Théorie des graphes (4) Théorie algébrique des graphes

Th´ eorie des graphes (4)
Th´ eorie alg´ ebrique des graphes
Michel Rigo
http://www.discmath.ulg.ac.be/
Ann´ee 2015–2016

Utiliser l’alg`ebre lin´eaire
D´ efinition
Soit G= (V,E)un multi-graphe non orient´e,
V={v1,...,vn}.
A(G):matrice d’adjacence de G,∀1≤i,j≤n
[A(G)]i,j= # arˆetes {vi,vj}de E.
!cas non orient´e ❀matrice d’adjacence sym´etrique
❀polynˆome caract´eristique de G, valeurs propres de G,
spectre de G,. . .

v v v
v
v
1
2
3
4 5
a5
4
6
a
a8
7
a
2
a
3
a
1
a
a
A(G) =
01110
10111
11011
11100
01100
χG(λ) = −λ5+ 8λ3+ 10λ2+λ−2.

Proposition
Deux graphes G1et G2sont isomorphes si et seulement si ils ont,
`a une permutation pr`es, la mˆeme matrice d’adjacence.
P=
00001
00010
00100
10000
01000
matrice de permutation
P−1A(G)P=
0 0 1 1 1
0 0 1 1 0
1 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 0 1 1 0
χA(λ) = χP−1AP (λ) = −λ5+ 8λ3+ 10λ2+λ−2.

Un triangle est un triplet d’arˆetes distinctes deux `a deux de la
forme {a,b},{b,c},{c,a}(i.e., circuit de longueur trois form´e
d’arˆetes distinctes).
Proposition
Si le polynˆome caract´eristique de G= (V,E)est de la forme
χG(λ) = (−λ)n+c1(−λ)n−1+c2(−λ)n−2+···+cn,
alors
◮c1est le nombre de boucles de G,
en particulier, si Gest simple, c1= 0.
◮Si Gest simple, alors −c2est le nombre d’arˆetes de G.
◮Si Gest simple, alors c3est le double du nombre de triangles
de G.