21 Cours - Polynômes.nb

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Polynômes
I) Ensemble K[X] des polynômes
1) Polynôme, coefficients
2) Egalité de deux polynômes
3) Polynôme nul
4) Opérations dans K[X]
5) Propriétés
6) Présentation rigoureuse des polynômes (hors programme PCSI)
II) Degré d’un polynôme
1) Degré, coefficient dominant, polynôme unitaire, ensemble Kn @XD
2) Exemples
3) Propriétés du degré
4) Nullité d’un produit de polynômes
5) Exercices
III) Division euclidienne
1) Théorème et définition
2) Exemples
3) Exercice
IV) Fonction polynôme
1) Définition
2) Racine d’un polynôme
3) Divisibilité par X-a
4) Généralisation et conséquences
5) Ordre de multiplicité d’une racine
V) Factorisation des polynômes dans [X] ou [X]
1) Exercice
2) Polynôme irréductible
3) Factorisation en produit de polynômes irréductibles
4) Comparaison avec la factorisation des nombres entiers
5) Factorisation dans [X]
6) Factorisation dans [X]
7) Exercices
VI) Relations entre coefficients et racines d’un polynôme
1) Polynôme scindé
2) Relations entre coefficients et racines pour un polynôme de degré 2
3) Relations entre coefficients et racines pour un polynôme de degré 3
4) Somme et produit des racines d’un polynôme scindé quelconque
VII) Dérivation. Formules de Taylor
1) Polynôme dérivé
2) Dérivée d’ordre n
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2) Dérivée d’ordre n
3) Propriétés
4) Formules de Taylor
5) Théorème de caractérisation de l’ordre de multiplicité d’une racine d’un polynôme
6) Exercices
K désigne l'ensemble ou .
I) Ensemble K[X] des polynômes
Cette présentation n’est pas rigoureuse mathématiquement (le parachutage de X surgissant de nulle part...) mais est suffisante
pour construire le cours.
Voir en 6) Pour une présentation rigoureuse.
1) Polynôme, coefficients
Un polynôme à coefficients dans K est un “objet” du type P = a0 + a1 X + ... + an X n où n œ , ai œ K et X est une
“indéterminée” permettant le calcul sur les polynômes.
Les coefficients de P sont les nombres a0 , a1 , ... an .
n
On note aussi P = S ak X k (par convention, X 0 = 1).
k=0
On note K@XD l’ensemble des polynômes à coefficients dans K .
Par exemple , P = X 3 - X 2 + X - 5 et Q = X 2 + 3 sont des polynômes de @XD (et aussi de @XD)
ATTENTION: un polynôme n’est pas une fonction.
2) Egalité de deux polynômes
a) Définition
Soient P = a0 + a1 X + ... + an X n et Q = b0 + b1 X + ... + bp X p deux polynômes de K@XD. Alors:
P = Q ñ les coefficients de P et de Q sont deux à deux égaux ñ a0 = b0 et a1 = b1 et ... etc ...
n
m
k=0
k=0
Remarque: si P = S ak X k et si m r n, alors on a aussi P = S ak X k avec ak = 0 pour k > n. Lorsqu’on ajoute à un
polynôme des termes X k avec un zéro comme coefficient, le polynôme est le même.
Par exemple, X 2 + a X = b X 3 + c X 2 - X ñ
b=0
c=1 .
a = -1
b) Exercice
n
Soit P = PHXL = S ak X k un polynôme de K@XD. Prouver que: PH- XL = PHXL ñ a1 = a3 = a5 =. .. = 0.
k=0
Trouver le résultat analogue pour caractériser PHXL = - P H- XL
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3) Polynôme nul
Le polynôme nul est P = 0 .
On a aussi (voir remarque précédente) 0 = 0 + 0. X = 0 + 0. X + 0. X 2 =...
Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
4) Opérations dans K[X]
a) Définitions
Soient P = a0 + a1 X + ... + an X n et Q = b0 + b1 X + ... + bp X p deux polynômes de K@XD . Alors on pose:
• l P = l a0 + l a1 X + ... + l an X n
• P + Q = Ha0 + b0 L + Ha1 + b1 L X + ... + Iap + bp M X p + ... + an X n (si par exemple p b n)
• PäQ = a0 b0 + Ha1 b0 + a0 b1 L X + Ha0 b2 + a1 b1 + a2 b0 L X 2 + ... + Ian-1 bp + an bp-1 M X n+p-1 + an bp X n+p
• PëQ = a0 + a1 Q + ... + an Qn
Notations PHXL, P, Pë X:
En particulier, Pë X = P . On note aussi Pë X = PHXL. On a donc P = P HXL = Pë X pour tout polynôme P.
On notera donc indifféremment P ou P HXL .
b) Exemples
a) Avec P = HX + 1L2 et Q = X 2 + 1 , calculer P + Q , 3 P - 2 Q , P äQ , Pë Q et QëP .
b)
n
p
n+p
k=0
k=0
k=0
S ak X k ä S bk X k = S ck X k avec ck = ?
5) Propriétés
" P, Q, R œ K@XD,
(1) Pä Q = QäP
:
le produit est commutatif
(2) Pä HQ + RL = Pä Q + Pä R
:
le produit est distributif par rapport à l’addition
(3) Pä HQäRL = HP äQLä R
:
le produit est associatif
(4) Pë Q ∫ QëP en général
:
la composition n’est pas commutative.
6) Présentation rigoureuse des polynômes (hors programme PCSI)
a) Définitions
(1) Un polynôme à coefficients dans K est une suite Iak M d’éléments de K dont tous les termes sont nuls à partir d’un certain
rang ( $ n œ ê " k r n, ak = 0).
(2) La suite nulle est le polynôme nul.
(3) Le degré d’un polynôme P = Iak M non nul est deg HPL = max 9k œ ë ak ∫ 0=. On pose deg(0) = -¶ .
(4) Deux polynômes P = Iak M et Q = Ibk M sont égaux ñ " k œ , ak = bk (Egalité des suites).
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b) Opérations
Soient P = Iak M, Q = Ibk M deux polynômes et l œ K. On pose:
(1) P + Q = Iak + bk M
(2) l.P = Il ak M
k
(3) PäQ =
S ai bk-i
i=0
Notons que:
Pour vérifier que ces définitions sont cohérentes il faut prouver que ces suites sont des polynômes, c'est à dire que tous leurs
termes sont nuls APCR.
c) Changement de notation
On pose X le polynôme X = H0, 1, 0, 0, ...L. On vérifie que X n = H0, 0, ..., 0, 1, 0, 0 ...L (avec un 1 en position n + 1).
deg P
On vérifie alors " P = Iak M polynôme non nul à coefficients dans K , P = S
k=0
ak X k . On retrouve les polynômes présentés dans
ce cours.
II) Degré d’un polynôme
1) Degré, coefficient dominant, polynôme unitaire, ensemble Kn @XD
On définit:
(1) Le degré d'un polynôme P = a0 + a1 X + ... + an X n non nul (c'est à dire dont au moins un coefficient n'est pas nul)
est degHPL = max 9k œ 80, ..., n< ë ak ∫ 0=.
(2) Le degré du polynôme nul est -¶ .
(3) Le coefficient dominant d'un polynôme de degré n r 0 est le coefficient du terme X n .
(4) Un polynôme non nul est unitaire lorsque son coefficient dominant est égal à 1.
(5) On note Kn @XD l’ensemble des polynômes de degré b n de K@XD .
On pose deg(0) = -¶ pour des raisons de formules de calcul encore valables dans des cas particuliers.
2) Exemples: quels sont les degrés et coefficients dominants de :
P = 1 - X2 + 3 X ; Q = X3 + a X4 ; R = 3 ; S = 0
3) Propriétés du degré
(1) " P, Q œ K@XD, ;
deg H P äQL = deg P + deg Q
et deg HPL ∫ deg HQL fl deg HP + QL = max H deg HPL, deg HQLL
deg HP + QL b max H deg P, deg QL
(2) " P, Q œ K@XD î 80<, deg HP ëQL = deg HPL ä deg HQL
4) Nullité d’un produit de polynômes
Le produit de deux polynômes est nul si et seulement si l’un des deux polynôme au moins est nul.
