Chapitre 9 - Mathieu Mansuy

Ensembles usuels de nombres
Chapitre 9
1 Nombres entiers, d´ecimaux, rationnels 2
2 Les nombres r´eels 2
2.1 Borne sup´erieure, borne inf´erieure . . . . . . 2
2.2 Intervalles de R................. 4
2.3 Partie enti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Approximations d´ecimales . . . . . . . . . . . 6
Mathieu Mansuy - Professeur de Math´ematiques en sup´erieures PCSI au Lyc´ee Saint-Louis (Paris)
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PCSI5 Lyc´ee Saint Louis, Paris
1 Nombres entiers, d´ecimaux, rationnels
D´efinition.
On appelle ensemble des entiers naturels, l’ensemble N={0; 1; 2; ...}
On appelle ensemble des entiers relatifs l’ensemble Zconstitu´e des entiers naturels et de leurs
oppos´es.
On appelle nombre d´ecimal un nombre xadmettant un nombre fini de chiffres apr`es la
virgule, c’est-`a-dire un nombre de la forme p
10n, avec p∈Zet n∈N. On note Dl’ensemble
des nombres d´ecimaux.
On appelle nombre rationnel un quotient d’entiers relatifs, c’est-`a-dire un nombre de la forme
p
q, avec p∈Zet q∈N∗. On note Ql’ensemble des nombres rationnels.
Remarques.
On a N⊂Z⊂D⊂Q.
Ces inclusions sont strictes. En particulier, un nombre rationnel n’est pas forc´ement d´ecimal :
1
3par exemple ne peut s’´ecrire sous la forme p 10n. Si c’´etait le cas, on aurait 3p= 10n, donc 3
divise 10n, ce qui est absurde.
2 Les nombres r´eels
2.1 Borne sup´erieure, borne inf´erieure
Rappel. Rest muni d’une relation de comparaison ≤qui est dite relation d’ordre total.
D´efinition.
Soit Aune partie de R. On dit que :
M∈Rest un majorant de Asi : ∀a∈A, a ≤M.
m∈Run minorant de Asi : ∀a∈A, m ≤a.
M∈Rest le plus grand ´el´ement de A(ou maximum) si : M∈Aet Mest un majorant de
A. Un tel ´el´ement est unique, not´e M= max(A).
m∈Rest le plus petit ´el´ement de A(ou minimum) si : m∈Aet mest un minorant de A.
Un tel ´el´ement est unique, not´e m= min(A).
D´efinition.
Soit Aune partie non vide et major´ee de R. On appelle borne sup´erieure de Ale plus
petit des majorants de A. Un tel ´el´ement est unique, not´e sup(A).
Soit Bune partie non vide et minor´ee de R. On appelle borne inf´erieure de Ale plus
grand des minorants de A. Un tel ´el´ement est unique, not´e inf(A).
Notons que l’unicit´e de la borne sup´erieure (resp. inf´erieure) est une cons´equence de l’unicit´e du plus
petit ´el´ement (resp. plus grand ´el´ement) d’un ensemble. L’existence d´ecoule du th´eor`eme suivant :
2

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Ra la propri´et´e de la borne sup´erieure, c’est `a dire :
Toute partie non vide et major´ee de Rposs`ede une borne sup´erieure.
Toute partie non vide et minor´ee de Rposs`ede une borne inf´erieure.
Th´eor`eme 1
Remarque. On prendra garde au fait qu’une partie Apeut poss´eder une borne sup´erieure sans avoir
de plus grand ´el´ement. Inversement, si Aposs`ede un plus grand ´el´ement a, alors a= sup(A) : en
effet,
pour tout b∈A, on a b≤a, donc aest un majorant de A;
si Mest un majorant de A, alors pour tout b∈A,b≤M. En particulier, a≤M
Ainsi aest le plus petit des majorants : a= sup(A).
Exercice. Compl´eter :
min(A) inf(A) max(A) sup(A)
A={1}1 1 1 1
A={2,4}2 2 4 4
A=]1,5[ ×1×5
A= [−5,0[ -5 -5 ×0
A={1/n|n∈N∗} × 0 1 1
A={x∈Q|x2≤2} × −√2×√2
A= [2,4[∩Q2 2 ×4
Montrons cela pour A={1/n|n∈N∗}={1,1/2,1/3, . . . }.
1 est un ´el´ement de A, et pour tout n∈N∗, on a 1/n ≤1. Donc 1 = max(A) = sup(A).
0 est un minorant de A. Et si mminorant de A, on a m≤1/n pour tout n∈N∗. Par passage `a
la limite, on obtient m≤0. Ainsi 0 est le plus grand des minorants de A. C’est donc la borne
inf´erieure : inf(A) = 0.
Enfin supposons que Aposs`ede un plus petit ´el´ement a. Alors il existe k∈N∗tel que a= 1/k.
Mais alors 1
k+1 ∈A, et 1 k+1 < a. D’o`u une contradiction.
Soient Aune partie non vide et major´ee de Ret M∈R.
