1 Exercices d`introduction

Université Paris 7 - Denis Diderot
2013-2014
TD 6 & 7 : Dynamique et interactions
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Exercices d’introduction
Exercice 1
1. Décollage - Le module de la poussée totale des réacteurs d’un Boeing 747 encore sur la
−
→
piste est |Fp | = 8.8 × 105 N. La masse de cet avion au décollage est m = 3.0 × 105 kg.
(a) Quelle est l’accélération au décollage ?
(b) Si l’avion part du repos, quelle sera la vitesse après 10s.
On néglige les forces de frottement exercées par l’air et le sol.
2. Arrêt - Montrer que la distance d’arrêt d (en négligeant les frottements de l’air) d’un
véhicule à roue ne dépend que de sa vitesse initiale, de l’accélération de la gravité g et
d’un coefficient de frottement µ. A.N. : combien vaut d pour un véhicule lancé sur des
rails à v0 = 200 km/h qui freine et dont les roues se bloquent. On donne le frottement
cinétique acier sur acier : µc = 0, 4.
3. J’en parlerai à mon cheval - Selon le cheval (qui croı̂t connaı̂tre les lois de la dynamique), plus il tire sa remorque vers l’avant, plus la remorque le tire vers l’arrière :
il se fatigue donc inutilement. Expliquez lui pourquoi la remorque avance quand même
(faites un schéma pour qu’il comprenne mieux).
4. Poulie
Une masse M est posée sur une balance, laquelle indique 12 kg. On relie maintenant M
à une autre masse m avec une corde inextensible et de masse négligeable. La corde part
à la verticale vers le haut depuis M , passe dans une poulie A, et m pend à la verticale
de A.
(a) On observe que ce système est statique. Que peut-on dire sur m?
(b) La balance indique maintenant 6, 5kg. Pourquoi? En déduire la masse de m.
On supposera que la poulie transmet intégralement la tension de la corde.
5. - Half dome Une alpiniste est debout sur une dalle de granit inclinée alors qu’elle est en
train de remonter vers un sommet. Elle prend une petite pause pour jauger du chemin
encore à parcourir.
(a) Sachant que les semelles de ses chaussures ont un coefficient de frottement statique
µs égal à 1, quelle est la plus grande pente sur laquelle elle peut se tenir sans glisser ?
(b) Supposant que ses vêtements ont un coefficient de frottement statique µs égal à 0,3,
que se passe-t-il si elle s’assied pour profiter du paysage ?
6. - Physique de caserne Un pompier dont le poids est de 712 N se laisse glisser le long
du mât de la caserne pour rejoindre son camion. Son accélération lors de la glissade est
de 3 m.s−2 , dirigée vers le bas. Quelles sont :
(a) La norme et la direction de la force verticale subie par le pompier du fait de son
contact avec le mât ?
(b) La magnitude et la direction de la force verticale appliquée par le pompier sur le
mât ?
2
Mise en application
Exercice - Glaçon en laisse
On considére un bloc de glace de 5kg sur une surface horizontale pour laquelle µs = 0.2 et
−
→
µc = 0.1. On le tire avec un fil en exerçant une force F0 de module égal à 10 N, le fil a un
angle θ = 55◦ par rapport à l’horizontale, on tire vers la droite (dans le sens des x croissants).
1. Trouver le module de la force de frottement sur le bloc dans les cas suivants :
(a) Le bloc est au repos.
(b) Il est en mouvement.
−
→
2. Trouver l’accélération du bloc si on considére que la force appliquée F0 ne change pas
d’orientation et que le bloc se déplace :
(a) vers la droite (dans le sens des x croissants).
(b) vers la gauche (dans le sens des x décroissants).
3. Si maintenant on peut faire varier l’orientation du fil entre 0 et 90◦ et qu’on tire le bloc
vers la droite, quel angle donne l’accélération maximale au bloc ?
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Exercice - Chute d’une table
Un bloc de masse M = 25kg repose sur le plan horizontal d’une table. A cette masse M
est rattachée une autre masse m = 15kg, pendante dans le vide. La corde est supposée
inextensible et de masse négligeable; elle passe par une poulie transmettant intégralement la
tension.
1. On néglige d’abord les frottements de M avec le sol. Que valent les accélérations des
masses m et M ?
2. Soit µs le coefficient de frottement statique de M . A quelle condition la masse M
retient-elle la masse m de la chute ?
3. On suppose que µs = 0.4. Rappeler sa dimension. M retient-elle m dans ce cas ?
Calculer à nouveau avec quelle accélération la masse m chute de la table. On introduira
le coefficient de frottement cinétique µc .
Exercice - Gravitation sur Terre
1. Pesanteur Terrestre.
(a) Exprimer la force gravitationnelle subie par une masse m située à une hauteur h au
dessus du sol terrestre. On note RT = 6400km le rayon terrestre, MT = 6 1024 la
masse de la Terre, et GN = 6.67 10−11 SI la constante de Newton.
(b) En déduire la norme de l’accélération de pensanteur g. Calculer la valeur de g au
sol, en précisant son unité, pour h = 10 km, h = 20 km, et h = 100 km. Que
peut-on dire sur ce champ de pesanteur?
2. Chute libre On lâche sans vitesse initiale une masse m depuis une hauteur h au dessus
du sol. On suppose le champ de pesanteur constant et g = 9.81 m.s−2 . On rep?re la
position verticale par la variable z, l’axe (Oz) est orienté vers le haut, et l’origine est
prise à la surface du sol. On néglige tous frottements.
