Analyse 1 – Développements limités

Spéciales PSI – LYCÉE BUFFON
FICHE – MÉTHODE Analyse 1 – Développements limités
On va manipuler ici des notions qui permettront d’étudier le comportement local de la fonc-
tion étudiée, par exemple :
⊲des inégalités locales au voisinage d’un point a;
⊲une étude de signe de f(x)−f(a) au voisinage de a;
⊲une étude de la position relative de la courbe par rapport à sa tangente (ou son asymptote)
en a;
⊲une limite d’expressions en a.
Attention : ces outils ne permettent en aucun cas l’étude globale d’une fonction, comme par
exemple l’obtention d’inégalités sur un intervalle.
Il est bon de rappeler la formule de TAYLOR-YOUNG qui permet de trouver les développe-
ments limités de base.
Soit a∈Ret soit n∈N. Soit fune fonction définie sur un voisinage de a.
Si f(n)(a) existe (autrement dit si fest une fonction n-fois dérivable en a), alors
f(x)=
n
X
k=0
f(k)(a)(x−a)k
k!+o¡(x−a)n¢
THÉORÈME 1
DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS USUELS AU VOISINAGE DE 0
cf formulaire
MANIPULATION DES O ¡xn¢
Au voisinage de 0 :
•xp=o¡xn¢⇐⇒ p>n
• si nÉp, o¡xn¢+o¡xp¢=o¡xn¢(on garde l’ordre le plus grossier)
•xp.o¡xn¢=o¡xn+p¢
• o¡xn¢.o¡xp¢=o¡xn+p¢
•³o¡xn¢´p=o¡xnp ¢
•Zx
0o¡tn¢dt=o¡xn+1¢
PROPOSITION 1
PRINCIPALES MÉTHODES D’OBTENTION DE DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
Soit nun entier naturel non nul.
On suppose que fet gsont des fonctions définies sur un voisinage de 0 et admettant des
développements limités en 0 à l’ordre n.
On gardera en tête que l’ordre d’un développement limité est donné par "o¡xn¢" et pas par
le plus grand exposant de la partie régulière. sinx=x+o(x)est un développement limité en
0 à l’ordre 1 et sinx=x+o¡x2¢un développement à l’ordre 2.
On aura souvent intérêt à utiliser la forme « normalisée » des dl :
f(x)=xp³ap+ · · · + o¡xn−p¢´avec ap6= 0
Obtention du développement limité d’une combinaison linéaire.
On obtient le développement limité en 0 à l’ordre nde αf+βg, (α,β)∈R2en effectuant la
combinaison linéaire des développements limités à l’ordre nde fet de gen 0.
Obtention du développement limité d’un produit.
Il est préférable de travailler avec la forme normalisée : f(x)=xp³ap+ · · · + o¡xn−p¢´ce
qui permet de déterminer à l’avance les ordres des dl à écrire (ni trop, ni trop peu).
Exemple On cherche le développement limité en 0 à l’ordre 5 de sinx.(cos x−1).
sinx=xÃ1−x2
6+o³x2´!et cosx−1=x2Ã−1 2+x2 24 +o³x2´!
de sorte que sinx.(cosx−1) =x3Ã1−x2
6+o³x2´!Ã−1 2+x2 24 +o³x2´!= − x3 2+x5 8+o³x5´.
Obtention du développement limité d’une primitive
Pour obtenir le développement limité à l’ordre nd’une primitive F de fen 0, il suffit de
primitiver le développement limité à l’ordre n−1 de fet d’ajouter la valeur F(0).
Obtention du développement limité d’une composée
Pour obtenir le développement limité à l’ordre nen 0 de g◦f, sachant que f(0) =0, il suffit
de remplacer le "t" dans le développement limité de g(t) en 0 à l’ordre npar le développe-
ment limité de fen 0 à l’ordre n:f(x)=Qn(x)+o¡xn¢, la partie régulière du développe-
ment de g◦fest alors le polynôme Pn(Qn(X)) tronqué à l’ordre n. On aura intérêt (comme
avec les produits) à travailler avec les formes normalisées, ce qui permet de prévoir l’ordre
des dl à utiliser.
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Exemple On cherche le développement limité en 0 à l’ordre 4 de ln(cosx).
cosx=1+uoù u=x2Ã−1
2+x2 24 +o³x2´!. lim
0u=0, on peut donc utiliser le développement li-
mité de ln(1+u) au voisinage de 0. Comme u=O³x2´, prendre ce développement limité à l’ordre
2 sera suffisant ici.
ln(1+u)=u−u2
2+o³u2´
(1) u= − x2
2+x4 24 +o³x4´
µ−1
2¶u2=x4 4+o³x4´
. On trouve alors : ln(cos x)= − x2
2−x4 12 +o³x4´
Obtention du développement limité d’un quotient
Il est ici quasi-impératif d’utiliser les formes normalisées.
On écrit f(x)
g(x)=xp¡ap+...¢
xq¡bq+...¢=1
bq
xp−qap+...
1+... ce qui permet de déterminer les ordres
des dl du numérateur et du dénominateur. Il reste à calculer le dl de 1
1+... par composi-
tion et à effectuer le produit.
Exemple On cherche le développement limité en 0 à l’ordre 5 de tanx.
tanx=sin x
cosx=
x³1−x2
6+x4 120 +o¡x4¢´
1−x2
2+x4 24 +o¡x4¢.
1
1−x2
2+x4 24 +o¡x4¢
=1+Ãx2
2−x4 24 !+Ãx2 2!2
+o³x4´=1+x2
2+5 24 x4+o³x4´.
tanx=xÃ1−x2
6+x4 120 +o³x4´!Ã1+x2 2+5 24 x4+o³x4´!=x+x3 3+2 15 x5+o³x5´.
QUELQUES CONSEILS SUPPLÉMENTAIRES
⊲Bien faire attention au point en lequel on cherche le développement limité ou le déve-
loppement asymptotique, en particulier lorsqu’on compose. On n’hésitera pas à faire un
changement de variable pour se ramener à l’utilisation de développements limités en 0.
⊲Lorsqu’on sait qu’une fonction admet un développement limité à l’ordre nen 0, l’utili-
sation de la parité ou de l’imparité de cette fonction permet de déterminer un coefficient
sur deux... ou de gagner un ordre dans les développements limités de ln(cos x) ou tanx
trouvés ci-dessus.
⊲On évitera les calculs inutiles en écrivant tous les termes obtenus par produit ou par com-
posée de développements limités ; on cherchera à écrire les termes dans l’ordre croissant
des exposants de x.
Il ne reste plus qu’à pratiquer...
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