Ou encore:
" P, Q œ K@XD, Pä Q = 0 ñ P = 0 ou Q = 0 .
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5) Exercices
a) Trouver tous les polynômes P œ @XD tels que P ëP = P .
b) Trouver tous les polynômes P œ @XD tels que P IX 2 M = IX 2 + 1M P HXL .
III) Division euclidienne
1) Théorème et définition
Soient A, B œ K@XD, avec B ∫ 0. Alors il existe un unique couple HQ, RL de polynômes de K@XD tels que
L’égalité A = B Q + R (avec deg HRL < deg HBL ) est l’égalité de la division euclidienne de A par B.
A = BQ+R
.
deg HRL < deg HBL
2) Effectuer les divisions eulcidiennes
a) P = X 4 - X 3 + 1 par Q = X 2 - 3 X + 2
b) P = X 5 + X + 1 par Q = X 2 + 2 X + 2
3) Exercice
Calculer le reste de la division de P = X 10 par X - 1 puis X 2 - 3 X + 2 puis HX - 1L2 puis X 2 + 1.
IV) Fonction polynôme
1) Définition
La fonction polynôme associée au polynôme P de K@XD est la fonction, notée encore par abus P, est la fonction P : K ö K .
xØ PHxL
Par exemple, si P = X 2 - X + 3, la fonction polynôme P associée est P : ö avec P HxL = x2 - x + 3
ATTENTION: un polynôme n’est pas une fonction polynôme.
Dans la suite, on notera des “grands X ” pour les polynômes et des “petits x” pour les fonctions polynômes .
2) Racine d’un polynôme
a œ K est une racine du polynôme P œ K@XD ñ P HaL = 0 .
Par exemple, -1 est une racine de X 5 + 1 (dans ou ) et 1 + i est une racine de X 2 - 2 X + 2 dans .
ATTENTION: un polynôme de @XD peut avoir des racines dans mais pas dans . Par exemple X 2 + 1 a des racines dans
mais pas dans .
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3) Divisibilité par X-a
a) Divisibilité
Soient PHXL et Q HXL deux polynômes non nuls de K@XD. Alors:
P HXL est divisible par Q HXL dans K@XD ñ $ RHXL œ K@XD ê PHXL = Q HXL R HXL
ñ le reste de la division euclidienne de P HXL par Q HXL est nul
On dit aussi, comme pour les entiers, que Q HXL divise P HXL .
Par exemple, X 2 + 1 divise X 6 + 1 car :
b) Théorème
Soient a œ K et P œ K@XD. Alors: X - a divise PHXL dans K@XD ñ PHaL = 0
4) Généralisation et conséquences
a) Théorème
Soient a1 , ..., an œ K tous distincts. Alors:
HX - a1 L ... HX - an L divise P HXL dans K@XD ñ PHa1 L = PHa2 L =. .. = PHan L = 0 ñ a1 , a2 , ..., an sont des racines de P HXL
b) Degré et nombre de racines
Un polynôme de degré n œ de K@XD admet au plus n racines distinctes dans K .
Seul le polynôme nul a une infinité de racines.
c) Exercices
a) Prouver que les seuls polynômes P œ @XD qui vérifient P HX + 1L = P HXL sont les polynômes constants
b) Soit P œ @XD tel que " x œ @0, 1D,
P HxL = 1. Prouver que P est constant.
Conseil: considérer QHXL = PHXL PHXL, où P est le polynôme dont les coefficients sont les conjugués des coefficients de P .
5) Ordre de multiplicité d’une racine
a) Définition
Soient a œ K et P un polynôme non nul de K@XD. Alors:
• L’ordre (de multiplicité) de a comme racine de P HXL est le plus grand entier naturel n tel que HX - aLn divise P HXL.
