I. Puissances de dix

I. Puissances de dix
1. Puissance de 10 d’exposant positif
a. Exemple
Raymond Queneau a écrit un recueil de poèmes intitulé « Cent mille milliards de poèmes »
1. Ecrire ce nombre.
2. Essayer de l’écrire sur la calculatrice.
3. Ce livre peut-il exister ?
Chercher les définitions des préfixes déca hecto, kilo, mega, giga, tera,
b. Définition
Pour tout entier n positif :
10n = 10 × 10 × 10 × ×10 = 1000
n fois
0
n zéros
n est appelé l’exposant.
c. Exemples
Le carré et le cube :
2
10 = 10 × 10 = 100
103 = 10 × 10 ×10 = 1000
2. Propriétés
a. Exercice
Calculer 102 × 103
Trouver un moyen simple de calculer 1012 × 1025
b. Propriété
Pour multiplier des puissances de dix d’exposants positifs, on ajoute leurs exposants.
n et p sont des nombres entiers positifs : 10n × 10 p = 10n + p
c. Exercice
Trouver un moyen simple de calculer (102 )
3
d. Propriété
Pour élever une puissance dix à une autre puissance, on multiplie entre eux les deux
exposants.
a et b sont des nombres entiers positifs : (10a ) = 10a×b
b
e. Exercice
Trouver un moyen simple de calculer
4ème
105
103
1
f. Propriété
Pour calculer le quotient d’une puissance 10 par une autre puissance de 10, on soustrait
l’exposant du bas à celui du haut.
10n
n et p sont des nombres entiers positifs :
= 10n − p
p
10
3. Puissance de dix d’exposant négatif
a. Exemple
1
1
1
,
,
10
1000
1012
Chercher les définitions des préfixes déci, centi, milli, micro, nano, pico, femto, atto.
Le diamètre d’un atome d’hydrogène est égal à : 0, 000 000 000 074 m.
Comment peut-on l’écrire plus rapidement ?
Avec la calculatrice calculer
b. Définition
Pour tout entier n positif :
1
10 − n = n = 0, 00 01
10
n zéros
n est appelé l’exposant.
c. Exemples
1
1
= 2 = 10 −2
10 × 10 10
1
1
= 3 = 10−3
10 × 10 × 10 10
d. Propriétés
On a les mêmes propriétés qu’avec les exposants positifs :
n et p sont des nombres entiers négatifs : 10n × 10 p = 10n + p
a et b sont des nombres entiers négatifs : (10a ) = 10a×b
b
10n
n et p sont des nombres entiers négatifs :
= 10n − p
p
10
4. Exemples
Calculer
105 × 10−2
10 2
10−2
B = −3
10
A=
4ème
2
II. Notation scientifique, ordre de grandeur
1. Définition
Tout nombre décimal peut s'
écrire sous la forme a × 10 n , où a est un nombre décimal tel que
1 ≤ a < 10 , et n est un entier relatif. C'
est la notation scientifique de ce nombre.
2. Exemples :
Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :
Nombres
0,000021
Ecritures scientifiques
2,1× 10-5
-3526
−3,526 ×103
10−2
1× 10−2
Ecriture décimale
Ecriture scientifique
19032,58
1,903258 × 104
écriture à virgule flottante à 7
chiffres significatifs
décimal compris entre 1 et 10
exclu
Ordre de grandeur
1× 104 ≈ 10 4
on remplace le décimal par 1 ou 10
suivant qu’il est supérieur ou
inférieur à 5.
III. Puissance d’un nombre non nul
1. Définition
Pour tout nombre relatif a non nul et pour tout entier positif n supérieur à 1 :
1
a n = a × a × a × × a et a − n = n .
a
n fois
2. Exemples
25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
52 = 5 × 5
1 1
3−2 = 2 =
3
9
3. Remarques
a =1
0
a1 = a
4. Propriétés
On a les mêmes propriétés qu’avec les puissances de 10 :
n et p sont des nombres entiers relatifs : a n × a p = a n + p
a et b sont des nombres entiers relatifs :
(a )
n et p sont des nombres entiers relatifs :
an
= an− p
p
a
4ème
n
p
= a n× p
3