Oral 2015 Probabilités 1 1. On lance un dé non pipé

Oral 2015 Probabilités 1
1. On lance un dé non pipé autant de fois que nécessaire pour obtenir un 6.
Quelle est la loi du nombre Nde lancers nécessaires ? Quel est le nombre
moyen de lancers nécessaires (c’est-à-dire l’espérance de N) ?
2. On lance un dé non pipé autant de fois que nécessaire pour obtenir suc-
cessivement un 1 au 2n+1-ième lancer puis un 6 au 2n+2-ième lancer
(pour un certain n∈N∗). Quel est le nombre moyen de lancers néces-
saires ?
3. Soit Yune variable aléatoire à valeurs dans N. Montrer :
E(Y)=
+∞
X
n=1
P(Y≥n)
4. On lance un dé non pipé autant de fois que nécessaire pour obtenir suc-
cessivement un 1 puis un 6, puis on s’arrête. On note X1,X2,... les va-
riables aléatoires modélisant les résultats des lancers. On note Tle nombre
de lancers effectués.
(a) Montrer que Test d’espérance finie.
(b) On note, si t∈N∗,x(t)=P(T≥t) et y(t)=PX1=1(T≥t). Trouver des
réels a,b,c,dtels que
∀t≥3(x(t)=ax(t−1) +by(t)
y(t)=cx(t−2) +d y(t−1)
En déduire E(T).
5. Quel est le nombre moyen de lancers nécessaires pour obtenir successi-
vement deux 3 ?
1. On sait (cours, savoir le redémontrer) que Nsuit une loi géométrique G(1/6).
Donc son espérance est (cours, savoir le redémontrer.. .) 6.
2. On regroupe les lancers par deux : la probabilité d’obtenir (6,6) aux lancers
(2k+1,2k+2) (k≥0) est 1/36. On a donc encore affaire à une variable géomé-
trique de paramètre 1/36. Il faudra en moyenne 36 ”couples de lancers” pour
obtenir un (1,6). Donc 72 lancers.
3. Un grand classique. . .Partons de la sigma-additivité :
P(Y≥n)=
+∞
X
k=n
P(Y=k)=
+∞
X
k=1
un,k

où l’on note un,k=0 si k<n,un,k=P(Y=k) si k≥n(on restreint (k,n) à
N∗×N∗). Alors
(i) pour tout n,X
k
un,kconverge, et sa somme vaut P(Y≥n).
(ii) pour tout k,X
n
un,kconverge, et sa somme vaut kP(Y=k).
La caractérisation de la sommabilité par paquets (familles positives) montre
alors le résultat.
4. Le calcul du 2. montre que Test presque sûrement finie, et que son espé-
rance est finie (inférieure à 72). De plus, si t≥3,
P(T≥t)=P(X1=1)PX1=1(T≥t)+P(X16= 1)PX16=1(T≥t) relation qui s’inter-
prète comme
x(t)=5
6x(t−1) +1 6y(t)
et de même
PX1=1(T≥t)=P(X2=1)P(X1=1,X2=1)(T≥t)+P(X26∈ {1,6})P(X1=1,X26∈{1,6})(T≥t)
s’interprète comme
y(t)=1
6y(t−1) +2 3x(t−2)
Les familles xet ysont sommables ; on somme donc, on obtient
E(T)−1−1=5
6(E(T)−1)+1 6
+∞
X
t=3
y(t)
et +∞
X
t=3
y(t)=1
6
+∞
X
t=3
y(t)+1
6y(2) +2 3E(T)
Mais y(2) =1, on obtient donc l’équation
E(T)−2=5
6E(T)−5 6+1 5µ1 6+2 3E(T)¶
et finalement E(T)=36.
5. On reprend les calculs précédents, en changeant les notations : on note, si
t∈N∗,x(t)=P(T≥t) et y(t)=PX1=3(T≥t). La relation
x(t)=5
6x(t−1) +1 6y(t)
reste vraie, mais on a cette fois
y(t)=5
6x(t−2)
(avec toujours t≥3). Les calculs, analogues mais plus faciles, donnent E(T)=
42.
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Oral 2015 Probabilités 2
1. On effectue des lancers successifs d’un dé (non pipé). On note bnla pro-
babilité pour que les lancers n−1 et ndonnent successivement un 1 puis
un 6. On note anla probabilité pour que les lancers n−1 et nsoient les
premiers lancers où l’on obtient successivement un 1 puis un 6. Définir
b0,a1,b1pour que
bn=
n
X
k=1
akbn−k
En utilisant les séries Panxnet Pbnxn, en déduire l’espérance du nombre
de lancers nécessaires pour obtenir successivement un 1 puis un 6.
2. Quelle est l’espérance nombre de lancers nécessaires pour obtenir suc-
cessivement deux 3 ?
Soit n=2 ; on a alors an=bn(la valeur commune étant 1/36), on prendra donc
b0=1. Si n=3, on a aussi an=bn, donc pour avoir
b3=a1b2+a2b1+a3b0
avec b0=1, on prendra a1=b1=0. On note alors Bnl’événement « les lancers
n−1 et ndonnent successivement 1 puis 6 » et Anl’événement « les lancers n−1
et nsont les premiers qui donnent successivement 1 puis 6 ». Alors, par formule
des probabilités totales (on a clairement Bn⊂A2∪A3. .. ∪Anet la réunion est
disjointe),
P(Bn)=
n
X
k=2
P(Ak)PAk(Bn)
or, par indépendance (implicitement supposée) des lancers, PAk(Bn)=bn−k
(k≤n), d’où
bn=
n
X
k=2
akbn−k=
n
X
k=0
akbn−k
en posant de plus a0=0.
Mais attention, la formule est fausse pour n=0 : b06= a0b0; elle est en revanche
vraie pour n=1 (0 =0). Par produit de Cauchy, on a donc
Ã+∞
X
k=0
bkxk−1!=Ã+∞
X
k=0
bkxk!Ã+∞
X
k=0
akxk!
Mais dès lors que n≥2, bn=1
36. Donc
+∞
X
k=0
akxk=x2
x2+36 ×(1 −x)