Ou encore:
• a est une racine d’ordre n de P HXL ñ
HX - aLn divise P HXL
HX - aLn+1 ne divise pas P HXL
.
b) Cas particuliers
(1) a est une racine d’ordre 0 de P HXL ñ a n’est pas une racine de P HXL ñ PHaL ∫ 0 .
(2) Une racine simple d’un polynôme est une racine d’ordre 1, une racine double est une racine d’ordre 2.
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c) Exemple
Trouver les racines et leur ordre dans puis pour le polynôme PHXL = 3 X 4 HX + 2L2 IX 2 + 1M.
V) Factorisation des polynômes dans [X] ou [X]
1) Exercice
Factoriser P = X n - 1 dans @XD puis Q = X 4 + 1 et R = X 5 - 1 dans @XD .
2) Polynôme irréductible
C’est la version polynôme d’un nombre premier.
a) Remarque
Dans la factorisation d’un polynôme, les constantes peuvent se “promener”.
Par exemple, P = X 2 - 1 = HX - 1L HX + 1L, mais aussi P = @2 HX - 1LDB HX + 1LF = H2 X - 2L J X + N .
1
2
1
2
1
2
C’est pour cela que certaines des définitions suivantes sont “à une constante multiplicative non nulle près”.
b) Polynôme irréductible
Soit PHXL un polynôme de K@XD de degré r 1. Alors:
P HXL est un polynôme irréductible de K@XD ñ les seuls diviseurs de P HXL dans K@XD sont les l et les l PHXL avec l œ K .
Ou encore:
P est un polynôme irréductible de K@XD ñ les seuls diviseurs de P sont 1 et P à une constante multiplicative non nulle
près .
c) Polynôme non irréductible
Soit P œ K@XD, avec deg HPL r 1. Alors:
P n’est pas irréductible dans K@XD ñ $ Q œ K@XD avec 1 b deg HQL < deg HPL tel que Q divise P
P n’est pas irréductible dans K@XD ñ $ Q, R œ K@XD de degrés r 1 tels que P = Q äR
d) Cas des polynômes de degré 1 et 2
Les polynômes de degré 1 de K@XD sont irréductibles.
Les polynômes de degré 2 irréductibles de K@XD sont les polynômes de degré 2 n’ayant pas de racine dans K .
e) Cas des polynômes de degré supérieur ou égal à 3
Soit P HXL un polynôme de degré r 3 de K[X]. Alors:
P HXL a une racine dans K fl P HXL n’est pas irréductible dans K@XD.
La réciproque est fausse.
f) ATTENTION
Un polynôme de @XD irréductible dans @XD peut ne pas être irréductible dans @XD.
Par exemple, P = X 2 + 1 est irréductible dans @XD ( il n’a pas de racine réelle et est de degré 2) mais pas dans @XD
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(P = HX - iL HX + iL )
3) Factorisation en produit de polynômes irréductibles
Tout polynôme P de degré r 1 de K@XD s’écrit de manière unique, à des constantes multiplicatives non nulles près, sous la
forme:
(1) : P HXL = P1 HXLn1 P2 HXLn2 ... Pk HXLnk avec les Pi HXL des polynômes irréductibles de K@XD deux à deux distincts et
les ni œ * .
L’égalité (1) s’appelle la factorisation de P HXL en produit de polynômes irréductibles.
4) Comparaison avec la factorisation des nombres entiers
Le théorème précédent est, pour les polynômes, le théorème analogue à celui de la factorisation (unique) d’un entier n r 2 en
produit de nombre premiers.
Mais, en pratique, il y a une différence importante:
• dans on sait trouver (algorithme) la factorisation de n’importe quel nombre entier (pas trop grand quand même...) , alors
qu’on ne connait pas tous les nombres premiers
• dans K@XD, on ne sait factoriser qu’une petite partie des polynômes, alors qu’on connait (voir la suite) tous les polynômes
irréductibles.
5) Factorisation dans [X]
a) Théorème de d’Alembert - Gauss
Jean Le Rond d’Alembert (1717 - 1783) est un mathématicien, philosophe et encyclopédiste français.
