TD n 4 : Nombres complexes et trigonométrie

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Lycée Joffre
PCSI 1. Feuille 4
Exercice 8 Soient p, q deux réels.
Année 2016-2017
1. Factoriser eip + eiq .
2. Retrouver les formules pour factoriser cos p + cos q et sin p + sin q.
TD n◦ 4 : Nombres complexes et trigonométrie
Exercice
√ 9 ( ⋆ ) On souhaite déterminer le module et l’argument de z =
1+√2+i
.
1− 2−i
1. Manipulation des nombres complexes
Exercice 1 Soit z ∈ C, montrer que z ∈ iR ⇔ |z − 1| = |z + 1| en utilisant
la conjugaison.
1. Écrire 1 + i et 1 − i sous forme exponentielle.
2. Utiliser la factorisation par l’arc moitié pour simplifier l’écriture de z.
3. En déduire son module et un argument.
Exercice 2 Soit z ∈ C, montrer que Re(z) = Im(z) ⇔ |z − 1| = |z − i| en utilisant
la conjugaison.
i(z + 1)
Exercice 3 Pour tout z =
6 1, on pose h(z) =
.
1−z
2. Montrer que |z| < 1 ⇔ Im(h(z)) > 0.
Exercice 4 ( ⋆ ) Soit n ∈ N⋆ . Résoudre
z + 2i
z−i
n
−→
C
z − 2 . Exprimer h(z) à l’aide d’une fonction
 z 7−→
i(2 + z)
trigonométrique pour z de module 2.
Exercice 10 Soit f :
1. Montrer que (z est de module 1 et z 6= 1) ⇔ (h(z) est réel).

 C
2. Résolution d’équations
Exercice 11 Calculer les racines carrées des nombres suivants:
= 1.
Exercice 5 Soient z, z ′ deux complexes. Montrer que
|z + z ′ |2 + |z − z ′ |2 = 2 |z|2 + |z ′ |2 .
• z2 = i
√
1
(1−i 3)
1
• z5 = 3 + 4i
• z3 = 1 + i
• z6 = −3 + 4i
• z1 = −2
Exercice 6 ( ⋆ ) Soient a, b deux éléments distincts de U. Montrer que pour tout Exercice 12
complexe z,
Résoudre z 5 = 1 dans C .
z + abz − (a + b)
∈ iR.
u=
Exercice 13
b−a
Résoudre z 5 = 1 − i dans C.
(
U −→
C
z−a .
Exercice 7 Soit a ∈ C, |a| < 1 et f :
z 7−→
Exercice 14
1 − az
Résoudre z 5 = −2 + 2i dans C.
1. Montrer que f est bien définie.
• z4 =
• z7 = 8 − 6i
• z8 = 7 + 24i
• z9 = 24 − 10i
Exercice 15
Résoudre z 5 = z dans C.
Exercice 16
Résoudre z 2 + z + 1 = 0 dans C.
Exercice 17
Résoudre 4z 2 − 2z + 1 = 0 dans C.
2. Montrer que f (U) ⊂ U.
Exercice 18 Résoudre z 4 + 8z 2 + 160 = 0 dans C.
3. Montrer que f |U est bijective et donner l’expression de sa réciproque.
Exercice 19 Résoudre z 2 − (1 + 2i)z + i − 1 = 0 dans C.
Exercice 20 Résoudre z 2 − (3 + 4i)z − 1 + 5i = 0 dans C.
Exercice 21 Résoudre z 2 − (5 − 14i)z − 2(5i + 12) = 0 dans C.
3. Géométrie
Exercice 22 Soit z ∈ C, montrer que z ∈ iR ⇔ |z − 1| = |z + 1| en
raisonnant de manière géométrique.
4. Trigonométrie
Exercice 32
Résoudre sin (5x) = sin
2π
3
+x .
Exercice 33
π
.
Résoudre cos(2x) = cos x −
3
Exercice 34
Résoudre cos2 (x) − sin2 (x) = 0.
Exercice 39
Résoudre 0 6 sin(x).
Exercice 40
√
2
.
Résoudre sin(x) 6
2
Exercice 41
√
1
3
Résoudre − 6 sin(x) 6
.
2
2
Exercice 35
Exercice 23 Soit z ∈ C, montrer que Re(z) = Im(z) ⇔ |z − 1| = |z − i| en Résoudre 4 sin(x) cos(x) = 1.
Exercice 42
√
2
raisonnant de manière géométrique.
Résoudre | cos(3x − 1)| >
.
Exercice 36
2
Exercice 24 Déterminer les points du plan d’affixe z tels que les points d’affixes Résoudre cos2 (x) + 3 cos(2x) = 4.
Exercice √
43
z, 1 et z 2 + 1 soient alignés.
3
Exercice 37
6 cos(x).
Résoudre
Résoudre cos(2x) − 2 sin2 (x) = 0.
