Alg`ebre Devoir No 3 Exercice 1 Calculer 1. 1 −2 −1 0 2 1 −3 1 −1 2
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Algèbre
Devoir No 3
Exercice 1
Calculer
1.
1 −2 −1 0
1 1 −1 −1
2
1 −3 1
1 −3
· 0 2
−1 2
3 −1
4 −4 2 −5
2
1
0
2
2 −1 −2 −4
2.
4
14
10
19
14
−4 −4 −9 −6
36
25
47
35
−60 −41 −76 −57
Exercice 2
Soit
√
L = {a + b 2; a, b ∈ Q} ⊂ R.
et
√
√
√
√
M = {α + β 3; α, β ∈ L} = {a + b 2 + c 3 + d 6; a, b, c, d ∈ Q}
Montrer que L et M sont des sous-corps de R.
Exercice 3
Soit
x −y −z −t
y x −t z
4
A :=
M (x, y, z, t) :=
,
(x,
y,
z,
t)
∈
R
)
⊂ M4 (R).
z t
x −y
t −z y
x
1. Montrer que A est un sous-espace vectoriel de dimension 4 de M4 (R).
2. Soit
I := M (0, 1, 0, 0), J = M (0, 0, 1, 0), K = M (0, 0, 0, 1)
Calculer
IJ, IK, JI, JK, KI, KJ, I 2 , J 2 , K 2 ,
3. En déduire que A est une sous-algèbre de M4 (R).
1
4. Calculer
M (x, y, z, t) · M (x, −y, −z, −t), (x, y, z, t) ∈ R4 .
5. En déduire que A est un corps (non-commutatif).
Exercice 4
Soit K un corps et soit n ∈ N. Soit Nn = {M = (ai,j ) ∈ Mn (K); ai,j = 0, n ≥ i ≥
j ≥ 1}. Montrer que Nn (K) est un sous-anneau de Mn (K). Montrer que pour 1 ≤ k ≤
n, M1 , · · · , Mk ∈ Nn (K), on a que
(M1 · · · Mk )(i, j) = 0 pour tout couple (i, j) tel que j − i ≤ k − 1.
En déduire que M n = 0 pour tout M ∈ Nn (K).
Exercice 5
Soit n ∈ N∗ , n ≥ 2 et soit K un corps. Soit A l’algèbre A = Mn (K). Montrer que A est
simple, c. à d. que tout idéal bilatère I de A, qui est différent de {0}, est égal à l’algèbre
A tout entière. (utiliser les relations Ei,j Ek,l = δj,k Ei,l ).
Exercice 6
Soit A un anneau unitaire commutatif. Soient a1 , · · · , am des éléments de A. Montrer par
récurrence sur m que pour tout n ∈ N:
(a1 + · · · + am )n =
X
p1 ,··· ,pm ≥0,n=p1 +···pm
n!
ap11 · · · apmm
p1 ! · · · pm !
Exercice 7
Soit A un anneau commutatif fini, tel que si a · b = 0 pour deux éléments a, b ∈ A, on
a que a = 0 ou b = 0 (on dit que A est intègre). Montrer que A est unitaire et que tout
élément différent de 0 dans A est inversible, c. à d. A est un corps.
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