1»( 3.5 pts) - studynet-lb

Lycée officiel d’Ansar
Département de mathématiques
Nom:
SE.
Classe:
Mathématiques
Sujet:
Année scolaire:
Durée:
Date:
Examen de math
2012-2013
120 mins
jan ,2013
№1»( 3.5 pts) Choisir la bonne réponse et justifier
Questions
a
Le coût total (en $) est donne par
C(x) = x2 + 10x + 400.
1 Le coût moyen de production d’un
objet pour une production de 200
objets est =
soit g la fonction définie sur
] 0 ;+ ∞[ par g(x) = x + a + b lnx
et soit ( C ) sa courbe
2 représentative. On sait que (C )
passe par A( 1,2) et admet une
tangente horizontal au d’abscisse 2
alors
Si
3 A  4 ln
alors A 
4
 e  e
Réponse
b
2 ln 3
212 $
24400$
424 $
a = -2 et b = 2
a = 2et b = -1
a = 1 et b = -2
2
3
1
9
1
 10 ,
est une F  x   5  ln  2 x  10
primitive de
c
f  x 
1
x5
f  x 
1
2 x  10
f  x  5 
1
x5
№2»( 4 pts)
Le tableau ci-dessous représente le nombre d’années d’expérience et les salaires en
millions de L.L de cinq employés dans une entreprise.
Nombre d’années xi
10
12
13
14
16
Salaire yi
(en millions LL)
1.5
1.5
1.6
1.7
1.8
1- Calculer x et y des variables x et y.
2- Représentez graphiquement cette série double (x ; y). Placez le point moyen G (x , y ) sur la
figure.
3- Vérifier que la covariance de x et y, Cov (x , y ) , est égale à 0.22
4- Calculez le coefficient de corrélation linéaire r de (x ; y). interpréter le résultat.
5- Déterminer l'équation de la droite de régression de y en x .et tracer ce droite.
6- Estimer le nombre d’années d’expérience d’un employé dont le salaire vaut 2 millions L.L
№3»( 4.5 pts)
Le dessin ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction g définie sur l'intervalle  1;5
1- Dresser le tableau des variations de la fonction g
2- Résoudre graphiquement : g(x) = 0 , g ‘(x) = 0 et g(x) > 0.
3- On suppose que g (x )  3ln(x 2  5)  3ln 6 . Résoudre analytiquement g(x) = 3.
4- Montrer que g admette sur [1,5] une fonction réciproque et déterminer sa domaine.
5- On donne f (x )  ln( g (x )) .
a- Déterminer le domaine de définition de la fonction f .
b- Calculer la limite de f (x ) en 1 , déduire une asymptote de f .
c- Exprimer f (x ) en fonction de g (x ) et g ( x ) . Déduire le sens de variation de f (x ) .
№4»( 8 pts)
Part A
2 ln 𝑥−𝑥+3
On Considère la fonction f définie sur ] 0 ; + ∞[ par 𝑓 (𝑥) =
et soit (C) sa
𝑥
courbe représentative dans un repère .
1) Déterminer lim f(x) et déduire l'équation d'une asymptote à (C) .
x  0
2)
3)
4)
5)
Montrer que la droite y = - 1 est une asymptote de (C) en + ∞.
−2 ln 𝑥−1
Vérifier que 𝑓 ′(𝑥) =
et dresser le tableau de variations de f .
𝑥2
Tracer (C) et (D) .
La droite (d) d’équation y = 0.3x coupe la courbe (C) en un point d’abscisse  .
Vérifier que 2,7 <  < 2,8.
Part B: Dans ce qui suit on suppose que  = 2. 75
On considère un produit dont le prix unitaire est désigné par p . (en milliers de livres
libanaises,1 ≤p ≤6 ).
La demande et l’offre de ce produit en centaines d’unités sont données respectivement
2 ln 𝑝−𝑝+3
par les fonctions D(p) et S(p) définies par D(p) =
et S(p) = 0.3 p .
𝑝
1)
2)
3)
4)
Calculer la demande pour un prix unitaire de 1500 L.L.
Calculer le prix unitaire pour une offre de 180 unités.
Calculer le prix d’équilibre et calculer la demande et revenue correspondante.
a) Déterminer l'élasticité e(p) de la demande par rapport au prix et calculer e  3 et donner
à la valeur ainsi trouvée, une interprétation économique.
b) Calculer le prix pour que la demande ait une élasticité unitaire.
c) Déduire le revenue maximal.
GOOD WORK
Partie A
On Considère la fonction f définie sur [0;5] par: f(x) =
1- Vérifier que: f '(x) =
x (x  2)(x  4)
.
(x  1) 2
x 2 9x

 9 ln(x  1) .
2 x 1
2- Dresser le tableau de variation de f sur [0;5].
3- Montrer l’équation f(x) = 0 admet une solution unique 
et vérifier que 3.6 < ∝ < 3.7
4- Déduire le signe de f [0;5].
5- Tracer la courbe ( C ) representative de f dans un repère orthonormé.
Partie B dans cette partie on suppose que  = 3. 65
Une entreprise fabrique un produit en quantité x .le coût marginal de ce produit
𝑥
9
est g(x) = +
définie sur [0;5]
2
2(𝑥+1)
les coûts sont exprimés en millions de L.L.et x en milliers de tonnes .
1- Sachant que le coût fixe est nul . démontrer que le coût total est :
CT(x) =
𝑥2
4
9
+ ln(𝑥 + 1).
2
2- a) vérifier que le vérifier que le coût moyen est définie sur [0;5] par:
𝑥
9 ln(𝑥+1)
h(x) = +
.
4
2𝑥
𝑓(𝑥)
b) Montrer que h '(x) = 2 .
2𝑥
c) Etudier le sens de variation de h et dresser le tableau de variations .
d) pour quelle production , exprimée en tonnes , le coût moyen est-il minimal ?
Quel est alors ce coût ?
((( Bon travail )))