On appelle aussi ce théorème le théorème fondamental de l’algèbre .
Tout polynôme de degré r 1 de @XD admet au moins une racine dans .
b) Polynômes irréductibles de [X]
Les polynômes irréductibles de @XD sont les polynômes de degré 1 .
c) Factorisation dans [X]
Tout polynôme P HXL de @XD de degré r 1 se factorise de façon unique sous la forme:
ai œ et distincts
PHXL = lHX - a1 Ln1. .. IX - ak Mnk avec
.
ni œ * et l œ *
Les racines de P HXL sont alors les ai avec les ordres (de multiplicité ) ni .
6) Factorisation dans [X]
a) Théorème
Un polynôme de degré r 3 de @XD n’est pas irréductible.
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b) Polynômes irréductibles de [X]
Les polynômes irréductibles de @XD sont:
(1) les polynômes de degré 1
(2) les polynômes de degré 2 à D < 0
c) Factorisation dans [X]
Tout polynôme P HXL de @XD de degré r 1 se factorise de façon unique sous la forme:
ai et Hbi , ci L des réels et couples distincts
P(X) = l HX - a1 Ln1. .. IX - ak Mnk IX 2 + b1 X + c1 Mm1 ... IX 2 + bq X + cq Mmq avec
Les racines de P HXL sont alors les ai avec les ordres (de multiplicité) ni .
X 2 + bi X + ci irréductible HD < 0L
ni , mi œ * et l œ *
7) Exercices
a) En utilisant les égalités remarquables, factoriser dans @XD les polynômes X n - 1 et X n + 1 pour n œ 82, 3, 4, 6, 8< .
b) Factoriser dans @XD le polynôme P = X 5 + 1 .
VI) Relations entre coefficients et racines d'un polynôme
1) Polynôme scindé
a) Définition
Un polynôme de degré r 1 de K@XD est scindé sur K lorsqu’il peut s’écrire comme produit de polynômes de degré 1.
b) Caractérisation
PHXL œ K@XD est scindé sur K ñ P HXL peut s’écrire P HXL = l HX - a1 L ... HX - an L avec n œ * , l œ K * , ai œ K
Les ai (pas forcément distincts) sont alors les racines de P HXL .
Par exemple, P HXL = X 2 H2 X + 1L3 est scindé et P HXL = 8 HX - 0L2 JX - J- NN avec l’écriture ci-dessus.
1 3
2
D’après le théorème de factorisation dans @XD, on peut énoncer:
Tout polynôme de @XD ou de @XD est scindé sur .
2) Relations entre coefficients et racines pour un polynôme de degré 2
a) Théorème
Soient a, b, a, b, c œ K (avec a ∫ 0). Alors:
a et b sont les racines du polynôme P HXL = a X 2 + b X + c ñ
(Les racines a et b peuvent être distinctes ou confondues.)
-b
a
c .
ab =
a
a+ b =
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b) Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur produit
Soient a, b, S, P œ K . Alors ;
a+b = S
ñ a et b sont les solutions de l’équation x2 - S x + P = 0.
a äb = P
Par exemple, calculer a et b sachant que ;
a+b = 1
.
a äb = -1
3) Relations entre coefficients et racines pour un polynôme de degré 3
a) Théorème
Soient a, b, a, b, c, d œ K (avec a ∫ 0). Alors:
a+ b+g = a, b, g sont les racines du polynôme P HXL = a X 3 + b X 2 + c X + d ñ
b
a
a b+ag+ bg =
a bg = -
c
.
a
d
a
(Les racines a, b, g peuvent être distinctes ou non.)
b) Exemple
Soient x, y, z les racines complexes de P HXL = X 3 + X 2 + 2 X - 3. Calculer:
A = x + y + z ; B = x y + x z + y z ; C = x y z ; D = x2 + y2 + z2 ; E =
1 1 1
+ + ; F = x2 y2 + x2 z2 + y2 z2 ; G = x3 + y3 + z3 .
