Formules de Taylor, Développements limités - IMJ-PRG

Chapitre 7
Formules de Taylor, Développements
limités
7.1
Exercices sur le chapitre 7
Exercice 7.1. Sommes de développements limités.
Déterminer les développements limités suivants :
1)
√
2)
1
− e2x à l’ordre 3 en 0.
1−x
1−x+
√
1 + x à l’ordre 4 en 0.
Exercice 7.2. Produits de développements limités.
Déterminer les développements limités suivants :
1) sin x cos x à l’ordre 6 en 0.
2) (ln (1 + x))2 à l’ordre 4 en 0.
Exercice 7.3. Compositions de développements limités.
Déterminer les développements limités suivants :
!
"
sin x
1) ln
à l’ordre 4 en 0.
x
2) (cos x)sin x à l’ordre 5 en 0.
Exercice 7.4. Inverses de développements limités.
Déterminer les développements limités suivants :
1) tan x à l’ordre 5 en 0.
2)
ln (1 + x)
à l’ordre 3 en 0.
sin x
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Chapitre 7. Formules de Taylor, Développements limités
Exercice 7.5. Développements limités en d’autres points que 0.
Déterminer les développements limités suivants :
1)
√
x à l’ordre 3 en 1.
2) ln (1 + x2 ) − 2 ln x à l’ordre 6 en +∞.
Exercice 7.6. Calcul de limites de fonctions.
A l’aide de développements limités, déterminer les limites suivantes :
exp(sin x) − exp(tan x)
.
sin x − tan x
2x
".
2) lim !
x→0
1+x
ln
1−x
1) lim
x→0
Exercice 7.7.
Soit f une fonction définie sur R, deux fois dérivables et soit x ∈ R. Déterminer à l’aide
d’un développement limité la limite suivante :
lim
h→0
f (x − h) − 2f (x) + f (x + h)
h2
Exercice 7.8.
√
1) Donner le développement limité à l’ordre 3 en x = 0 de la fonction 1 + x.
2) Même question pour la fonction ln(1 − x).
3) En déduire le développement limité à l’ordre 3 en x = 0 de la fonction
√
f (x) = x 1 + x + ln(1 − x)
4) Déterminer la limite de
f (x)
lorsque x → 0.
x3
Exercice 7.9.
1) Former le développement limité à l’ordre 5 au voisinage de 0 des fonctions cos x et
ln (1 + x4 ).
2) Soit f la fonction dédinie pour x ̸= 0 par
x2
2
f (x) =
ln (1 + x4 )
cos −1 +
Montrer que f admet une limite l quand x → 0 et calculer l.
3) On considère la fonction F définie par
F (x) = f (x) si x ̸= 0
Montrer que F est dérivable en 0 et calculer F ′ (0).
et F (0) = l
§ 7.1.
Exercices sur le chapitre 7
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Exercice 7.10.
Soit f la fonction définie sur R par :
f (x) = ex (sin x + cos x) − 1
1) Calculer f ′ (x), f ′′ (x) et f ′′′ (x).
π π
2) En utilisant la formule de Taylor-Lagrange, montrer que tout x ∈ [− , ], on a
6 6
|f (x) − (2x + x2 )| ≤ |x3 |
3) Déterminer le plus grand intervalle I sur lequel f est croissante, déterminer J = f (I)
et montrer que f est une bijection de I sur J.
#
$′
4) Soit f −1 : J → I l’application réciproque de f . Calculer f −1 (0).