1 TS Nombres complexes Cours

TS
Nombres complexes
I.
Cours
Le plan complexe
1. Définitions générales
Théorème( admis )
Il existe un ensemble noté  , appelé ensemble des nombres complexes
qui possède les propriétés suivantes :




 contient l’ensemble des nombres réels
L’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres
complexes et les calculs restent les même
Il existe un nombre complexe noté i tel que i² = -1
Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique
où
Définition
L’écriture
.
avec
et
réels , est appelée forme algébrique du nombre complexe
est la partie réelle de , notée Re( )
est la partie imaginaire de , notée Im( )
Exemples :
, Re( ) = …. et Im( ) = …..
= 2 i – 1 , Re( ) = ….. et Im( ) =…..
z = 3i² + iRe( ) = ….. et Im( ) =…..
Remarques :



La notation
sera réservée aux nombres positifsLes parties réelles et imaginaires sont des
nombres réels
Lorsque = 0 , z est un réel :
Lorsque = 0 , z = i y ( y réel ) est un imaginaire pur
𝒛
 I𝒎(𝒛) = 𝟎
𝒛 𝒆𝒔𝒕 𝒖𝒏 𝒊𝒎𝒂𝒈𝒊𝒏𝒂𝒊𝒓𝒆 𝒑𝒖𝒓  𝑹𝒆(𝒛) = 𝟎
Propriété
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même
partie imaginaire
+i
=
’+i
’ 
1
=
’ et
=
’
En particulier :
,
étant des réels :
2. Calculs algébriques dans
Les règles connues dans
+i
= 0  x=0 et y = 0
:
se prolongent à
avec la condition
Exemples : Ecrire sous forme algébrique
II.
Equation du second degré à coefficients réels
1. Racine carrée dans
d’un nombre réel
Définition
Soit a un nombre réel
Les solutions dans de l’équation
sont appelées
racine carrées de dans
Exemple :
Résolution de l’équation
 Démontrer que cette équation équivaut à
 En déduire les solutions de l’équation
Propriété
Tout nombre réel a admet 2 racines carrées non nuls dans

Si a

Si a < 0 : ce sont les nombres { i  a ;i  a }
0 : ce sont les nombres {- a ; a }
Exemples : Résoudre dans ℂ
𝑧² + 2 = 0
2𝑧² + 3 = 0
2
2. Equation
Propriété
L’équation
a pour discriminant


Si
Si
: l’ équation admet une unique solution réelle
: l’équation admet deux solutions réelles

Si
l’équation admet deux solutions complexes
Remarque :
Le trinôme se factorise :
Exemple : Résoudre dans
.
III.
Représentation géométrique des nombres complexes
1. Affixe d’un point , d’un vecteur


(O ; u ; v ) est un repère orthonormal direct du plan
Définitions




A tout nombre complexe = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑜ù 𝑥, 𝑦  , on associe le point
M de coordonnées (𝑥 ; 𝑦 )
𝑂𝑛 𝑑𝑖𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑀 𝑒𝑠𝑡 𝑙𝑒 𝒑𝒐𝒊𝒏t image de 𝑧 et que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀 est le vecteur image
de 𝑧
Tout point (𝑥 ; 𝑦 ) est le point image d’un seul complexe
𝑧 = 𝑥 + 𝑖 𝑦 . On dit que z est l’affixe du point M et du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝑀.
On note :
Le plan est alors un plan complexe
Remarques :
 Si x=0 , alors z est imaginaire pur, le point image est sur l’axe des ordonnées
 Si y=0 , alors z est réel , le point image est sur l’axe des abscisses
3

Le point d’affixe i :
2. Propriétés
Propriétés
 Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs affixes sont
égales
 Si et ont pour affixe 𝑒𝑡 𝑧 , alors :
a pour affixe 𝑧 + 𝑧’
a pour affixe 𝑘𝑧 ( k réel )
Exercice :
 Conjecture avec Geogebra sur quelques exs

Soit
)
En utilisant l’écriture algébrique de
[AB]
, déterminer l’affixe du vecteur
Propriété
Soit

Le vecteur

Le milieu I de [AB] a pour affixe : 𝑧𝐼 =
a pour affixe : 𝑧𝐵 − 𝑧𝐴
𝑧𝐴 +𝑧𝐵
2
Exemples :
24 , 25 , 27 page 241
4
et du milieu I de
IV.
Conjugué d’un nombre complexe
1. Définition :
Soient
réels et
Le nombre complexe
On le note
est le conjugué de
Exemple : le conjugué de
; z = 3i ; z = -4
Interprétation géométrique :
Dans le plan complexe , le point M d’affixe z et le point M’ d’affixe z sont symétriques par rapport à
l’axe des abscisses
2.Inverse d’un nombre complexe
Exemple :
a. Ecrire sous forme algébrique
Quel est l’inverse de
1
1 i
( tester à la calculatrice)
1
1 i
b. Soient
réels et
Déterminer la forme algébrique de l’inverse de z
Propriété :
Tout nombre complexe non nul
admet un inverse dans
noté
Exemples : Ecrire sous forme algébrique
Méthode : on multiplie par le conjugué du dénominateur
3. Propriétés algébriques
Opérations sur les nombres conjugués
Pour tous réels
et
’ et tout entier naturel n non nul
1. z + z’ = z + z’
2. z × z’ = z
3. zn = z
4. Si z’  0 :
× z’
n
(
1
1
) =
z’
z’
et
(
z
z
) =
z’
z’
5
Preuve :
Exemples :
 30 page 243
 Donner une forme algébrique du conjugué

Ecrire en fonction de
;
de
le conjugué du nombre
:
:

Propriétés : Pour tout nombre complexe




𝑧̿ = 𝑧
= 2 𝑅𝑒(𝑧)
= 2𝑖 𝐼𝑚(𝑧)
= 𝑥² + 𝑦²
Conséquence :

est un réel équivaut à 𝑧 = 𝑧̅

est un imaginaire pur équivaut à 𝑧 = −𝑧̅
Exemple :
Déterminer l’ensemble des points 𝑀 d’affixe 𝑧 tels que 𝑧² − 𝑧̅ soit réel

𝑧² − 𝑧̅ est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle .
On pose 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦

𝑧² − 𝑧̅ est réel si et seulement si il est égal à son conjugué
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