Ensembles usuels de nombres
Chapitre 9
1 Nombres entiers, d´ecimaux, rationnels 2
2 Les nombres r´eels 2
2.1 Borne sup´erieure, borne inf´erieure . . . . . . 2
2.2 Intervalles de R................. 4
2.3 Partie enti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Approximations ecimales . . . . . . . . . . . 6
Mathieu Mansuy - Professeur de Math´ematiques en sup´erieures PCSI au Lyc´ee Saint-Louis (Paris)
PCSI5 Lyc´ee Saint Louis, Paris
1 Nombres entiers, d´ecimaux, rationnels
D´efinition.
On appelle ensemble des entiers naturels, l’ensemble N={0; 1; 2; ...}
On appelle ensemble des entiers relatifs l’ensemble Zconstitu´e des entiers naturels et de leurs
oppos´es.
On appelle nombre d´ecimal un nombre xadmettant un nombre fini de chiffres apr`es la
virgule, c’est-`a-dire un nombre de la forme p
10n, avec pZet nN. On note Dl’ensemble
des nombres d´ecimaux.
On appelle nombre rationnel un quotient d’entiers relatifs, c’est-`a-dire un nombre de la forme
p
q, avec pZet qN. On note Ql’ensemble des nombres rationnels.
Remarques.
On a NZDQ.
Ces inclusions sont strictes. En particulier, un nombre rationnel n’est pas forc´ement d´ecimal :
1
3par exemple ne peut s’´ecrire sous la forme p
10n. Si c’´etait le cas, on aurait 3p= 10n, donc 3
divise 10n, ce qui est absurde.
2 Les nombres r´eels
2.1 Borne sup´erieure, borne inf´erieure
Rappel. Rest muni d’une relation de comparaison qui est dite relation d’ordre total.
D´efinition.
Soit Aune partie de R. On dit que :
MRest un majorant de Asi : aA, a M.
mRun minorant de Asi : aA, m a.
MRest le plus grand ´el´ement de A(ou maximum) si : MAet Mest un majorant de
A. Un tel ´el´ement est unique, not´e M= max(A).
mRest le plus petit ´el´ement de A(ou minimum) si : mAet mest un minorant de A.
Un tel ´el´ement est unique, not´e m= min(A).
D´efinition.
Soit Aune partie non vide et major´ee de R. On appelle borne sup´erieure de Ale plus
petit des majorants de A. Un tel ´el´ement est unique, not´e sup(A).
Soit Bune partie non vide et minor´ee de R. On appelle borne inf´erieure de Ale plus
grand des minorants de A. Un tel ´el´ement est unique, not´e inf(A).
Notons que l’unicit´e de la borne sup´erieure (resp. inf´erieure) est une cons´equence de l’unicit´e du plus
petit ´el´ement (resp. plus grand ´el´ement) d’un ensemble. L’existence d´ecoule du th´eor`eme suivant :
2
PCSI5 Lyc´ee Saint Louis, Paris
Ra la propri´et´e de la borne sup´erieure, c’est `a dire :
Toute partie non vide et major´ee de Rposs`ede une borne sup´erieure.
Toute partie non vide et minor´ee de Rposs`ede une borne inf´erieure.
Th´eor`eme 1
Remarque. On prendra garde au fait qu’une partie Apeut poss´eder une borne sup´erieure sans avoir
de plus grand ´el´ement. Inversement, si Aposs`ede un plus grand ´el´ement a, alors a= sup(A) : en
effet,
pour tout bA, on a ba, donc aest un majorant de A;
si Mest un majorant de A, alors pour tout bA,bM. En particulier, aM
Ainsi aest le plus petit des majorants : a= sup(A).
Exercice. Compl´eter :
min(A) inf(A) max(A) sup(A)
A={1}1 1 1 1
A={2,4}2 2 4 4
A=]1,5[ ×1×5
A= [5,0[ -5 -5 ×0
A={1/n|nN} × 0 1 1
A={xQ|x22} × 2×2
A= [2,4[Q2 2 ×4
Montrons cela pour A={1/n|nN}={1,1/2,1/3, . . . }.
1 est un ´el´ement de A, et pour tout nN, on a 1/n 1. Donc 1 = max(A) = sup(A).
0 est un minorant de A. Et si mminorant de A, on a m1/n pour tout nN. Par passage `a
la limite, on obtient m0. Ainsi 0 est le plus grand des minorants de A. C’est donc la borne
inf´erieure : inf(A) = 0.
Enfin supposons que Aposs`ede un plus petit ´el´ement a. Alors il existe kNtel que a= 1/k.
Mais alors 1
k+1 A, et 1
k+1 < a. D’o`u une contradiction.
Soient Aune partie non vide et major´ee de Ret MR.
