Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Exercice 4

Licence 2 — PB1
Probabilités et statistiques
Examen du 18 Décembre 2008. Durée : 2H
Aucun document n’est autorisé. Calculatrices interdites.
Exercice 1
Une personne possède 4 clefs parmi lesquelles une seule ouvre la porte. Elle les essaie
au hasard en éliminant celles qui ne marchent pas. On pose X "le nombre d’essais pour
ouvrir la porte".
1. Calculer la loi de probabilité de X, c’est-à-dire P (X = k) avec k = 1, 2, 3, 4.
2. Calculer E(X) et V ar(X).
Exercice 2
On lance un dé rouge et un dé noir tous deux équilibrés. Calculer les probabilités que
l’on obtienne :
1. un 3 avec le dé rouge sachant que la somme des points est 6.
2. un nombre pair avec le dé rouge sachant que la somme des points est 6.
3. un nombre pair avec le dé rouge sachant que la somme des points est au plus 6.
4. au moins un nombre pair sachant que la somme des points est au plus 10.
Exercice 3
Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant chacune une loi de
Poisson de paramètres respectifs λ > 0 et µ > 0, c’est-à-dire :
λk −λ
µk −µ
e ; P (Y = k) =
e
avec k ∈ N.
k!
k!
1. Montrer que X + Y suit une loi de Poisson et donner le paramètre.
2. Montrer que la loi conditionnelle de X sachant X + Y = n est binomiale et donner ses
paramètres.
P (X = k) =
Exercice 4
Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi :
∀k ∈ N, P (X = k) = P (Y = k) = pq k
(q = 1 − p, p ∈]0, 1[).
On pose U = max(X, Y ) et V = min(X, Y ).
1. Calculer P (U ≤ k) pour k ∈ N. En déduire la loi de U .
2. En s’inspirant de ce qui précède déterminer la loi de V .
1
Exercice 5
Soient X1 , · · · , Xn des variables aléatoires indépendantes de même loi avec
P (X1 = 0) = 1 − p,
P (X1 = 1) = p; p ∈ [0, 1].
Montrer que
∀ε > 0,
lim P
n→+∞
!
n
1 X
Xk − p ≥ ε = 0.
n
k=1
Exercice 6
Un pronostiqueur a observé les résultats de 50 courses de chevaux. Le tableau suivant
donne le nombre de vainqueurs Y pour les 5 positions de départ X numérotées de
l’intérieur vers l’extérieur.
X=la position de départ
Y=le nombre de vainqueurs
1
10
2
12
3
14
4
8
5
6
1. Construire le diagramme en bâtons des fréquences de la série statistique.
2. Calculer la moyenne et la variance de chacune des variables X et Y .
3. Calculer le coefficient de corrélation et écrire l’équation de la droite de régression
linéaire de la variable Y sur la variable X.
2