x
y
z
4) Somme et produit des racines d’un polynôme scindé quelconque
a) Théorème
n
Soient a1 , ... an les racines du polynôme scindé P HXL = S ak X k de degré n Han ∫ 0L. Alors
k=0
b) Exemple
2ikp
n-1
n-1
k=0
k=0
Soit n œ * . On pose zk = e n . Calculer S = S zk et P = P zk .
c) Exercice
n-1
2ikp
Simplifier An = P 1 - e n
.
k=1
VII) Dérivation. Formules de Taylor
1) Polynôme dérivé
Soit P = a0 + a1 X + ... + an X n œ K@XD . On pose P' HXL = a1 + 2 a2 X + ... + n an X n-1 .
P' est le polynôme dérivé de P .
Lien avec l’analyse:
n
a
S = S ak = - n-1
k=0
n
an
a
P = P ak = H-1Ln 0
an
k=0
.
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Avec K = , cette définition est cohérente avec la dérivée de la fonction polynôme associée à P.
2) Dérivée d’ordre n
a) Définition
Pour P œ K@XD et n œ * , on pose, comme en analyse:
PH0L = P , PH1L = P' , PH2L = P '' = HP 'L' , ..., PHnL = IPHn-1L M'. On dit que PHnL est le polynôme dérivé d'ordre n de P .
b) Exemple
Pour k, n œ , Calculer HX n LHkL .
3) Propriétés
" n œ * , " a, b œ K, " P, Q œ K@XD,
(1) Ha P + b QLHnL = a PHnL + b QHnL .
(2) " P, Q œ K@XD, HPä QL' = P' Q + PQ ' et HQë PL' = Q' ëPä P' .
4) Formules de Taylor
Brook Taylor (1685 - 1731) mathématicien anglais .
On retrouvera ces formules dans le cours d’analyse.
P HX + aL =
Soient P œ K@XD et a œ K . Alors
deg P PHkL HaL
S
X k : H1L
k!
k=0
deg P PHkL HaL
PHXL = S
HX - aLk : H2L
k!
k=0
. Ces deux formules sont les formules de Taylor.
5) Théorème de caractérisation de l’ordre de multiplicité d’une racine d’un polynôme
Soient a œ K, n œ , P œ K@XD. Alors:
a est une racine d’ordre n de P ñ P HaL = P ' HaL =. .. = PHn-1L HaL = 0 et PHnL HaL ∫ 0
Par exemple:
• a est une racine simple de P HXL ñ PHaL = 0 et P' HaL ∫ 0
• a est une racine d’ordre r 2 de P HXL ñ PHaL = P ' HaL = 0
Preuve : on montre déjà le lemme
Soient a œ K, n œ * , P œ K@XD. Alors:
a est une racine d’ordre n de P fl a est une racine d’ordre n - 1 de P' .
6) Exercices
a) Soit n œ . Prouver que HX - 1L3 divise le polynôme P HXL = n X n+2 - Hn + 2L X n+1 + Hn + 2L X - n .
b) Soit P =
1
I-3 X 5 + 10 X 3 - 15 XM + 1. Prouver que HX - 1L3 divise P HXL + 3 et que HX + 1L3 divise P HXL - 5 .
2
c) On veut prouver que : PHXL - X divise P HP HXLL - X pour tout polynôme P œ @XD différent de X.
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a) Trouver l’erreur dans le raisonnement suivant:
n
Soit Q HXL = P HXL - X. Si deq HQL > 0, s’écrit QHXL = l P HX - ai L (on est dans @XD). Pour prouver que Q HXL divise
k=1
RHXL = PHPHXLL - X , il suffit de montrer que toute facteur X - a de Q HXL divise R HXL, c’est à dire que R HaL = 0 . Et si
deg HQL = 0, le résultat est évident.
Or si X - a divise Q HXL, alors QHaL = 0, donc P HaL = a, donc P HPHaLL = PHaL = a, donc P HPHaLL - a = 0, donc RHaL = 0 .
CQFD
b) Etablir le résultat voulu à l’aide d’une formule de Taylor.