M= sup(A)Mest un majorant de A
M0majorant de A, M M0
Mest un majorant de A
b < M, b n’est pas un majorant de A
xA, x M
 > 0,xAtel que M<x
Th´eor`eme 2 (Caract´erisation de la borne sup´erieure)
3
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Soit Bune partie minor´ee non vide et mR.
m= inf(B)mest un minorant de B
m0minorant de B, m0m
mest un minorant de B
a > m, a n’est pas un minorant de B
xB, x m
 > 0,xBtel que x<m+
Th´eor`eme 3 (Caract´erisation de la borne inf´erieure)
Exemple. Soient Aet Bdeux parties major´ees non vides de R. On note A+B={a+b; (a, b)
A×B}. Montrer que A+Badmet une borne sup´erieure, et que sup(A+B) = sup(A) + sup(B).
Comme Aet Bsont non vides, C=A+Best non vide. Pour tout xC, il existe (a, b)A×B
tels que x=a+b. De plus, asup(A) et bsup(B) donc xsup(A) + sup(B). Ainsi Cest
major´ee par sup(A) + sup(B), donc admet une borne sup´erieure.
Montrons que sup A+ sup Best le plus petit des majorants de C. Soit Mun majorant de C,
on a donc pour tout aAet bB,a+bM. Ainsi aMb, et ceci pour tout aA.
Mbest donc un majorant de A. Par comparaison d’un majorant au plus petit d’entre eux,
on obtient sup(A)Mb. On obtient alors bMsup(A) et ce pour tout bB. De mˆeme,
par comparaison d’un majorant au plus petit d’entre eux, on obtient sup(B)Msup(A).
Finalement sup(A) + sup(B)M.
On a finalement montr´e que sup(A)+sup(B) est un majorant de C, et c’est le plus petit des majorants
de C. Donc sup(C) = sup(A) + sup(B).
2.2 Intervalles de R
Rappel. On appelle intervalle de Rtoute partie Inon vide de Rde la forme suivante :
si Iest major´ee et minor´ee, I= [a, b] = {xR, a xb}, [a, b[, ]a, b] ou ]a, b[ ;
si Iest major´ee et non minor´ee, I=] − ∞, b] = {xR, x b}, ] − ∞, b[ ;
si Iest minor´ee et non major´ee, I= [a, +[= {xR, x a}, ]a, +[ :
ou bien si I=R.
Soit Iune partie non vide de R. Alors:
Iest un intervalle Iest une partie convexe:(x, y)I2,[x, y] = {tx+(1t)y, t [0,1]} ⊂ I
Propri´et´e 4 (caract´erisation des intervalles)
Preuve. L’implication est clairement v´erifi´ee. Montrons l’implication r´eciproque. Soit donc Iune
partie convexe et non vide de R. Il faut discuter des cas o`u Iest major´ee ou non, minor´ee ou non.
Traitons le cas suivant : supposons que Isoit major´ee et minor´ee, et que b= sup(I), a = inf(I)/I
(i.e. In’a pas de plus grand ni de plus petit ´el´ement). Montrons que I=]a, b[.
soit xI. Alors puisque b= sup(I) et a= inf(I), on a axb. De plus ces ´egalit´es sont
strictes, puisque a, b /I. Ainsi x]a, b[.
4
PCSI5 Lyc´ee Saint Louis, Paris
soit x]a, b[. Il existe  > 0 tel que a+xb. Par propri´et´e de la borne sup´erieur et
inf´erieure, il existe y, z Itels que y < a +et z > b . Mais alors par hypoth`ese, [y, z]I.
Puisque x[y, z], on a donc xI. On a donc montr´e que ]a, b[I.
2.3 Partie enti`ere
Soit xR, il existe un unique entier pZtel que :
px<p+ 1.
Propri´et´e 5
D´efinition.
Cet unique entier relatif, not´e bxcou E(x), est appel´e partie enti`ere de x.
Preuve. Soit xR, et consid´erons l’ensemble B={kZ|kx}.Best une partie non vide de Z
et major´ee. On sait alors qu’elle poss`ede un plus grand ´el´ement p. Alors
pBpx,
p+ 1 /Bp+ 1 > x.
Montrons `a pr´esent l’unicit´e : soient p1, p2tels que
p1x<p1+ 1 et p2x<p2+ 1.
Alors p21<x≤ −p2et par somme on obtient
p1p21<0< p1p2+ 1.
Puisque p1p2Z, on en d´eduit que p1p2= 0.
Remarque. La partie enti`ere de xest le plus grand entier relatif inf´erieur ou ´egal `a x.
Exemple. b5c= 5, b−2c=2, bπc= 3, b−πc=4, bec= 2, b−ec=3.
x
y
bxc
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