur si, et seulement si,
z̄ = −z
z̄ = z
a
M ′(z̄ )
⇔z + z̄ = 0 ⇔ Re(z) = 0
⇔z − z̄ = 0 ⇔ Im(z) = 0
Remarque. En cas de doute, vérifier pour des cas simples :
•
•
z = 5 (réel) équivaut à z = z̄ = 5
z = 3 i (imaginaire pur) équivaut à z = −z̄ = 3 i
Proposition 4. Opérations sur les conjugués Soit z et z ′ deux nombres complexes.
1
1
z
z̄
=
et
= ¯′
z + z ′ = z̄ + z¯′
z z ′ = z̄ z¯′ et z n = z̄ n
z
z̄
z′
z
Proposition 5. Si z = a + i b alors z z̄ = a2 + b2 (réel positif ou nul).
Démonstration. Immédiate, dans le cahier de recherche 2
z̄¯ = z
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6 Équation du second degré à coefficients réels
Théorème 3. Soit l’équation a z 2 + b z + c = 0, d’inconnue z ∈ C, où a, b et c sont des réels (a 0).
Le discriminant de cette équation du second degré est le réel : ∆ = b2 − 4 a c .
1. Si ∆ > 0 : L’équation a z 2 + b z + c = 0 a 2 solutions réelles distinctes :
√
√
−b − ∆
−b + ∆
z1 =
et z2 =
2a
2a
2. Si ∆ = 0 : L’équation a z 2 + b z + c = 0 a une solution double réelle :
b
z0 = −
2a
3. Si ∆ < 0 : L’équation a z 2 + b z + c = 0 a 2 solutions complexes conjuguées :
√
√
−b − i −∆
−b + i −∆
z1 =
et z2 = z¯1 =
2a
2a
Démonstration. Dans la cahier de bord √
√
√
Exemple 7. x2 = 3 a pour solutions − 3 et 3
et
2
x2 = −7 a pour solutions −i
4
√
7 et i
√
Exemple 8. Résoudre dans C les équations suivantes : −10 z + 2 z − 1 = 0 et z + 6 z − 7 = 0.
√
1. −10 z 2 + 2 z − 1 = 0 a pour discriminant : ∆ = −36 < 0 et −∆ = 6
donc cette équation a deux solutions complexes conjuguées : z1 =
−2 − 6 i
−20
=
7.
2
1+3i
10
et z2 = z¯1 =
1−3i
10
2. Posons Z = z 2. L’équation z 4 + 6 z 2 − 7 = 0 est équivalente à Z 2 + 6 Z − 7 = 0.
Z 2 + 6 Z − 7 = 0 a pour discriminant : ∆ = 64 > 0
−6 + 8
−6 − 8
donc cette équation a deux solutions réelles : Z1 = 2 = −7 et Z2 = 2 = 1
d’où z 4 + 6 z 2 − 7 = 0 ⇔
z 2 = −7
ou
z2 = 1
⇔ z = −7 i ou z = 7 i ou z = −1 ou z = 1
On en déduit donc que z 4 + 6 z 2 − 7 = 0 a pour ensemble de solutions S = {−7 i; 7 i; −1; 1}
Proposition 6. Dans C, le trinôme a z 2 + b z + c peut toujours être factorisé (éventuellement avec z1 = z2 = z0 )
a z 2 + b z + c = a (z − z1) (z − z2)
7 Module, argument et forme trigonométrique
Le plan est muni d’un Repère Orthonormé Direct (O ; Qu , Qv ).
Définition 4. Soit z = a + i b un nombre complexe et M (a; b) le point d’affixe z.
• Le module de z, noté |z | est égal à la distance OM = r
√
|z | = r = a2 + b2
•
M (z)
b
Un argument de z (z non nul), noté arg z est une mesure de l’angle orienté θ = u
Q ; OM

 cos θ = a
r
arg z = θ + k × 2 π (k ∈ Z) avec
 sin θ = b
|z | = r
Qv
O
arg z = θ
a
Q
u
r
On note arg z = θ [2 π] et on dit « argument de z égal à θ modulo 2 π »
Remarque. • |z | est un réel positif.
