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LES FRACTIONS
Qu'est-ce qu'une fraction ?
Un nombre rationnel est un nombre qui peut être le quotient de deux nombres entiers. Ainsi 2,5
est rationnel car 10 4 = 2,5. Autre exemple, 1,272727... est rationnel car 42 33 = 1,272727... . Le
nombre n'est pas rationnel, car il n'existe pas deux entiers a et b tels que a b = .
Une fraction est une façon d'écrire un nombre rationnel. Puisqu'il peut être le quotient de deux
nombres entiers avec a comme dividende et b comme diviseur, un nombre rationnel peut s'écrire tout
simplement
où a s'appelle le numérateur et b le dénominateur. Ainsi 2,5 peut s'écrire
.
Un nombre rationnel peut s'écrire d'une infinité de façon sous forme d'une fraction. Le nombre
rationnel dont l'écriture décimale est 1,272727... peut s'écrire indifféremment
; etc...
Comment reconnaître que deux fractions représentent le même nombre rationnel. Etant
données deux fractions, par exemple
, on peut reconnaître qu'elles représentent le même
nombre en constatant que les quotients des divisions 42 33 et 126 99 sont égaux. On peut toutefois
reconnaître le même nombre, sans effectuer les divisions, en utilisant la propriété suivante :
Propriété. On ne change pas un nombre rationnel écrit sous forme d'une fraction en divisant
ou en multipliant son numérateur et son dénominateur par un même nombre entier non nul.
Exemple.
représentent le même nombre rationnel car
.
Comment changer d'écriture ? Dans un sens, de l'écriture sous forme d'une fraction à l'écriture
décimale, il suffit de poser une division euclidienne. Voyons maintenant avec le nombre 1,345345... le
passage de l'écriture décimale à l'écriture sous forme d'une fraction : le motif étant formé de 3
chiffres, multiplions ce nombre par 1000 :
1000 1,345345... = 1345,345345...
puis retranchons le nombre à ce produit :
1345,345345... 1,345345... = 1344.
Finalement, nous constatons que :
1000 1,345345... 1,345345... = 1344.
Soit, après factorisation :
999 1,345345... = 1344.
On en déduit l'écriture en fraction de notre nombre :
1,345345... =