21 Cours - Polynômes.nb

Polynômes
I) Ensemble K[X] des polynômes
1) Polynôme, coefficients
2) Egalité de deux polynômes
3) Polynôme nul
4) Opérations dans K[X]
5) Propriétés
6) Présentation rigoureuse des polynômes (hors programme PCSI)
II) Degré d’un polynôme
1) Degré, coefficient dominant, polynôme unitaire, ensemble K
n
@
X
D
2) Exemples
3) Propriétés du degré
4) Nullité d’un produit de polynômes
5) Exercices
III) Division euclidienne
1) Théorème et définition
2) Exemples
3) Exercice
IV) Fonction polynôme
1) Définition
2) Racine d’un polynôme
3) Divisibilité par X-a
4) Généralisation et conséquences
5) Ordre de multiplicité d’une racine
V) Factorisation des polynômes dans [X] ou [X]
1) Exercice
2) Polynôme irréductible
3) Factorisation en produit de polynômes irréductibles
4) Comparaison avec la factorisation des nombres entiers
5) Factorisation dans [X]
6) Factorisation dans [X]
7) Exercices
VI) Relations entre coefficients et racines d’un polynôme
1) Polynôme scindé
2) Relations entre coefficients et racines pour un polynôme de degré 2
3) Relations entre coefficients et racines pour un polynôme de degré 3
4) Somme et produit des racines d’un polynôme scindé quelconque
VII) Dérivation. Formules de Taylor
1) Polynôme dérivé
2) Dérivée d’ordre n
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2)
Dérivée
d’ordre
n
3) Propriétés
4) Formules de Taylor
5) Théorème de caractérisation de l’ordre de multiplicité d’une racine d’un polynôme
6) Exercices
K désigne l'ensemble  ou .
I) Ensemble K[X] des polynômes
Cette présentation n’est pas rigoureuse mathématiquement (le parachutage de X surgissant de nulle part...) mais est suffisante
pour construire le cours.
Voir en 6) Pour une présentation rigoureuse.
1) Polynôme, coefficients
Un polynôme à coefficients dans K est un “objet” du type P=a
0
+a
1
X+... +a
n
X
n
où nœ, a
i
œK et X est une
“indéterminée” permettant le calcul sur les polynômes.
Les coefficients de
P
sont les nombres a
0
,a
1
, ... a
n
.
On note aussi P= S
k
=
0
n
a
k
X
k
(par convention, X
0
=1).
On note K
@
X
D
l’ensemble des polynômes à coefficients dans K.
Par exemple , P=X
3
-X
2
+X-5 et Q=X
2
+3 sont des polynômes de 
@
X
D
(et aussi de 
@
X
D
)
ATTENTION: un polynôme n’est pas une fonction.
2) Egalité de deux polynômes
a) Définition
Soient P=a
0
+a
1
X+... +a
n
X
n
et Q=b
0
+b
1
X+... +b
p
X
p
deux polynômes de K
@
X
D
. Alors:
P=Q ñ les coefficients de
P
et de Q sont deux à deux égaux ñ a
0
=b
0
et a
1
=b
1
et ... etc ...
Remarque: si P= S
k
=
0
n
a
k
X
k
et si mrn, alors on a aussi P= S
k
=
0
m
a
k
X
k
avec a
k
=0 pour k>n. Lorsqu’on ajoute à un
polynôme des termes X
k
avec un zéro comme coefficient, le polynôme est le même.
Par exemple, X
2
+a X =b X
3
+c X
2
-X ñ
b
=
0
c=1
a= -
1
.
b) Exercice
Soit P=P
H
X
L
= S
k
=
0
n
a
k
X
k
un polynôme de K
@
X
D
. Prouver que: P
H
-X
L
=P
H
X
L
ña
1
=a
3
=a
5
=. .. =0.
Trouver le résultat analogue pour caractériser P
H
X
L
= - P
H
-X
L
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3) Polynôme nul
Le polynôme nul est P=0 .
On a aussi (voir remarque précédente) 0=0+0. X=0+0. X+0. X
2
=...
Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
4) Opérations dans K[X]
a) Définitions
Soient P=a
0
+a
1
X+... +a
n
X
n
et Q=b
0
+b
1
X+... +b
p
X
p
deux polynômes de K
@
X
D
. Alors on pose:
• lP= l a
0
+ l a
1
X+... + l a
n
X
n
• P+Q=
H
a
0
+b
0
L
+
H
a
1
+b
1
L
X+... +
I
a
p
+b
p
M
X
p
+... +a
n
X
n
(si par exemple
p
bn)
• PäQ=a
0
b
0
+
H
a
1
b
0
+a
0
b
1
L
X+
H
a
0
b
2
+a
1
b
1
+a
2
b
0
L
X
2
+... +
I
a
n-
1
b
p
+a
n
b
p-
1
M
X
n
+
p
-
1
+a
n
b
p
X
n
+
p
• PëQ=a
0
+a
1
Q+... +a
n
Q
n
Notations P
H
X
L
,P,PëX:
En particulier, PëX=P . On note aussi PëX=P
H
X
L
. On a donc P=P
H
X
L
=PëX pour tout polynôme
P
.
On notera donc indifféremment
P
ou
P
H
X
L
.
b) Exemples
a) Avec P=
H
X+1
L
2
et Q=X
2
+1 , calculer P+Q, 3 P-2Q,PäQ,PëQet QëP .
b) S
k
=
0
n
a
k
X
k
ä S
k
=
0
p
b
k
X
k
= S
k
=
0
n
+
p
c
k
X
k
avec c
k
= ?