•
Dans le cas |z | = 1, on retrouve les propriétés du cercle trigonométrique.
•
On verra aussi la notation arg z ≡ θ [2 π]
et on dira « argument de z congru à θ modulo 2 π ».
1
A
−2
Exemple 9. Dans le plan complexe, placer les points A et B tels que :
3π
|zA | = 1 et arg (zA) = 4 [2 π]
|zB | = 2 et arg (zB ) =
−5 π
6
[2 π]
B
Exemple 10. Déterminer l’ensemble E1 des points M d’affixe z du plan tels que : |z| = 5.
|z| = 5 ⇔ OM = 5 donc E1 est le cercle de centre O et de rayon 5.
3π
Exemple 11. Déterminer l’ensemble E2 des points M d’affixe z du plan tels que : arg z = 4 [2 π].
√ √
3π
3π
arg z = 4 [2 π] ⇔ Q
u ; OM = 4 [2 π] donc E2 est la demi-droite d’origine O exclu et passant par M − 2 + i 2 .
2
2
Proposition 7. |z |2 = z z̄ = a2 + b2
3
0
1
2
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Théorème 4. et définition. Tout nombre complexe z non nul peut s’écrire sous la forme :
où r = |z | et arg z = θ [2 π]
z = r (cos θ + i sin θ)
Cette écriture est appelée forme trigonométrique de z.
Démonstration. Dans le cahier de bord Remarque. • Un nombre complexe écrit sous la forme z = r (cos θ + i sin θ) avec r > 0 a pour module |z | = r et pour argument arg z = θ [2 π].
•
Deux nombres complexes non nuls sont égaux si, et seulement si, ils ont même module et même argument modulo 2 π.
Si l’on connaît r = |z | et θ = arg z[2 π] alors
(z = r (cos θ + i sin θ))
→
z = r (cos θ + i sin θ) = (r cos θ) + i (r sin θ)
ou
→
a = r cos θ
b = r sin θ
Si l’on connaît
√ a et b alors
r = |z | = a2 + b2
→
(z = a + i b)
on factorise z par r : z = r
et on identifie
a
r
et
b
r
donne z = a + i b

 cos θ = a
r
 sin θ = b
→
a
r
b
+i r
au cos et au sin d’un angle θ
ou
permet de déterminer θ = arg z[2 π]
r
√
√
Exemple 12. q
Déterminer le module et l’argument de z1 = − 5 + i 5 et l’écrire sous forme trigonométrique.
√ 2
√ 2 √
√
r = |z1| =
− 5 +
5 = 5 + 5 = 10
√
• Méthode 1 : (on factorise z1 par r = |z1| = 10 )
√
√
√ √
√ √2
√
√
√
5
1
5
1
2
= 10 − √ + i √
= 10 − 2 + i 2
forme trigonomérique de z1
z1 = − 5 + i 5 = 10 − √ + i √
10
2
10
2
d’où arg(z) = 3 π [2 π]
4
•
Méthode 2 : (on calcule cos θ =
√
− 5
√
10
√
1
2
cos θ =
= −√ = − 2
2
d’où arg(z) = 3 π [2 π]
4
a
r
et
b
et sin θ = r )
√
sin θ = √
5
10
1
=√ =
√
2
2
2
on en déduit la forme trigonométrique z1 =
√
√ √
2
2
10 − 2 + i 2
Exemple 13. Écrire sous forme algébrique le nombre complexe z2 de module 4 et d’argument − 6 .
√
√
√
√
1
π
π
π
π 3
3
1
(on a aussi : a = 4 cos − 6 = 4 × 2 = 2 3 et b = 4 sin − 6 = 4 × − 2 = −2)
z2 = 4 cos − 6 + i sin − 6 = 4 2 − 2 i = 2 3 − 2 i
π
Proposition 8. Soit z est un nombre complexe non nul,
1. z est un réel si, et seulement si, arg z = 0 [2 π] ou arg z = π [2 π]
π
2. z est un imaginaire pur si, et seulement si, arg z = ± [2 π]
2
(ou bien arg z = 0 [π])
π
(ou bien arg z = [π])
2
Proposition 9. Module et argument de l’opposé et du conjugué
Soit z un nombre complexe non nul.
