Intégration

Intégration
1 Questions de cours
1. Énoncer et montrer le théorème d’inté-
gration par parties.
2. Énoncer et montrer le théorème de
changement de variables.
3. Montrer que si f∈Cm([a, b]) est con-
tinue, positive, d’intégrale nulle sur [a, b],
alors fest nulle.
2 Applications
1. Soit f:R→Rcontinue, et soit T > 0.
Montrer que si x7→ Rx+T
xfest constante,
alors fest périodique.
2. Soit f: [a, b]→Rcontinue. Montrer
que si  Rb
af
=Rb
a|f|, alors fest positive
ou négative sur [a, b].
3. Soit f: [0,1] →Rcontinue d’intégrale
1/2 sur [0,1]. Montrer que fadmet un
point fixe.
3 Exercices
1. Soit F={f∈C1([0,1],R)|f(0) =
0, f(1) = 1}. Déterminer
inf
f∈FZ1
0
|f′−f|.
2. Montrer le lemme de Riemann-
Lebesgue : si fest continue de [a, b] dans
C, alors In=Rb
af(t)eintdttend vers 0
quand ntend vers ∞.
3. Montrer le lemme de Gronwall : soit
f: [0,1] →R+continue, telle qu’il
existe a∈Rtel que pour tout t∈]0,1]
f(t)6aZt
0
f(u)du.
Alors fest nulle.
4. Soit f: [0,1] →Rcontinue d’intégrale
nulle. On pose α= min fet β= max f.
Montrer que
Z1
0
f26−αβ.
5. Soient a, b ∈Ret f∈C([a, b],C). Don-
ner une CNS sur fpour avoir
Zb
af
=Zb
a|f|.
1

6. Soit a < b ∈R, et E=C0([a, b],R). On
appelle fl’ensemble des fonctions C2sur
[a, b] s’annulant ainsi que leur dérivée en
aet b. Soit f∈E. Montrer qu’il existe
g∈Ftelle que g′′ =fsi et seulement si
Zb
af=Zb
atf(t)dt= 0.
7. Soient fune fonction continue impaire
sur R,gcontinue sur R. Montrer que
pour tout a∈R, il existe c∈Rtel que
f(c) = g(c)Zc
af.
8. Montrer que toute fonction continue
[a, b]→Rpossède une unique primitive
d’intégrale nulle sur [a, b].
9. Soit f: [0,1] →Rcontinue. On définit
F: [0,1] →Rpar
F(x) = Z1
0
min(x, t)f(t)dt.
Montrer que Fest de classe C2, et cal-
culer F′′(x).
En déduire que
F(x) = Zx
0Z1
uf(t)dtdu.
2

4 Corrections
4.1 Applications
1. Il suffit de prendre une primitive Fde f, et alors x7→ F(x+T)−F(x) est constante,
donc de dérivée nulle.
2. On regarde le cas Rb
af>0 (le cas négatif est similaire). On a alors Rb a|f| − f= 0 par
linéarité de l’intégrale, or |f| − fest positive, et donc nulle.
3. ϕ:t7→ f(t)−test continue sur [0,1], et R1
0ϕ= 0. Donc ϕs’annule.
4.2 Exercices
1. À toute fonction f∈Fon associe g:x7→ f(x)e−x: on a alors f′−f= exp ×g′. Quand
fparcourt F,gparcourt G={g∈C1([0,1],R)|g(0) = 0, g(1) = 1/e}, et donc h=g′
parcourt l’ensemble des fonctions continues d’intégrale 1/e sur [0,1]. En résumé :
inf
f∈FZ1
0
|f′−f|= inf
g∈GZ1
0
ex|g′(x)|dx= inf
h∈HZ1
0
ex|h(x)|dx.
Or pour h∈H, on a clairement
Z1
0
ex|h(x)|dx>Z1
0
|h(x)|dx= 1/e.
Montrons que 1/e est bien la borne inférieure cherchée. On construit une suite hntelle
que R1
0ex|h(x)|dxtende vers 1/e.
On prend hndéfinie par : haffine sur [0,1/n] avec h(0) = 2n/e,h(1/n) = 0, et hnulle
sur [1/n, 1]. Un calcul rapide nous donne
Z1
0
ex|hn(x)|dx6e1/n
e,
et donc on a bien le résultat.
2. On commence par le montrer pour les fonctions caractéristiques, puis pour les fonctions
en escaliers, puis pour les fonctions continues.
Si fest la fonction caractéristique de [a, b], on a
Zb
af(t)eintdt=Zβ
αeintdt=1
neinβ −einα.
On a donc |In|62
n.
Si fest une fonction en escalier, alors on peut l’écrire comme combinaison linéaire de
fonctions caractéristiques, et la linéarité de l’intégrale et de la limite donne le résultat.
3