L’espérance cherchée est la dérivée de cette expression en 1. La dérivée vaut
2x(x2+36(1 −x)) −x2(2x−36)
(x2+36(1 −x))2
ce qui, pour x=1, donne la valeur 36.
Pour deux 3 consécutifs, le même genre de considérations fonctionne, mais on
prend b0=1 et b1=1/6, a0=a1=0 (on commence par explorer : b2=a2,b3=
a2×1/6 +a3,b4=a4+a3/6 +a2b2...). On obtient
+∞
X
n=0
anxn=
1
36
x2
1−x
1
36
x2
1−x+1+x 6
Et la dérivée en 1 vaut 42.
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Oral 2015 Probabilités 3
Soit n≥2 et (Uk)k≥1une suite de variables aléatoires indépendantes et de loi
uniforme sur l’ensemble {1,...,n}. Ces variables modélisent, par exemple, les
résultats successifs d’un tirage au hasard et avec remise d’une boule parmi n
boules numérotées de 1 à n. Pour tout m≥1 et i∈{1,...,n} on note
X(m)
i=Card({k∈{1,... , m} ; Uk=i})=
m
X
k=1
1{Uk=i}
le nombre d’occurrences de la boule iobtenues dans les mpremiers tirages.
1. Quelle est la loi de X(m)
ipour i∈{1,...,n} et m≥1 fixés ?
2. Soit m≥1 et i,j∈{1,. . . , n} fixés, i6= j. Calculer la covariance des va-
riables aléatoires X(m)
iet X(m) j. Sont-elles indépendantes ?
3. On suppose désormais qu’on effectue au total un nombre aléatoire Nde
tirages successifs avec remise, où Nsuit une loi de Poisson de paramètre
λ>0 et est indépendante de (Uk)k≥1. On pose
∀i∈{1,...,n}Yi=X(N)
i
avec par convention X(0)
i=0. Déterminer, en fonction de λet de n, la loi
de Yipour tout i∈{1,...,n}.
4. Déterminer la loi conjointe de (Y1,...,Yn)
La loi de X(m)
iest une loi B(m,1/n).
Calculons
E³X(m)
iX(m) j´=EÃX
(k,`)∈1,m2
1{Uk=i}1{U`=j}!
=X
(k,`)∈1,m2
E¡1{Uk=i}∩{U`=j}¢
=X
(k,`)∈1,m2
P¡{Uk=i}∩{U`=j}¢
=X
(k,`)∈1,m2,k6=`
P(Uk=i)P(U`=j)
=(m2−m)×1
n2
Mais E(X(m)
i)E(X(m) j)=³m
n´2. On en déduit
Cov(X(m)
i,X(n) j)= − m
n2