Terminale S - Fonction exponentielle

Fonction exponentielle
I) Définition de la fonction exponentielle
1) Théorème 1:
● Il existe une unique fonction  dérivable sur  telle que :
Pour tout nombre ,  , et  
● Cette fonction est appelée fonction exponentielle.
On la note .
Démonstration exigible:
● L’existence d’une telle fonction est admise.
● Démontrons l’unicité d’une telle fonction :
Soit  une fonction dérivable sur  telle que   et  
▪ Montrons d’abord que pour tout nombre réel ,  
Soit la fonction définie sur  par :    
(puisque    )
Donc  est une fonction constante
Or     = 1
Donc pour tout  de , 
Donc pour tout  de ,   
  car s’il existait un réel  tel que  = 0 alors on aurait :
   ce qui est impossible puisque    donc  
▪ Montrons maintenant l’unicité d’une telle fonction :
Soit  une fonction différente de  telle que  soit aussi une fonction dérivable sur  avec
  et  
Soit  = 
 et  sont définies et dérivables sur .  ne s’annule jamais donc  est définie et
dérivable sur 
 = 
 =   = 0 puisque   et   
Donc la fonction  est constante
 = 
=   =   = 1

Donc pour tout de , 
 = 1, donc pour tout de ,  
Ce qui prouve que  et  sont identiques. Ce qui prouve l’unicité de la fonction .
2) Conséquences immédiates
● La fonction exponentielle     est définie et dérivable
sur  et    et  
● Pour tout nombre ,  et  
Démonstration :
On sait que :  est définie et dérivable sur ,    et   par
définition.
● Démontrons que pour tout  de ,   et  = 
Soit la fonction définie sur  par : 
Donc  est une fonction constante
Or  =  = 1
Donc pour tout  de ,  
Donc pour tout  de ,   
Comme   (nous l’avons démontré précédemment)
alors en divisant par  on obtient :
pour tout  de ,  = 
II) Propriétés de la fonction exponentielle
1) Théorème 2:
Pour tous nombres réels  et       
Démonstration :
Soit  un nombre réel et  
La fonction  est définie et dérivable sur .
de plus  
  1

on a donc :   et   . Or d’après le théorème 1 il existe une unique fonction telle
que   et   qui est :  
donc pour tout de  : 
on obtient donc :      
En particulier pour  :      
2) Théorème 3:
Pour tous nombres  et  réels    = 
Démonstration :
Pour tous nombres  et  réels,
     et        en utilisant la propriété
précédente.
On a donc :    
Comme   alors on peut diviser par 
   = 
Théorème 4:
Pour tout nombre  réel et pour tout entier relatif  :  = 
Démonstration :
● Démontrons tout d’abord cette égalité par récurrence dans le cas où  est un entier
naturel :
Pour tout entier naturel , notons  la proposition:  = 
P1 est vraie. En effet lorsque  = 1 on obtient :  = 
Supposons que pour un entier  quelconque fixé on ait  vraie c’est-à-dire :
 = 
alors          
Ce qui implique que Pn+1 est vraie
On a donc démontré le caractère héréditaire de cette propriété.
On peut donc conclure que la proposition est vraie pour tout entier naturel  (non nul).
Donc pour tout entier naturel :  = 
● Démontrons maintenant cette égalité pour  < 0 :
Posons   ( > 0)

 = = 
 = 
 =  
● Nous avons donc montré que pour tout entier relatif :  = 
III) Nouvelle notation de la fonction exponentielle
On pose e =  (1)
Une calculatrice indique e  2,718281828
Conséquences :
D’après le théorème 4, pour tout entier relatif ,  = 
On étend cette égalité à l’ensemble des nombres réels
On a donc :
Pour tout nombre ,  = 
On le lit : « exponentielle de  » ou « e exposant  »
D’où les notations simplifiées :
●   et  
Pour tout nombre et :
●  = 
●  = 
●  = 
Pour tout nombre  et pour tout entier relatif ,
● 

IV fonction exponentielle
1) Variation de la fonction exponentielle
Théorème 5:
Pour tout nombre réel ,  > 0
Démonstration :
Pour tout nombre réel ,  = 
 = 
  0
Donc   0
Comme   0 alors pour tout réel ,  > 0
Théorème 6:
La fonction exponentielle est strictement croissante sur .
Démonstration:
Pour tout nombre réel , )’ = 
Or pour tout réel ,  > 0
Ainsi, la fonction exponentielle est strictement croissante sur .
Conséquences importantes:
Pour tout nombres  et  :
●  <  équivaut à 
●  =  équivaut à 
Ces deux équivalences résultent de la stricte croissance de la fonction exponentielle sur
.
Elles sont surtout utilisées lors de la résolution d’équations et d’inéquations comme dans
les exemples ci-dessous :
Exemple 1: Résolvez l’équation suivante :   
Cette équation équivaut à :  
qui est équivalente à l’équation :     
Donc   
Cette équation a pour solution 3.