5) Propriétés
"P,Q,RœK
@
X
D
,
(1) PäQ=QäP: le produit est commutatif
(2) Pä
H
Q+R
L
=PäQ+PäR: le produit est distributif par rapport à l’addition
(3) Pä
H
QäR
L
=
H
PäQ
L
äR: le produit est associatif
(4) PëQ∫QëP en général : la composition n’est pas commutative.
6) Présentation rigoureuse des polynômes (hors programme PCSI)
a) Définitions
(1) Un polynôme à coefficients dans K est une suite
I
a
k
M
d’éléments de K dont tous les termes sont nuls à partir d’un certain
rang ( $nœ
ê
"krn,a
k
=0).
(2) La suite nulle est le polynôme nul.
(3) Le degré d’un polynôme P=
I
a
k
M
non nul est deg
H
P
L
=max
9
kœ
ë
a
k
∫0
=
. On pose deg(0) = -¶ .
(4) Deux polynômes P=
I
a
k
M
et Q=
I
b
k
M
sont égaux ñ "kœ,a
k
=b
k
(Egalité des suites).
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b) Opérations
Soient P=
I
a
k
M
, Q=
I
b
k
M
deux polynômes et
l
œ
K
. On pose:
(1) P+Q=
I
a
k
+b
k
M
(2) l.P=
I
la
k
M
(3) PäQ= S
i=
0
k
a
i
b
k-i
Notons que:
Pour vérifier que ces définitions sont cohérentes il faut prouver que ces suites sont des polynômes, c'est à dire que tous leurs
termes sont nuls APCR.
c) Changement de notation
On pose X le polynôme X=
H
0, 1, 0, 0, ...
L
. On vérifie que
X
n
=
H
0, 0, ..., 0, 1, 0, 0 ...
L
(avec un 1 en position n+1).
On vérifie alors "P=
I
a
k
M
polynôme non nul à coefficients dans K , P= S
k
=
0
deg P
a
k
X
k
. On retrouve les polynômes présentés dans
ce cours.
II) Degré d’un polynôme
1) Degré, coefficient dominant, polynôme unitaire, ensemble K
n
@
X
D
On définit:
(1) Le degré d'un polynôme P=a
0
+a
1
X+... +a
n
X
n
non nul (c'est à dire dont au moins un coefficient n'est pas nul)
est deg
H
P
L
=max
9
kœ
8
0, ..., n
<
ë
a
k
∫0
=
.
(2) Le degré du polynôme nul est -¶ .
(3) Le coefficient dominant d'un polynôme de degré nr0 est le coefficient du terme
X
n
.
(4) Un polynôme non nul est unitaire lorsque son coefficient dominant est égal à 1.
(5) On note K
n
@
X
D
l’ensemble des polynômes de degré bn de K
@
X
D
.
On pose deg(0) = -¶ pour des raisons de formules de calcul encore valables dans des cas particuliers.
2) Exemples: quels sont les degrés et coefficients dominants de :
P=1-X
2
+3X ; Q=X
3
+a X
4
; R=3 ; S=0
3) Propriétés du degré
(1) "P,QœK
@
X
D
,
;
deg
H
P
ä
Q
L
=
deg
P
+
deg
Q
deg
H
P+Q
L
bmax
H
deg P, deg Q
L
et deg
H
P
L
∫deg
H
Q
L
fldeg
H
P+Q
L
=max
H
deg
H
P
L
, deg
H
Q
L
L
(2) "P,QœK
@
X
D
î
8
0
<
, deg
H
PëQ
L
=deg
H
P
L
ädeg
H
Q
L
4) Nullité d’un produit de polynômes
Le produit de deux polynômes est nul si et seulement si l’un des deux polynôme au moins est nul.
Ou encore:
"
P
,
Q
œ
K
@
X
D
,
P
ä
Q
=
0
ñ
P
=
0
ou
Q
=
0
.
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5) Exercices
a) Trouver tous les polynômes Pœ
@
X
D
tels que PëP=P .
b) Trouver tous les polynômes Pœ
@
X
D
tels que P
I
X
2
M
=
I
X
2
+1
M
P
H
X
L
.
III) Division euclidienne
1) Théorème et définition
Soient
A
,
B
œ
K
@
X
D
, avec B∫0. Alors il existe un unique couple
H
Q,R
L
de polynômes de K
@
X
D
tels que
A
=
B
Q
+
R
deg
H
R
L
<
deg
H
B
L
.
L’égalité A=B Q +R (avec deg
H
R
L
<deg
H
B
L
) est l’égalité de la division euclidienne de
A
par
B
.
2) Effectuer les divisions eulcidiennes
a) P=X
4
-X
3
+1 par Q=X
2
-3X+2
b) P=X
5
+X+1 par Q=X
2
+2X+2
3) Exercice
Calculer le reste de la division de P=X
10
par X-1 puis X
2
-3X+2 puis
H
X-1
L
2
puis X
2
+1.
IV) Fonction polynôme
1) Définition
La fonction polynôme associée au polynôme
P
de K
@
X
D
est la fonction, notée encore par abus
P
, est la fonction P:KöK
xØP
H
x
L
.
Par exemple, si P=X
2
-X+3, la fonction polynôme P associée est P:ö avec P
H
x
L
=x
2
-x+3
ATTENTION: un polynôme n’est pas une fonction polynôme.
Dans la suite, on notera des “grands X” pour les polynômes et des “petits x” pour les fonctions polynômes .
2) Racine d’un polynôme
aœK est une racine du polynôme PœK
@
X
D
ñP
H
a
L
=0 .
Par exemple, -1 est une racine de X
5
+1 (dans  ou ) et 1 +i est une racine de
X
2
-2X+2 dans  .
ATTENTION: un polynôme de 
@
X
D
peut avoir des racines dans  mais pas dans  . Par exemple X
2
+1 a des racines dans
 mais pas dans  .
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