Si fest une fonction continue quelconque, alors on trouve gen escalier telle que |f−g|<
ε. On a alors
|In|6
Zb
a(f(t)−g(t))eintdt
+
Zb
ag(t)eintdt
6Zb
a|f(t)−g(t)|dt+
Zb
ag(t)eintdt
6(b−a)ε+
Zb
ag(t)eintdt
Le deuxième terme tend vers 0, et donc on a bien lim In= 0.
3. On pose F:t7→ Rt
0f(u)du.Fest dérivable, et l’hypothèse est F′6aF . Donc la
fonction g:t7→ F(t)e−at a une dérivée négative, et donc est décroissante sur ]0,1]. Or
g(0) = F(0) = 0, et est positive car fl’est, et donc gest nulle. Donc Fest nulle, et donc
faussi.
4. f−αet β−fsont des fonctinos positives, et donc
06Z1
0
(f−α)(β−f)
= (β+α)Z1
0
f−αβ −Z1
0
f2
=−αβ −Z1
0
f2
D’où le résultat demandé.
5. Supposons qu’on ait l’égalité demandée. On pose Rb
af=reiθ, où r=
Rb
af
et θ∈R. On
pose g(t) = f(t)e−iθ. On a alors
Zb
ag=e−iθ Zb
af=r∈R.
Donc Rb
ag=Rb aℜ(g).
Or on a |g|=|f|, et l’hypothèse du départ nous donne Rb
a|g|=Rb aℜ(g), et donc
Zb
a(|g| − ℜ(g)) = 0.
Or la fonction |g| − ℜ(g) est réelle, continue, positive, et donc elle est nulle. Finalement,
gest une fonction réelle positive.
Donc fest de la forme t7→ g(t)eiρ, où ρ∈R. Réciproquement, ces fonctions conviennent.
6. On note Gl’ensemble des fonctions f∈Equi s’écrivent sous la forme g′′ avec g∈F.
Soit f∈G,f=g′′. On a alors
Zb
af=Zb
ag′′ = [g′(t)]b
a= 0,
4

et
Zb
atf(t)dt=Zb
atg′′(t)dt
= [tg′(t)]b
a−Zb
ag′(t)dt
= [tg′(t)−g(t)]b
a
= 0
Réciproquement, supposons que les moments d’ordre 0 et 1 de fsoient nuls. On pose
f1(x) = Zx
afet g(x) = Zx af1.
Alors gest C2sur [a, b] et g′′ =f. De plus
g′(a) = f1(a) = 0 et g(a) = 0,
et
g′(b) = f1(b) = Zb
af(t)dt= 0,
et
g(b) = [tf1(t)]b
a−Zb
atf(t)dt= 0.
7. On pose h=f−g×Rx
af.fest définie et continue sur R,h(a) = f(a), et h(−a) =
f(−a) = −f(a) par imparité de f(deux fois). Donc h(a)h(−a)60, et donc par théorème
des valeurs intermédiaires, hs’annule entre −aet a.
8. Pour l’existence, soit g(x) = Rx
af. Alors
F:x7→ g(x)−Zb
ag
répond au problème.
L’unicité vient du fait que toutes les primitives de fsont égales à constante près.
9. Par Chasles, on coup l’intégrale en deux parties
F(x) = Zx
0
tf(t)dt+xZ1
xf(t)dt.
Fest donc dérivable, et
F′(x) = xf(x) + Z1
xf(t)dt−xf(x) = Z1 xf(t)dt.
Donc Fest C2, et F′′(x) = −f(x).
On a
F′(u) = Z1
uf(t)dt,
et comme F(0) = 0
F(x) = Zx
0
F′(u)du=Zx
0Z1
uf(t)dtdu.
5