1 TS Nombres complexes Cours

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TS
Nombres complexes
Cours
I. Le plan complexe
1. Définitions générales
Théorème( admis )
Définition
Exemples :
, Re( ) = …. et Im( ) = …..
= 2 i – 1 , Re( ) = ….. et Im( ) =…..
z = 3i² + iRe( ) = ….. et Im( ) =…..
Remarques :
 La notation sera réservée aux nombres positifsLes parties réelles et imaginaires sont des
nombres réels
 Lorsque   , z est un réel :
 Lorsque   , z = i y ( y réel ) est un imaginaire pur
I  
Propriété
Il existe un ensemble noté  , appelé ensemble des nombres complexes
qui possède les propriétés suivantes :
  contient l’ensemble des nombres réels
 L’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres
complexes et les calculs restent les même
 Il existe un nombre complexe noté i tel que i² = -1
 Tout nombre complexe z s’écrit de manière unique où
L’écriture avec et réels , est appelée forme algébrique du nombre complexe
.
est la partie réelle de , notée Re( )
est la partie imaginaire de , notée Im( )
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même
partie imaginaire
+ i = ’ + i ’  = ’ et = ’

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En particulier : , étant des réels : + i = 0  x=0 et y = 0
2. Calculs algébriques dans :
Les règles connues dans se prolongent à avec la condition
Exemples : Ecrire sous forme algébrique
II. Equation du second degré à coefficients réels
1. Racine carrée dans d’un nombre réel
Définition
Soit a un nombre réel
Les solutions dans de l’équation sont appelées
racine carrées de dans
Exemple :
Résolution de l’équation
 Démontrer que cette équation équivaut à
 En déduire les solutions de l’équation
Propriété
Tout nombre réel a admet 2 racines carrées non nuls dans
 Si a 0 : ce sont les nombres {-
aa ;
}
 Si a < 0 : ce sont les nombres {
aiai  ;
}
Exemples : Résoudre dans 

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2. Equation
Propriété
L’équation a pour discriminant
 Si : l’ équation admet une unique solution réelle
 Si : l’équation admet deux solutions réelles
 Si l’équation admet deux solutions complexes
Remarque :
Le trinôme se factorise :
Exemple : Résoudre dans
.
III. Représentation géométrique des nombres complexes
1. Affixe d’un point , d’un vecteur
(O ; u ; v ) est un repère orthonormal direct du plan
Définitions
Remarques :
 Si x=0 , alors z est imaginaire pur, le point image est sur l’axe des ordonnées
 Si y=0 , alors z est réel , le point image est sur l’axe des abscisses
 A tout nombre complexe      , on associe le point
M de coordonnées (  
 t image de  et que 
est le vecteur image
de 
 Tout point    ) est le point image d’un seul complexe
     On dit que z est l’affixe du point M et du vecteur 
.
On note :
 Le plan est alors un plan complexe

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 Le point d’affixe i :
2. Propriétés
Propriétés
 Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs affixes sont
égales
 Si et ont pour affixe  , alors :
a pour affixe   
a pour affixe  ( k réel )
Exercice :
 Conjecture avec Geogebra sur quelques exs
 Soit )
En utilisant l’écriture algébrique de , déterminer l’affixe du vecteur et du milieu I de
[AB]
Propriété
Soit
 Le vecteur a pour affixe :  
 Le milieu I de [AB] a pour affixe : 
Exemples :
24 , 25 , 27 page 241

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IV. Conjugué d’un nombre complexe
1. Définition :
Soient réels et
Le nombre complexe est le conjugué de
On le note
Exemple : le conjugué de ; z = 3i ; z = -4
Interprétation géométrique :
Dans le plan complexe , le point M d’affixe z et le point M’ d’affixe
z
sont symétriques par rapport à
l’axe des abscisses
2.Inverse d’un nombre complexe
Exemple :
a. Ecrire sous forme algébrique
i11
( tester à la calculatrice)
Quel est l’inverse de
i11
b. Soient réels et
Déterminer la forme algébrique de l’inverse de z
Propriété :
Tout nombre complexe non nul admet un inverse dans noté
Exemples : Ecrire sous forme algébrique
Méthode : on multiplie par le conjugué du dénominateur
3. Propriétés algébriques
Opérations sur les nombres conjugués
Pour tous réels et ’ et tout entier naturel n non nul
1. z + z’ = z + z’
2. z × z’ = z × z’
3. zn = zn
4. Si z’  0 : ( 1
z’) = 1
z’
et ( z
z’ ) = z
z’