2
z−1
Exercice 25 Déterminer l’ensemble des z tel que
∈ R.
z+1
Exercice 44
Exercice 38
x
π
1
Résoudre sin 2x −
Résoudre − 6 cos(x) 6 0.
= cos
.
3
3
2
z−i
.
Exercice 26 Déterminer l’ensemble des z tel que
4π
π
z−1
= tan x +
.
Exercice 45 Résoudre tan 3x −
5
5
Exercice 27 Déterminer l’ensemble des z tels que |(1 + i)z − 2i| = 2.
Exercice 46 Résoudre cos2 (x) − 2 sin x cos x − sin2 (x) = 0.
Exercice 28 Déterminer l’ensemble des z tels que |2iz − 1 + i| = 1.
Exercice 29 Déterminer les nombres complexes z ∈ C∗ tels que les points d’affixes
z, 1z et (1 − z) soient sur un même cercle de centre O.
Exercice 30 On considère l’équation
1. Donner les solutions de l’équation.
2z + 1
z+1
4
= 1.
2. Placer les images des solutions sur un dessin.
3. Montrer que les images des solutions appartiennent à un même cercle dont on
précisera le centre et le rayon.
Exercice 31 Soient a, b réels distincts, n ∈ N⋆ , résoudre (z−a)n = (z−b)n . Montrer
que les solutions sont les affixes de points alignés.
Indications
Memo
• Comment déterminer la partie réelle/imaginaire ?
– Utiliser la forme exponentielle
– Se ramener à une forme algébrique (a + ib)
– Utiliser la factorisation par l’arc moitié
• Comment déterminer le module et l’argument ? Se ramener à la forme exponentielle ρeiθ en faisant bien attention au signe de ρ.
• Comment transformer une expression trigonométrique? Cela dépend évidemment de l’expression (de la forme eip + eiq , polynôme en cos ou sin, cos ou sin
d’un angle multiple etc).
– Utiliser la factorisation par l’arc moitié (permet de factoriser toute expression de la forme eip ± eiq , y compris le cas particulier eip = 1).
– Utiliser la formule d’Euler pour transformer une puissance en un angle
multiple
– Utiliser la formule de Moivre pour exprimer un cosinus ou sinus d’un angle
multiple comme un polynôme en cos ou sin.
– Utiliser les formules trigonométriques: à partir de cos(a + b) et sin(a + b),
on retrouve facilement la formule pour transformer une somme du type
cos p + cos q en un produit.
• Comment déterminer une racine carrée?
– Observer s’il n’y a pas de racine connue (évidente)
– Utiliser la forme exponentielle
– En dernier recours, poser z = x + iy et résoudre un système
• Comment résoudre une équation complexe?
1 Élever au carré et utiliser |a|2 = aa.
2 Élever au carré et utiliser |a|2 = aa.
3
1. Utiliser que h(z) ∈ R ⇔ h(z) = h(z).
2. Exprimer h(z) sous forme algébrique.
4 Faire un changement de variable.
5 Utiliser que |a|2 = aa.
6 Utiliser le fait que a =
7
1
1
et b = et montrer que u = −u.
a
b
1. Montrer que le dénominateur ne s’annule pas.
2. Montrer que pour tout z ∈ U, f (z) ∈ U.
3. Montrer que pour tout a ∈ U, l’équation f (z) = a admet une unique solution.
8
1. Utiliser la factorisation par l’arc moitié.
2. Prendre la partie réelle/imaginaire de l’égalité trouvée à la question précédente.
9
1. Pas de piège !
2. Factoriser par l’arc moitié après avoir simplifier par
√
2.
3. Écrire z sous la forme ρeiθ avec ρ > 0.
10 Écrire z = 2eiθ .
13 Écrire le second membre sous forme exponentielle.
– Appliquer la formule du cours dans le cas d’une équation du type polynôme
du second degré, Z n = A ou ez = a.
14 Écrire le second membre sous forme exponentielle.
– Se ramener à une équation qu’on sait résoudre (ie, du type ci-dessus) par
un changement de variable.
15 Pour z 6= 0, remarquer que |z| = 1 et multiplier l’équation par z.
• Comment déterminer un lieu géométrique? Utiliser les affixes et traduire (alignement, orthogonalité etc) en utilisant les caractérisations réels/imaginaires purs.
18 Poser Z = z 2 .
24 Utiliser la condition nécessaire et suffisante d’alignement.
27 Se ramener à une équation de la forme |z − α| = R.
28 Se ramener à une équation de la forme |z − α| = R.
31 On commence par se ramener à résoudre une équation de la forme Z n = 1, on
exprime alors les solutions en fonction des racines n-ièmes de l’unité.
Pour l’alignement, montrer que toutes les racines de l’équation ont la même partie
réelle. On pourra, pour cela, utiliser la factorisation par l’arc moitié au dénominateur.
35 Utilisez une formule trigonométrique pour réécrire l’équation sous la forme
sin(y) =.
36 Se ramener à une équation en cos(2x).
37 Se ramener à une équation en sin2 .