1 Quantificateurs et logique 2 Bornes supérieures

D´epartement de Math´ematiques. Licence de Math´ematiques.
Ann´ee L2- Math´ematiques Mass.
Feuille de TD n04 : Quantificateurs, bornes sup, limites de suites.
1 Quantificateurs et logique
Exercice 1. Montrer que √2/∈Q.Indication : raisonner par l’absurde avec une fraction irr´eductible, et
utiliser le Lemme de Gauss : si pgcd(a, b) = 1 alors a|bc ⇒a|c.
Exercice 2. Dire si les propositions suivantes sont vraies. Lorsqu’elles ne le sont pas, on d´emontrera leur
n´egation.
1. ∀x∈R, x ≥2.
2. ∃x∈Q, x ≥2.
3. ∀x∈R,∀y∈R, x ≥y.
4. ∀x∈R,∃y∈R, x ≥y.
5. ∃x∈R,∀y∈R, x ≥y.
6. ∃x∈R,∃y∈R, x ≥y.
7. ∀x∈]1,3[,∃y∈]2,4[, y > x.
8. ∃x∈]1,3[,∀y∈]2,4[, y > x.
9. ∀x∈R,∃y∈R, y ≥ex.
10. ∀x∈R, x ≤ −2⇒x4≥5.
11. ∀x∈Q, x2≤2⇒x2<2.
12. ∀x∈R, x2≤2⇒x2<2.
13. ∀a∈R,∀b∈R, a < b ⇒]a, b[∩Q̸=∅.
Exercice 3. 1. Montrer que
∀x∈[1,+∞[,∀n∈N, xn≥1 + n(x−1) .
On pourra faire une r´ecurrence ou encore faire une preuve directe, en utilisant la formule du binˆome.
2. En d´eduire
∀a∈]0,1[,∃n∈N, an<10−10 .
2 Bornes sup´erieures
Exercice 4. 1. Les ensembles suivants poss`edent-ils un maximum ?
A=]1,3[, B ={x∈Z|x2≤x√5}, C ={x∈Q|x2≤x√5}, D ={x∈R|x2≤x√5}.
2. Soit A⊂Run ensemble poss´edant un maximum M. Montrer que sup(A) = M.
Exercice 5. Les ensembles suivants poss`edent-ils un maximum ?
A:= 1−1
n|n∈N∗, B := (−1)n−1 n+ 1 |n∈N.
Montrer que les deux ensembles pr´ec´edents poss`edent une borne sup´erieure puis la calculer.
Exercice 6. Soient A, B ⊂Rdeux sous-ensembles non vides born´ees tels que A⊂B.
1. Comparer les bornes inf´erieures et sup´erieures de Aavec celles de B.
2. On d´efinit
A+B:= {a+b|a∈A, b ∈B}.
Montrer que sup(A+B) = sup(A) + sup(B).
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Exercice 7. Pour chacun des ensembles suivants, lorsque cela est possible, donner un majorant, puis
d´eterminer l’ensemble de tous les majorants et donner la borne sup´erieure.
–A=]1,2].
–B=]0,7[.
–C={x∈R|x3≤x}.
–D={x∈[0,2π[|4 sin2x≤3}.
–E={x∈]−3,+∞[|ln(x+ 3) ≥x−3}.
–F={x∈R|x≥sin x}.
–G={x < 0|4 + 1
x<0}.
–H={2−x2|x∈R}.
–I={4 + 1
x|x < 0}.
–J={5x−x2+ 54 |x∈R}.
–K={xe−x|x∈[0,∞[}.
–L={xln 1
x|x∈]0,1[}.
–M={1−e−x|x∈]0,+∞[}.
Exercice 8. Apr`es avoir justifier leurs existences, d´eterminer les bornes sup´erieures des ensembles suivants.
A:= {x2|x∈]0,√2[∩Z}, B := {x2|x∈]0,√2[∩Q}.
3 Limites de suites
Exercice 9. Consid´erons une suite (un) de nombres r´eels.
1. Supposons lim un= +∞. L’ensemble {un|n∈N}est-il major´e ?
2. On suppose que l’ensemble {un|n≥0}n’est pas major´e. A-t-on alors n´ecessairement lim un= +∞?
Exercice 10. On dit qu’une suite (un) de nombres r´eels converge vers le r´eel llorsque
∀ε > 0,∃N∈N,∀n≥N, |un−l| ≤ ε.
Montrer, en utilisant la d´efinition, que les suites (un) suivantes convergent vers lavec
1. un=1
n,l= 0.
2. un= (3 + 1
n)2,l= 9.
3. un=4 + (−1)n
3n,l= 2.
Exercice 11. Rappelons que l’ensemble Qest dense dans R:∀a, b ∈R, avec a < b, il existe c∈Q, avec
a < c < b.
1. Soit x∈R. Montrer qu’il existe une suite (un)∈Qqui converge vers x.
2. Soit f:= R→Rune fonction continue telle que f(x+y) = f(x) + f(y), pour tout x, y ∈R. Montrer
qu’il existe λ∈Rtel que f(x) = λ×x, pour tout x∈R.Indication : on d´emontrera que l’´egalit´e
pr´ec´edente est v´erifi´ee sur N,Zpuis Qavant de la prouver sur tout R.
Exercice 12. D´eterminer, apr`es avoir justifier l’existence, les bornes sup´erieures des ensembles suivants.
A:= nsin 1
n|n∈N∗B:= n+m+ 1 m+nn+m
|n, m ∈N∗.
Exercice 13. Soit A⊂Rune partie non-vide et major´ee. Montrer qu’il existe une suite (un) d’´el´ements de
Aqui converge vers sup(A). Enoncer une propri´et´e analogue pour la borne inf´erieure d’un ensemble.
Exercice 14. Soit (un) une suite de nombres r´eels convergeant vers l∈R. Les phrases suivantes sont-elles
vraies ? Justifier.
1. Si pour tout n∈N,un≥0, alors l≥0.
2. Si pour tout n∈N,un>0, alors l > 0.
3. Si pour tout n∈N,un∈Q, alors l∈Q.
4. Si pour tout n∈N,un∈Z, alors l∈Z.
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Probl`eme. On consid`ere la fonction fd´efinie par :
f:R→R:x7→ x3−3x2−1.
1. Montrer que la restriction de f`a ]2,+∞[ est strictement croissante.
2. On note E:= {x∈R|f(x)≤0}. Justifier l’existence de M:= sup(E) et montrer que 3 ≤M≤4.
3. L’ensemble Eadmet-il une borne inf´erieure ?
4. – Trouver une fonction polynˆome Q(dont les coefficients d´ependent de M) telle que
∀h∈R, f(M+h)−f(M) = h×Q(h).
– En utilisant l’in´egalit´e pr´ec´edente, trouver une constante λ > 0 telle que
∀h∈R,0≤h≤1⇒f(M+h)≤f(M) + λ×h .
– En d´eduire que f(M)≥0.
5. Question plus difficile. En adaptant le raisonnement pr´ec´edent, montrer que l’on peut trouver une
constante µ > 0 telle que
∀h∈R,0≤h≤1⇒f(M−h)≥f(M)µ×h .
En d´eduire que f(M) = 0.
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