→
arg z̄ = −arg z
→
arg (−z) = arg z + π
→
Qv
arg z + π
|z̄ | = |z | = |−z |
|−z |
M ′′(−z)
z̄ − i
Exemple 14. Soit
z un complexe tel que z i et Z = z + i . Montrer que |Z | = 1.
z̄ − i |z̄ − i| |z̄ − i| |z + i|
=
|Z | = =
=
=1
(car |z̄ − i| = |z̄ − i| et z̄ − i = z̄¯ − ī = z + i)
z + i |z + i|
|z + i|
|z + i|
Proposition 10. Soit z et z ′ deux nombres complexes non nuls et n un entier naturel.
1. |z z ′| = |z| |z ′|
2. |z | = |z |
z |z |
3. ′ = ′
z
|z |
n
n
et
et
M (z)
b
et
arg (z z ′) = arg(z) +arg (z ′) [2 π]
arg (z n) = n arg(z) [2 π]
z
arg ′ = arg(z) − arg (z ′) [2 π]
z
Exemple 15. Calculer le √
module
et l’argument de (1 + i)8.
|(1 + i)8| = |1 + i|8 =
2 8 = 24 = 16
(car |z 8| = |z |8 )
π
(car arg (z 8) = 8 arg(z) [2 π])
arg (1 + i)8 = 8 arg(1 + i) = 8 × 2 = 0 [2 π]
4
|z |
arg z
O
−b
Q
u
|z̄ |
arg z̄
a
M ′(z̄ )
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8 Interprétation géométrique des nombres complexes
Le plan est muni d’un Repère Orthonormé Direct (O ; Qu , Qv ).
Définition 5. Affixe d’un vecteur
À tout vecteur w
Q (a; b) du plan complexe, on associe l’unique complexe z = a + i b.
z est appelé l’affixe du vecteur w
Q . On le note zw
Q .
Proposition 11. zw
Q + zw
Q ′ = zw
Q +w
Q′
et
zkw
Q = k zw
Q (avec k ∈ R)
Démonstration. Dans le cahier de bord. Proposition 12. Soit A et B deux points d’affixes zA et zB,
1. zAB = zB − zA
2. AB = |zB − zA |
3. Qu ; AB = arg (zB − zA) [2 π] si A B
4. Soit I milieu de [AB], zI =
zA + zB
2
Exemple 16. Soient A, B et C trois points du plan dont les affixes sont : zA = −3 + i ; zB = −1 − 2 i et zC = 4 + 3 i.
1. Déterminer l’affixe du vecteur AB .
zA B = zB − zA = −3 + i − (−1 − 2 ) = 2 − 3 i donc AB
2
−3
2. Déterminer l’affixe du point D tel que AB C D soit un parallélogramme.
ABCD parallélogramme ⇔ AB = DC
⇔ zA B = zDC
⇔ 2 − 3 i = 4 + 3 i − zD
⇔ zD = 2 + 6 i
3. Déterminer l’affixe du centre I du parallélogramme A B C D.
On en déduit que zI =
zA + zB
2
=
−3 + i + (−1 − 2 i)
2
=
1+4i
2
=
1
2
+2i
Proposition 13. Soit A, B, C et D quatre points deux à deux distincts d’affixes zA, zB, zC et zD,
AB ; AC = arg
zD − zC
zB − zA
[2 π]
c−a
Exemple 17. Soit A, B et C trois points d’affixes respectives : a = 1 − i ; b = 2 + i et c = 3 − 2 i. On pose Z =
.
b−a
Calculer Z et en déduire la nature de AB C.