M= sup(A)⇔Mest un majorant de A
∀M0majorant de A, M ≤M0
⇔Mest un majorant de A
∀b < M, b n’est pas un majorant de A
⇔∀x∈A, x ≤M
∀ > 0,∃x∈Atel que M−<x
Th´eor`eme 2 (Caract´erisation de la borne sup´erieure)
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Soit Bune partie minor´ee non vide et m∈R.
m= inf(B)⇔mest un minorant de B
∀m0minorant de B, m0≤m
⇔mest un minorant de B
∀a > m, a n’est pas un minorant de B
⇔∀x∈B, x ≥m
∀ > 0,∃x∈Btel que x<m+
Th´eor`eme 3 (Caract´erisation de la borne inf´erieure)
Exemple. Soient Aet Bdeux parties major´ees non vides de R. On note A+B={a+b; (a, b)∈
A×B}. Montrer que A+Badmet une borne sup´erieure, et que sup(A+B) = sup(A) + sup(B).
Comme Aet Bsont non vides, C=A+Best non vide. Pour tout x∈C, il existe (a, b)∈A×B
tels que x=a+b. De plus, a≤sup(A) et b≤sup(B) donc x≤sup(A) + sup(B). Ainsi Cest
major´ee par sup(A) + sup(B), donc admet une borne sup´erieure.
Montrons que sup A+ sup Best le plus petit des majorants de C. Soit Mun majorant de C,
on a donc pour tout a∈Aet b∈B,a+b≤M. Ainsi a≤M−b, et ceci pour tout a∈A.
M−best donc un majorant de A. Par comparaison d’un majorant au plus petit d’entre eux,
on obtient sup(A)≤M−b. On obtient alors b≤M−sup(A) et ce pour tout b∈B. De mˆeme,
par comparaison d’un majorant au plus petit d’entre eux, on obtient sup(B)≤M−sup(A).
Finalement sup(A) + sup(B)≤M.
On a finalement montr´e que sup(A)+sup(B) est un majorant de C, et c’est le plus petit des majorants
de C. Donc sup(C) = sup(A) + sup(B).
2.2 Intervalles de R
Rappel. On appelle intervalle de Rtoute partie Inon vide de Rde la forme suivante :
si Iest major´ee et minor´ee, I= [a, b] = {x∈R, a ≤x≤b}, [a, b[, ]a, b] ou ]a, b[ ;
si Iest major´ee et non minor´ee, I=] − ∞, b] = {x∈R, x ≤b}, ] − ∞, b[ ;
si Iest minor´ee et non major´ee, I= [a, +∞[= {x∈R, x ≥a}, ]a, +∞[ :
ou bien si I=R.
Soit Iune partie non vide de R. Alors:
Iest un intervalle ⇔Iest une partie convexe:∀(x, y)∈I2,[x, y] = {tx+(1−t)y, t ∈[0,1]} ⊂ I
Propri´et´e 4 (caract´erisation des intervalles)
Preuve. L’implication ⇒est clairement v´erifi´ee. Montrons l’implication r´eciproque. Soit donc Iune
partie convexe et non vide de R. Il faut discuter des cas o`u Iest major´ee ou non, minor´ee ou non.
Traitons le cas suivant : supposons que Isoit major´ee et minor´ee, et que b= sup(I), a = inf(I)/∈I
(i.e. In’a pas de plus grand ni de plus petit ´el´ement). Montrons que I=]a, b[.
⊂soit x∈I. Alors puisque b= sup(I) et a= inf(I), on a a≤x≤b. De plus ces ´egalit´es sont
strictes, puisque a, b /∈I. Ainsi x∈]a, b[.
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⊃soit x∈]a, b[. Il existe  > 0 tel que a+≤x≤b−. Par propri´et´e de la borne sup´erieur et
inf´erieure, il existe y, z ∈Itels que y < a +et z > b −. Mais alors par hypoth`ese, [y, z]⊂I.
Puisque x∈[y, z], on a donc x∈I. On a donc montr´e que ]a, b[⊂I.
2.3 Partie enti`ere
Soit x∈R, il existe un unique entier p∈Ztel que :
p≤x<p+ 1.
Propri´et´e 5
D´efinition.
Cet unique entier relatif, not´e bxcou E(x), est appel´e partie enti`ere de x.
Preuve. Soit x∈R, et consid´erons l’ensemble B={k∈Z|k≤x}.Best une partie non vide de Z
et major´ee. On sait alors qu’elle poss`ede un plus grand ´el´ement p. Alors
p∈B⇒p≤x,
p+ 1 /∈B⇒p+ 1 > x.
Montrons `a pr´esent l’unicit´e : soient p1, p2tels que
p1≤x<p1+ 1 et p2≤x<p2+ 1.
Alors −p2−1<−x≤ −p2et par somme on obtient
p1−p2−1<0< p1−p2+ 1.
Puisque p1−p2∈Z, on en d´eduit que p1−p2= 0. 
Remarque. La partie enti`ere de xest le plus grand entier relatif inf´erieur ou ´egal `a x.
Exemple. b5c= 5, b−2c=−2, bπc= 3, b−πc=−4, bec= 2, b−ec=−3.
x
y
bxc
5