I. Puissances de dix

4
ème
1
I. Puissances de dix
1. Puissance de 10 d’exposant positif
a. Exemple
Raymond Queneau a écrit un recueil de poèmes intitulé « Cent mille milliards de poèmes »
1. Ecrire ce nombre.
2. Essayer de l’écrire sur la calculatrice.
3. Ce livre peut-il exister ?
Chercher les définitions des préfixes déca hecto, kilo, mega, giga, tera,
b. Définition
Pour tout entier n positif :
10 10 10 10 10 1000 0
n
n fois n zéros
= × × × × =
n est appelé l’exposant.
c. Exemples
 Le carré et le cube :
2
3
10 10 10 100
10 10 10 10 1000
= × =
= × × =
2. Propriétés
a. Exercice
 Calculer
2 3
10 10
×
 Trouver un moyen simple de calculer
12 25
10 10
×
b. Propriété
Pour multiplier des puissances de dix d’exposants positifs, on ajoute leurs exposants.
n et p sont des nombres entiers positifs :
10 10 10
n p n p
+
× =
c. Exercice
 Trouver un moyen simple de calculer
(
)
3
2
10
d. Propriété
Pour élever une puissance dix à une autre puissance, on multiplie entre eux les deux
exposants.
a et b sont des nombres entiers positifs :
(
)
10 10
b
a a b
×
=
e. Exercice
 Trouver un moyen simple de calculer
5
3
10
10

4
ème
2
f. Propriété
Pour calculer le quotient d’une puissance 10 par une autre puissance de 10, on soustrait
l’exposant du bas à celui du haut.
n et p sont des nombres entiers positifs : 10
10
10
n
n p
p
−
=
3. Puissance de dix d’exposant négatif
a. Exemple
 Avec la calculatrice calculer
12
1 1 1
, ,
10 1000 10
Chercher les définitions des préfixes déci, centi, milli, micro, nano, pico, femto, atto.
Le diamètre d’un atome d’hydrogène est égal à : 0, 000 000 000 074 m.
Comment peut-on l’écrire plus rapidement ?
b. Définition
Pour tout entier n positif :
zéros
1
10 0,00 01
10
n
n
n
−
= =
n est appelé l’exposant .
c. Exemples
2
2
3
3
1 1 10
10 10 10
1 1
10
10 10 10 10
−
−
= =
×
= =
× ×
d. Propriétés
On a les mêmes propriétés qu’avec les exposants positifs :
n et p sont des nombres entiers négatifs :
10 10 10
n p n p
+
× =
a et b sont des nombres entiers négatifs :
(
)
10 10
b
a a b
×
=
n et p sont des nombres entiers négatifs : 10
10
10
n
n p
p
−
=
4. Exemples
Calculer
5 2
2
2
3
10 10
10
10
10
A
B
−
−
−
×
=
=

4
ème
3
II. Notation scientifique, ordre de grandeur
1. Définition
Tout nombre décimal peut s'écrire sous la forme
n
a10×, où a est un nombre décimal tel que
101
<
≤
a , et n est un entier relatif. C'est la notation scientifique de ce nombre.
2. Exemples :
Donner l’écriture scientifique des nombres suivants :
Nombres Ecritures scientifiques
0,000021
-5
2,1 10
×
-3526
3
3,526 10
− ×
2
10
−
2
1 10
−
×
Ecriture décimale Ecriture scientifique Ordre de grandeur
19032,58
écriture à virgule flottante à 7
chiffres significatifs
4
1,903258 10
×
décimal compris entre 1 et 10
exclu
4 4
1 10 10
× ≈
on remplace le décimal par 1 ou 10
suivant qu’il est supérieur ou
inférieur à 5.
III. Puissance d’un nombre non nul
1. Définition
Pour tout nombre relatif a non nul et pour tout entier positif n supérieur à 1 :
n
n fois
a a a a a
= × × × ×
et
1
n
n
a
a
−=
.
2. Exemples
5
2
2
2
2 22222
5 5 5
1 1
33 9
−
=××××
= ×
= =
3. Remarques
0 1
1
a a a
= =
4. Propriétés
On a les mêmes propriétés qu’avec les puissances de 10 :
n et p sont des nombres entiers relatifs :
n p n p
a a a
+
× =
a et b sont des nombres entiers relatifs :
(
)
p
n n p
a a
×
=
n et p sont des nombres entiers relatifs :
n
n p
p
a
a
a
−
=