Sujets de colles - Nombres complexes

Sujets de colles - Nombres complexes
MPSI 1 - Lycée Descartes
Exercice 1
Exercice 13
n n
z+1
z−1
Résoudre
+
= 2 cos α (α ∈]0, π[).
z−1
z+1
√ !20
1+i 3
.
1−i
Simplifier le nombre complexe z =
Exercice 14
Exercice 2
2
Module et argument de a
1 − cos θ + i sin θ
.
1 + cos θ − i sin θ
=
(1 + i tan θ)
1 + tan2 θ
et b
Module et argument de z =
=
eiα + eiβ
.
1 − eiα eiβ
Exercice 15
Forme algébrique et trigonométrique des racines complexes de
√
π
π
z 2 = 3 + i. En déduire cos
et sin .
12
12
Exercice 3
Résoudre 27(z − 1)6 + (z + 1)6 = 0.
Exercice 16
Résoudre (z − i)n = (z + i)n .
Exercice 4
√
√
Soit A(1), B(3 + 2i), C(i(2 − 3)), D(1 + 3 + i. A, B, C
et D sont ils cocycliques ?
Exercice 17
Résoudre z 4 − (5 − 14i)z 2 − 2(5i + 12) = 0.
Exercice 5
Trouver z tel que A(1), B(z), C( z1 ) soient alignés.
Exercice 18
Exprimer cos 5θ en fonction de cos θ et sin θ puis sous la forme
d’un polynôme en cos θ.
Exercice 6
n−1
Y
kπ
.
Résoudre (z + 1)n = e2inα . Calculer
sin α +
Exercice 19
n
k=0
Résoudre (2 + i)z 2 − (5 − i)z + 2 − 2i = 0.
Exercice 7
Trouver z tel que A(1), B(z), C(z 2 ) alignés puis tel que ABC
forme un triangle rectangle.
Exercice 20
Résoudre z 2 = −7 + 24i.
Exercice 8
Résoudre iz 2 + iz + 1 + i = 0.
Exercice 21
Linéariser sin6 θ.
Exercice 9
Exercice 22
Calculer Sn =
n−1
X
k=0
cos(kx
.
(cos x)k
Soit θ ∈]0, 2π[. Calculer
n
X
cos kθ et
k=0
n
X
sin kθ.
k=0
Exercice 23
√
Exercice 10
z−1−i
Résoudre z 4 = 2 − 2i 3.
Trouver z tel que
∈ iR. Interprétation géométrique.
z+1
Exercice 24
Exercice 11
Linéariser cos2 x − sin3 x, cos7 x.
n
n
Résoudre (z + 1) = (z − 1) .
Exercice 25
Résoudre 2z 2 − (20 + 9i)z + 50 = 0.
Exercice 12
Trouver z tel que M (z), A( z1 ) et B(z − 1) sont sur un même
cercle de centre O.
Exercice p
26
p
√
√
Soit u = 2 − 2 − i 2 + 2. Calculer u2 , u4 . Déterminer
1
le module et un argument de u.
Soient (a, b) ∈ C2 , c =
|a| = 1 ou |b| = 1.
Exercice 27
Résoudre z 5 = z̄.
Exercice 28
Soit α
∈
n
i π πh
1 + iz
− {0}. Résoudre
− ,
2 2
1 − iz
Exercice 40
1−i
.
Résoudre z 8 = √
3−i
=
Exercice 41
Résoudre z 4 + 6z 3 + 9z 2 + 100 = 0.
1 + i tan α
.
1 − i tan α
Exercice 29
Résoudre z 6 + z 3 + 1 = 0.
Exercice 30
Soit ABC un triangle équilatéral direct de centre O. Exprimer
2iπ
b et c en fonction de a et j = e 3 . Déterminer les complexes
3
a tels que a soit le milieu de [BC].
Exercice 31
Soit |z| = |z 0 | = 1. Montrer que
a−b
. Montrer que |c| = 1 ⇐⇒
1 − āb
z + z0
∈ R.
1 + zz 0
Exercice 32
Calculer la somme et le produit des racines n-ièmes de l’unité.
Exercice 33
Résoudre z 2 −2iz−1+2i = 0, (2+i)z 2 −(3+2i)z+1− 2i = 0.
Exercice 34
Trouver z tel que M (z), A(z 2 ), B(z 3 ) forme un triangle rectangle.
Exercice 35
Déterminer la nature et les
! éléments géométriques de l’appli√
3−i
cation f : z 7→
z − 1.
2
Exercice 36
2π
4π
Résoudre z 7 = 1. Soit u = a+ib avec a = cos
+cos
+
7
7
6π
2π
4π
6π
cos
et b = sin
+ sin
+ sin
. Calculer u + ū et
7
7
7
7
uū. En déduire les valeurs de a et b.
Exercice 37
Soit α ∈ [−π, π[. Résoudre 2(1 − cos 2α)z 2 − (2 sin 2α)z +
1 = 0. Déterminer le module et un argument de chaque solution.
Exercice 38
n
1 + iz)
Résoudre
= eiα .
1 − iz
Exercice 39
2