EQUATIONS Définitions et vocabulaire Une équation est une égalité

EQUATIONS
Définitions et vocabulaire
Une équation est une égalité dans laquelle un ou plusieurs nombres sont inconnus. Ils sont le plus souvent
désignés par des lettres.
y4=12−3y
est une équation.
y est l'inconnue de l'équation.
y4
est le premier membre de l'équation,
12−3y
est le second membre.
Résoudre une équation qui contient une inconnue x, c'est trouver toutes les valeurs possibles pour le nombre
inconnu x qui vérifient l'égalité.
Chacune de ces valeurs est une solution de l'équation.
Attention : il peut arriver qu'une équation n'ait aucune solution.
Exemple : soit l'équation
x22=3x
. 2 est-il une solution de l'équation ?
On calcule le premier terme de l'équation pour
x=2
:
x22=222=42=6
On calcule le second terme de l'équation pour
x=2
:
3x=3×2=6
Pour
x=2
, les deux termes de l'équation sont égaux à 6. Donc 6 est une solution de l'équation.
Ce n'est pas la seule, tu peux verifier que 1 est une autre solution de l'équation.
On dit qu'une égalité ne change pas, lorsqu'on la transforme par une opération, quand :
* si elle était vraie, elle reste vraie;
* si elle était fausse, elle reste fausse.
On dit qu'on obtient une égalité équivalente.
Propriétés
On ne change pas une égalité lorsqu'on ajoute (ou soustrait) un même nombre à chacun de ces membres.
Soient a, b et c trois nombres relatifs.
Si
a=b
alors
ac=bc
. Si
a=b
alors
a−c=b−c
.
Si
a≠b
alors
ac≠bc
. Si
a≠b
alors
a−c≠b−c
.
Exemple : soit l'équation
y4=12−3y
.
Elle n'est pas changée lorsque je soustrais 4 aux deux membres :
y4−4=y
et
12−3y−4=8−3y
.
Donc l'équation
y4=12−3y
est équivalente à l'équation
y=8−3y
Elle n'est pas changée lorsque j'ajoute 3y aux deux membres :
y43y=4y4
et
12−3y3y=12
.
Donc l'équation
y4=12−3y
est équivalente à l'équation
4y4=12
On ne change pas une égalité lorsqu'on multiplie (ou divise) chacun de ces membres par un même nombre
non nul.
Soient a, b et c trois nombres relatifs avec c différent de zéro.
Si
a=b
alors
a×c=b×c
. Si
a=b
alors
a÷c=b÷c
.
Si
a≠b
alors
a×c≠b×c
. Si
a≠b
alors
a÷c≠b÷c
Exemple : soit l'équation
5
2=4 3x
. Elle n'est pas changée si je multiplie les deux membres par 6 :
5
2×6=5×6 2=5×3×2 2=15
et
4
3x×6=4 3×6x×6=86x
Donc l'équation
5
2=4 3x
est équivalente à l'équation
15=86x

Résoudre une équation
Il existe diverses méthodes pour trouver des solutions d'une équations, par exemple par essais de valeurs
successives. La difficulté de la résolution, c'est d'être certain d'avoir trouvé toutes les solutions ou de pouvoir
dire qu'il n'y en a aucune. C'est l'avantage des méthodes algébriques que de pouvoir répondre à ces questions.
Nous allons décrire sur un exemple la méthode de résolution algébrique des équations du type
a yb=c yd
où a, b, c et d sont des nombres connus et où y est l'inconnue.
Résoudre une équation à une inconnue du type
a yb=c yd
Avec a = 1, b = 4, c = −3 et d = 12, l'équation est
y4=12−3y
.
Etape 1 : en ajoutant ou soustrayant des nombres
connus, je trouve une équation équivalente dont un
seul des membres contient des termes connus.
y4=12−3y
y4−4=12−4−3y
 je soustrais 4 aux deux
membres.
y=8−3y
 j'ai réduit les deux membres.
Etape 2 : en ajoutant ou soustrayant des termes
inconnus, je trouve une équation équivalente dont
l'autre membre contient des termes inconnus.
y3y=8−3y3y
 j'ajoute 3y aux deux
membres.
4y=8
 j'ai réduit les deux membres.
Etape 3 : en multipliant ou divisant par des nombres
connus non nuls, on obtient la seule solution possible
de l'équation.
4y÷4=8÷4
 je divise par 4 les deux membres.
y=2
 j'ai réduit les deux membres.
La seule valeur possible comme solution est 2.
Etape 4 : on vérifie que la solution trouvée convient
bien. Cela nous donne une chance de détecter les
erreurs de calcul.
Pour
y=2
,
y4=24=6
Pour
y=2
,
12−3y=12−3×2=12−6=6
Pour
y=2
, les deux membres de l'équation sont
bien égaux.
Etape 5 : on conclut. L'équation admet 2 pour seule solution.
Résoudre un problème
Enoncé : Ahmed et Louis ont une collection de jeux vidéos. Ils en parlent avec Yvon.
« Ahmed en a 20 de moins que moi », dit Louis.
« Pff... N'importe quoi, j'en ai trois fois plus que toi », répond Ahmed.
« L'un de vous au moins se trompe », rétorque Yvon.
Yvon a-t-il raison ?
Méthode
Etape 1 : Choix de l'inconnue.
On choisit une (des) inconnue(s) pour représenter l'un
(plusieurs) des nombres inconnus.
Appelons x le nombre de jeux de Louis.
D'après Louis, le nombre de jeu de Ahmed est
x−20
.
D'après Ahmed, il en possède 3x.
Etape 2 : Mise en équation.
On traduit en termes mathématiques les informations
de l'énoncé.
Louis et Ahmed peuvent-ils tous les deux avoir
raison ?
S'ils ont tous les deux raisons, le nombre de jeux de
Louis est solution de l'équation :
x−20=3x
Etape 3 : Résolution de l'équation.
x−20=3x
x−20−x=3x−x
−20=2x
−20÷2=2x÷2
−10=x
Pour
x=−10
,
x−20=−10−20=−30
Pour
x=−10
,
3x=3×−10=−30
Donc -10 est la seule solution possible.
Etape 4 : Interprétation et conclusion. Le nombre de jeux de Louis est un nombre entier
positif. Le résultat n'est donc pas possible.
Au moins l'une des deux affirmations de Louis et
Ahmed est fausse. Yvon a raison.