Introduction `a l`analyse Exercices 4 1. Pour chacun des sous

Introduction à l’analyse
Exercices 4
1. Pour chacun des sous-ensembles de R suivants déterminer s’il est minoré et s’il est
majoré. Quand ils existent, déterminer la borne supérieure et la borne inférieure.
(a) {x ∈ R : |x2 − 2| < 1}
(−1)n
(b)
:n∈N
2n + 1
(−1)n
:n∈N
(c) 1 +
n
(d) {xy : x, y ∈ R et |x| + |y| ≤ 1}
2. Soit E un ensemble minoré. Définissons
E ′ := {−x : x ∈ E}.
Vérifier que E ′ est majoré et montrer au moyen de la définition que
− sup E ′ = inf E.
Remarque: l’axiome de complétude dit que tout ensemble majoré de R possède une
borne supérieure dans R. Ainsi, par (a), on peut affirmer que tout ensemble minoré de
R possède une borne inférieure dans R.
3. On suppose que A et B sont deux ensembles de nombres réels.
(a) Montrer que si A et B sont majorés, alors A ∪ B est majoré. Exprimer sup A ∪ B
en termes de sup A et sup B.
(b) Montrer que si A et B sont majorés, alors, s’il est non vide, l’ensemble A ∩ B est
majoré. Que peut-on dire de sup A ∩ B?
4. Si A et B sont des ensembles majorés, peut-on dire que l’ensemble AB := {ab : a ∈
A, b ∈ B} est majoré? Sinon, peut-on ajouter une hypothèse qui assurera que AB est
majoré?