c − a AC
=
• |Z | = et arg z = AB ; AC [2 π]
b − a AB
c − a (3 − 2 i) − (1 − i)
2−i
2−i
1−2i
−5 i
• Z=
= (2 + i) − (1 − i) = 1 + 2 i = 1 + 2 i × 1 − 2 i = 5 = −i
b−a
On en déduit que : |Z | = |−i|
et
arg(Z) = arg(−i)
π
AC
AB ; AC = − 2 [2 π]
= 1
AB
AC = AB
donc ABC est un triangle rectangle isocèle en A.
z+1
Exemple 18. Déterminer l’ensemble E3 des points M d’affixe z du plan tels que Z =
est un imaginaire pur.
z −1
z+1
imaginaire pur ⇔ Z̄ = −Z
Z=
z −1
z̄ + 1
z+1
⇔
=−
z̄ − 1
z −1
⇔ (z̄ + 1) (z − 1) = −(z̄ − 1) (z + 1) et z 1
⇔ 2 z z̄ = 2
⇔ z z̄ = 1
⇔ |z |2 = 1
⇔ |z | = 1
donc E3 est le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point d’affixe 1.
ou bien
Soit z = x + i y (x et y réels). Z =
x2 − (1 + i y)2
x2 − 1 + y 2 − 2 y i
z + 1 x + i y + 1 x + 1 + i y x − 1 − i y x + (1 + i y) x − (1 + i y)
=
=
×
=
×
=
=
z − 1 x + i y − 1 x − 1 + i y x − 1 − i y (x − 1) + i y (x − 1) − i y (x − 1)2 − (i y)2
(x − 1)2 + y2
z+1
imaginaire pur ⇔ Re(Z) = 0
z −1
2
x − 1 + y2 − 2 y i
⇔ Re
=0
(x − 1)2 + y 2
2
2
⇔ x −1+ y =0
et (x, y) (1, 0)
⇔ x2 + y 2 = 1
donc E3 est le cercle de centre O et de rayon 1 privé du point d’affixe 1.
Z=
5
Tale S2
Chapitre II - Complexes (Partie I)
Guist’hau - 2014/2015
Exemple 19. Résoudre dans C l’équation : z 2 + 7 = 0.
z 2 + 7 = 0 ⇔ z 2 = −7 ⇔ z 2 = (i × 7)2 ⇔ z = 7 i ou z = −7 i
donc z 2 + 7 = 0 a pour solutions 7 i et −7 i.
√ √
√ Exemple 20. Développer 1 − 3 2 puis résoudre dans C l’équation z 2 + 1 − 3 z + 2 − 3 = 0.
√
√ 2
•
1− 3 =4−2 3
√
√ • z2 + 1 − 3 z − 3 = 0
√ √ √ √
√ √ √
a pour discriminant : ∆ = 1 − 3 2 − 4 × 1 × 2 − 3 = −4 + 2 3 = − 4 − 2 3 = − 1 − 3 2 < 0 soit −∆ = 1 − 3
donc cette équation a deux solutions complexes conjuguées : z1 = −1 +
√
3−i 1−
2
√ 3
et z2 = z¯1 =
−1 +
√
3+i 1−
2
√ 3
Exemple 21. Ensembles de points Soit le complexe z = x2 + y 2 − 2 x − 3 + i (2 x − 1 + y).
Déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z tel que z soit un imaginaire pur.
z imaginaire pur ⇔ Re(z) = 0
⇔ x2 − 2 x
+y 2 − 3 = 0
⇔ (x − 1)2 − 1 + y2 − 3 = 0
⇔ (x − 1)2 + y 2 = 22
donc E est le cercle de centre Ω(1; 0) et de rayon 2.
Qv
b
1
N (z)
|z | = r = 1
arg z = θ
O
a
1
Si l’on connaît r = |z | et θ = arg z[2 π] alors
•
•
z = r (cos θ + i sin θ) = r cos θ + i r sin θ
a = r cos θ
b = r sin θ
Qu
Si l’on connaît a et b alors |z| =
•

 cos θ = a
r
•
 sin θ =
6
b
r
√
a2 + b2
permet de déterminer θ = arg z[2 π]