complements sur les matrices

COMPLEMENTS SUR LES MATRICES
M´ethode du pivot
1. Soit A=2 1
1 3. On effectue un pivot sur Apour la transformer en Ipar une suite
d’op´erations :
A=A0=⇒A1=⇒A2=⇒A3=⇒A4=I .
(a) Ecrire `a chaque ´etape Ai=⇒Ai+1 la matrice Mitelle que Ai+1 =MiAi.
(b) Calculer le produit M=M3M2M1M0. Que repr´esente la matrice Mpour A?
2. Soit A=
3 2 1
1 0 1
2 1 0
. Effectuer les mˆemes op´erations que dans l’exercice pr´ec´edents (il y
en a plus).
Transposition. Matrices sym´etriques et antisym´etriques
3. Calculer la transpos´ee des matrices suivantes :
A=
3 2 1
1 0 1
2 1 0
, B =321
101, C =
3 2
1 0
2 1
, D =321.
V´erifier que t (BC) = t Ct B.
4. (a) Montrer que les matrices E(i,i)pour 1 ≤i≤pet 1
2(E(i,j)+E(j,i)) pour 1 ≤i < j ≤p
forment une base de S(p,R). En d´eduire que la dimension de S(p,R) est p(p+ 1)/2.
(b) Montrer que les matrices 1
2(E(j,i)−E(i,j)) pour 1 ≤i < j ≤pforment une base de A(p,R).
En d´eduire que la dimension de A(p,R) est p(p−1)/2.
(c) On consid`ere les applications ϕet ψde M(p,p;R) dans lui mˆeme d´efinies par
ϕ(M) = 1
2(M+t
M) et ψ(M) = 1
2(M−t
M).
.
Montrer que ce sont des applications lin´eaires et trouver leur noyau et leur image. En remar-
quant que M=ϕ(M) + ψ(M) quel r´esultat en d´eduit-on?
(d) Lorsque p= 2 ´ecrire les matrices des applications ϕet ψdans la base “canonique”
1 0
0 0,0 1 0 0,0 0 1 0,0 0 0 1 .
1

5. Si A= (aij ) est une matrice carr´ee (n,n), on appelle “trace” de Aet l’on note tr Ala
somme
n
P
i=1
aii. Montrer que l’application A−→ tr Aest une application lin´eaire de M(n,n;R)
dans R, dont on pr´ecisera le noyau et l’image, et qui v´erifie les propri´et´es suivantes :
(a) tr( t A) = tr A, (b) tr(AB) = tr(BA) , (c) Si Pest inversible, tr(P AP −1) = tr A.
6. On appelle matrice magique de M(3,3; R) une matrice A= (aij ) telle que les huit sommes
ai1+ai2+ai3(1 ≤i≤3) , a1j+a2j+a3j(1 ≤j≤3) , a11 +a22 +a33 et a13 +a22 +a31
soient ´egales. On notera s(A) la valeur commune de ces sommes.
(a) Montrer que l’ensemble Mades matrices magiques est un sous-espace de M(3,3; R).
(b) Si Aest antisym´etrique, que vaut s(A) ? D´eterminer toutes les matrices antisym´etriques de
Ma
(c) Trouver toutes les matrices sym´etriques de Ma.
(d) En d´eduire toutes les matrices magiques. Quelle est la dimension de Ma?
7. Soit Xet Ydeux matrices colonnes de M(p,1; R).
(a) V´erifier que t XY =t Y X =< X,Y >
(b) Soit Y6=Oun vecteur de Rnfix´e. Soit fl’application de Rndans M(n,n;R) d´efinie par
f(X) = Xt Y. Montrer qu’elle est lin´eaire. Trouver son noyau et son image. Si n= 2, ´ecrire sa
matrice dans les bases canoniques de Rnet de M(n,n;R).
8. Soit Aune matrice sym´etrique (n,n), et Xet Ydans Rn. On pose ϕ(X,Y ) = t XAY .
(a) Montrer que ϕ(X,Y ) = ϕ(Y,X).
(b) Montrer que ϕest lin´eaire par rapport `a chaque variable (l’autre ´etant fix´ee).
(c) On prend A=6 2
2 9, et soit fl’application lin´eaire d´efinie par f(X) = P X o`u l’on a pos´e
P=2−1
1 2 . Si X0=P X, calculer ϕ(X,X) en fonction de X0et en d´eduire le signe de ϕ(X,X).
Calcul par blocs
9. Soient A, B, C, D quatre matrices (n,n). Montrer que si Aest inversible, alors
A B
C D=I O CA−1IA B O D −CA−1B.
10. Montrer que si Aet Dsont des matrices carr´ees inversibles de formats respectifs (p1,p1)
et (p2,p2) alors M=A B
O Dest inversible et
M−1=A−1−A−1BD−1
O D−1.
2

11. Soient Aet Dsont des matrices carr´ees de formats respectifs (p1,p1) et (p2,p2), et
M=A B
O D.
On suppose que BD =O. Calculer Mn.
Application : calculer Mnlorsque M=
1 1 1 −1
0 2 1 −1
0 0 −1 1
0 0 −1 1
.
3

Corrig´e
M´ethode du pivot
1. On effectue tout d’abord les op´erations de premi`ere esp`ece.
A=2 1
1 3=⇒0−5
1 3 =A1.
On a multipli´e la deuxi`eme ligne par −2, et on l’a ajout´ee `a la premi`ere. Cela revient `a multiplier
`a gauche par la matrice
M0=1−2
0 1 .
On a alors
M0A=A1.
Ensuite
A1=0−5
1 3 =⇒0−5
1 0 =A2.
On a multipli´e la premi`ere ligne par 3/5, et on l’a ajout´ee `a la seconde. Cela revient `a multiplier
`a gauche par la matrice
M1=1 0
3/5 1.
On a alors
M1A1=A2.
On effectue ensuite les op´erations de deuxi`eme esp`ece. (Il y en a une seule ici). On divise la
premi`ere ligne par le pivot.
A2=0−5
1 0 =⇒0 1 1 0=A3.
Cela revient `a multiplier `a gauche par la matrice
M2=−1/5 0
0 1.
On a alors
M2A2=A3.
On effectue enfin les op´erations de troisi`eme esp`ece en permutant les lignes. (Il y en a une seule
ici).
A3=0 1
1 0=⇒1 0 0 1=I .
Cela revient `a multiplier `a gauche par la matrice
M3=0 1
1 0.
On a alors
M3A3=I .
5