Analyse 1 – Développements limités

Spéciales PSI – LYCÉE BUFFON
F ICHE – M ÉTHODE
P RINCIPALES MÉTHODES D ’ OBTENTION DE DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
Analyse 1 – Développements limités
Soit n un entier naturel non nul.
On suppose que f et g sont des fonctions définies sur un voisinage de 0 et admettant des
développements limités en 0 à l’ordre n.
¡ ¢
On gardera en tête que l’ordre d’un développement limité est donné par "o x n " et pas par
On va manipuler ici des notions qui permettront d’étudier le comportement local de la fonction étudiée, par exemple :
⊲ des inégalités locales au voisinage d’un point a ;
⊲ une étude de signe de f (x) − f (a) au voisinage de a ;
⊲ une étude de la position relative de la courbe par rapport à sa tangente (ou son asymptote)
en a ;
⊲ une limite d’expressions en a.
le plus grand exposant de la partie régulière. sin x = x + o (x) est un développement limité en
¡ ¢
0 à l’ordre 1 et sin x = x + o x 2 un développement à l’ordre 2.
On aura souvent intérêt à utiliser la forme « normalisée » des dl :
³
¡
¢´
f (x) = x p a p + · · · + o x n−p
avec a p 6= 0
Attention : ces outils ne permettent en aucun cas l’étude globale d’une fonction, comme par
exemple l’obtention d’inégalités sur un intervalle.
Obtention du développement limité d’une combinaison linéaire.
On obtient le développement limité en 0 à l’ordre n de α f + βg , (α, β) ∈ R2 en effectuant la
combinaison linéaire des développements limités à l’ordre n de f et de g en 0.
Il est bon de rappeler la formule de TAYLOR-Y OUNG qui permet de trouver les développements limités de base.
T HÉORÈME 1
Obtention du développement limité d’un produit.
³
¡
¢´
Il est préférable de travailler avec la forme normalisée : f (x) = x p a p + · · · + o x n−p ce
Soit a ∈ R et soit n ∈ N. Soit f une fonction définie sur un voisinage de a.
Si f (n) (a) existe (autrement dit si f est une fonction n-fois dérivable en a), alors
f (x) =
n
X
f (k) (a)
k=0
qui permet de déterminer à l’avance les ordres des dl à écrire (ni trop, ni trop peu).
¡
¢
(x − a)k
+ o (x − a)n
k!
Exemple
Ã
³ ´
³ ´
1 x2
x2
+ o x 2 et cos x − 1 = x 2 − +
+ o x2
6
2 24
Ã
!Ã
!
2
³ ´
³ ´
³ ´
x
1 x2
x3 x5
de sorte que sin x.(cos x − 1) = x 3 1 −
+ o x2
+ o x2 = −
+
+ o x5 .
− +
6
2 24
2
8
sin x = x 1 −
D ÉVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS AU VOISINAGE DE 0
cf formulaire
Obtention du développement limité d’une primitive
M ANIPUL ATION DES O x
P ROPOSITION 1
On cherche
limité en 0 à! l’ordre 5 de sin x.(cos x − 1).
Ã
! le développement
¡
n
Pour obtenir le développement limité à l’ordre n d’une primitive F de f en 0, il suffit de
primitiver le développement limité à l’ordre n − 1 de f et d’ajouter la valeur F(0).
¢
Au voisinage
¡ ¢ de 0 :
• x p = o x n ⇐⇒ p > n
¡ ¢
¡ ¢
¡ ¢
• si n É p, o x n + o x p = o x n
¡ ¢
¡
¢
• x p .o x n = o x n+p
¡ ¢ ¡ ¢
¡
¢
• o x n .o x p = o x n+p
³ ¡ ¢´p
¡
¢
= o x np
• o xn
Zx
¡ ¢
¡
¢
•
o t n dt = o x n+1
Obtention du développement limité d’une composée
Pour obtenir le développement limité à l’ordre n en 0 de g ◦ f , sachant que f (0) = 0, il suffit
de remplacer le "t " dans le développement limité de¡ g (t¢ ) en 0 à l’ordre n par le développement limité de f en 0 à l’ordre n : f (x) = Qn (x) + o x n , la partie régulière du développe-
(on garde l’ordre le plus grossier)
ment de g ◦ f est alors le polynôme Pn (Qn (X)) tronqué à l’ordre n. On aura intérêt (comme
avec les produits) à travailler avec les formes normalisées, ce qui permet de prévoir l’ordre
des dl à utiliser.
0
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Analyse 1– Développements limités
Exemple
Spéciales PSI – LYCÉE BUFFON
On cherche leà développement! limité en 0 à l’ordre 4 de ln(cos x).
x2
1
1
+ o x 2 . lim u = 0, on peut donc utiliser le développement licos x = 1 + u où u = x 2 − +
0
2 24
³ ´
mité de ln(1+u) au voisinage de 0. Comme u = O x 2 , prendre ce développement limité à l’ordre
³
x2
¢ = 1+
x2
−
x4
! Ã
+
!2
x2
+ o x4 = 1 +
³
´
x2
+
³ ´
5 4
x + o x4 .
24
2
24
2
2
1 − 2 + 24 + o x 4
Ã
!Ã
!
³ ´
³ ´
³ ´
x4
5
2 5
x2
x2
x3
+
+ o x4
+ x4 + o x4 = x +
+
x + o x5 .
tan x = x 1 −
1+
6
120
2
24
3
15
´
2 sera suffisant ici.
³ ´
u2
+ o u2
ln(1 + u) = u −
2
³ ´
x2
x4
(1) u
=− +
+ o x4
2
24
µ
¶
³ ´ .
4
1
x
2
+ o x4
−
u
=
2
4
x4
Ã
¡
QUELQUES CONSEILS SUPPLÉMENTAIRES
x2
x4
Il est ici quasi-impératif
d’utiliser
les formes normalisées.
¡
¢
f (x) x p a p + . . .
1 p−q a p + . . .
¢=
On écrit
x
= q¡
ce qui permet de déterminer les ordres
g (x)
bq
1+...
x bq + . . .
1
par composides dl du numérateur et du dénominateur. Il reste à calculer le dl de
1+...
tion et à effectuer le produit.
⊲ Bien faire attention au point en lequel on cherche le développement limité ou le développement asymptotique, en particulier lorsqu’on compose. On n’hésitera pas à faire un
changement de variable pour se ramener à l’utilisation de développements limités en 0.
⊲ Lorsqu’on sait qu’une fonction admet un développement limité à l’ordre n en 0, l’utilisation de la parité ou de l’imparité de cette fonction permet de déterminer un coefficient
sur deux. . . ou de gagner un ordre dans les développements limités de ln(cos x) ou tan x
trouvés ci-dessus.
⊲ On évitera les calculs inutiles en écrivant tous les termes obtenus par produit ou par composée de développements limités ; on cherchera à écrire les termes dans l’ordre croissant
des exposants de x.
Exemple
Il ne reste plus qu’à pratiquer. . .
On trouve alors :
ln(cos x) = −
2
−
12
+ o x4
³
´
Obtention du développement limité d’un quotient
tan x =
On cherche
le développement
limité en 0 à l’ordre 5 de tan x.
´
³
sin x
=
cos x
2
x 4 + o ¡x 4 ¢
x 1 − x6 + 120
¡ ¢
2
4
1 − x2 + x24 + o x 4
.
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