Séance 1 : calculs fractionnaires, factorisations, développements

Séance 1 : calculs fractionnaires, factorisations, développements
I. Fractions
Un nombre est rationnel si et seulement si il admet une écriture de la forme
est un entier relatif et un entier
relatif non nul,
est une écriture fractionnaire de ce nombre rationnel. On note l'ensemble des nombres rationnels.
1. Égalité :
Soient, , et quatre entiers relatifs tels que     ,
équivaut à  
c'est à dire : si
alors   et si   alors
.
2. Simplification :
Soient , et trois entiers relatifs tels que     , 

Pour simplifier une fraction on divise le numérateur et le dénominateur par un entier relatif non nul.
Exemple : 
 

.
3. Addition et soustraction :
Soient , et trois entiers relatifs tels que   ,

.
Pour additionner ou soustraire deux fractions ayant même dénominateur, on additionne ou soustrait les numérateurs et
on garde le dénominateur commun
Exemple :
.
Attention ! Attention ! Lorsque les dénominateurs sont différents on réduit au même dénominateur.
Exemple :


.
4. Multiplication et division :
Soient , , et quatre entiers relatifs tels que     ,

.
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
Exemple : 

 
 
 4
Remarque importante : ,  

exemple : ,  

    
Pour diviser par un nombre rationnel non nul on multiplie par son inverse. Soient , , et quatre
entiers relatifs tels que       
Exemple :


Remarque importante, cas particulier : pour diviser par l'entier relatif non nul on multiplie par
.
Exemple :
 
.
Il faut faire très attention à l'écriture :

et


.
5. Fraction irréductible :
Soit un entier relatif et soit un entier naturel tel que   ,
est une fraction irréductible si
et n'ont pas de diviseur positif commun autre que 1( on ne peut pas simplifier)
Exercice 1 :
Calculer et donner le résultat sous la forme d'une fraction irréductible :
 
;  
 ; 
;  


 

 ;  

;  
  
 ;   

;


;  

  
;
   


;  
;  
;  

Exercice 2 :
Ordonner les nombres suivants :
1. 

2. 

 3. 

  


II. Développement / Factorisation
Soient a, b, c, d et k des réels, on a :
k(a + b) = ……………………………
(a + b)(c + d) = ………………………………………
(a + b)2 = …………………………………………
(a b)2 = ………………………………………… Identités remarquables
(a + b)(a b) = …………………………………
Exercice 3 :
Développer les produits puis réduire les expressions suivantes:
A =
2
1
6
5
3
x
; B =
)3(3)13(2 xx
; C =
 
)1(4
3
1xxxx
;
D =
)32)(1( xx
; E =
; F =
)5)(13(1 xx
; G =
)1)(1(4)12(3 xxx
   ; 

;    
Exercice 4 :
Factoriser au maximum les expressions suivantes :
A =    ; B =    ; C = (2x + 1)(5x + 7) (2x + 1)2 ;
D =       ; E =   ; F = (4x + 8)2 49 ; H =  
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