(a) Ecrire la loi de Newton et en déduire l’équation différentielle du mouvement.
(b) En déduire l’équation horaire du mobile.
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(c) Exprimer puis calculer le temps mis pour atteindre le sol, ainsi que la vitesse
d’impact au sol.
(d) Si maintenant on saute d’un hélicoptère en vol stationnaire à h = 2km d’altitude.
Que vaut cette vitesse d’impact ? Est-ce réaliste? Commenter.
3. Chute libre - bis Avec les mêmes conventions que précédemment, on lance maintenant
vers le haut une balle de m = 100g avec une vitesse initiale de 5 m.s−1 .
(a) Quelle hauteur atteint la balle avant de redescendre ?
(b) Que vaut la vitesse et l’accélération au point le plus haut ?
(c) Que vaut la vitesse d’impact au sol ?
4. Tir à l’arc. On tire maintenant une flèche avec une vitesse initiale v0 faisant un angle α
avec l’horizontale. On néglige encore les frottements.
(a) Représenter qualitativement la trajectoire. De quel type de courbe s’agit-il ?
(b) Ecrire la seconde loi de Newton, et la projeter sur les axes verticaux et horizontaux.
(c) Déterminer l’équation horaire x(t) et z(t). Avec quel angle faut-il tirer pour maximiser la portée du tir ?
5. Notion de vitesse de libération et trou noir
Quand on tire un projectile à la verticale, il retombe, a priori, comme on a vu en Question
2. Imaginons maintenant que l’on tire ce projectile de plus en plus fort, toujours depuis
le sol.
(a) Dans ce cas, pourquoi les calculs de la question 2 deviennent-ils inexacts ?
(b) En fait si l’on tire assez fort, on peut s’échapper du champ gravitationnel terrestre.
Déterminer par analyse dimensionnelle une expression pour cette vitesse v0 , dite
vitesse de libération au sol, en fonction des paramètres du problème qui vous semblent pertinents. Qualitativement, quels calculs proposez-vous pour déterminer son
expression exacte ?
(c) Le nombre sans dimension vaut racine de 2. La surface d’un trou noir est définie
par le fait que même la lumière ne peut s’échapper de cette surface. En déduire
une loi reliant le rayon et la masse d’un trou noir. Qu’a t-on implicitement supposé
dans ce calcul ?
Exercice - Ressort horizontal
Un ressort sans masse de longueur à vide l0 et de constante de rappel k est posé sur une
table horizontale. Il n’y a aucun frottement entre la table et le ressort. Une des extrémités
du ressort est fixe, l’autre est mobile selon un axe Ox horizontal. On prend pour origine
le point oé se trouve l’extrémité mobile du ressort lorsque la longueur est l0 . A l’extrémité
mobile du ressort, on attache un bloc de masse m. On suppose qu’il n’y a aucun frottement
entre la table et le bloc.
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1. Ecrire la force de rappel exercée par le ressort à son extrémité mobile lorsque celle-ci se
trouve á un point d’abscisse x.
2. Quelle est l’abscisse de la position d’équilibre du bloc ?
3. On pose le bloc au point d’abscisse x1 et on le lâche sans vitesse initiale. Quel est le
type de mouvement décrit par le bloc ? Ecrire la fonction x(t) donnant la position du
bloc au cours du temps.
Exercice - Téléviseur
Les anciens téléviseurs fonctionnaient avec un canon à électrons, les électrons étant ensuite
déviés par un champ électrique pour atteindre tel ou tel pixel de l’écran. On se propose
d’étudier la dynamique de ce problème le long d’un seul axe. On rappelle la masse de
l’électron me = 9.10−31 kg.
On suppose qu’un faisceau horizontal d’électrons pénètre dans une cavité de longueur L = 5
~ dirigé vers le bas, avec ||E||
~ = 103 V/m. On a
cm, où règne un champ électrique constant E
fait le vide dans cette cavité.
1. Faire le bilan des forces appliquées à un électron. Montrer qu’une des forces est négligeable.
2. En déduire les équations horaires de la trajectoire. On suppose que les électrons arrivent
dans la cavité avec une vitesse quasi-relativiste, v0 = 5 107 m.s−1 .
3. Avec quel angle par rapport à l’horizontale l’électron sort-il de la cavité ?
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Approfondissement
Exercice - Ah la chaı̂ne
Une chaı̂ne constituée de 5 maillons pesant chacun 100g est soulevée verticalement avec une
−
accélération constante de norme ||→
a || = 2, 5 m.s−2 .
1. Retrouver les normes de :
(a) La force exercée par le maillon 1 sur le maillon 2.
(b) La force exercée par le maillon 2 sur le maillon 3.
(c) La force exercée par le maillon 3 sur le maillon 4.
(d) La force exercée par le maillon 4 sur le maillon 5.
→
−
2. La norme de la force F exercée sur le maillon 5 par la personne qui soulève la chaı̂ne.
3. la résultante des forces s’appliquant sur chaque maillon.
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Exercice - Transbordement
Deux bateaux la Pinta et la Niña se dirigent l’un vers l’autre en suivant deux directions
paralléles. Parvenus l’un en face de l’autre, deux sacs de méme masse m sont échangés. On
note mP et mN la masse respective des deux bateaux (sacs inclus). Aprés l’échange la Pinta
reste immobile alors que l’autre est repoussé dans sa direction d’origine. En déduire :
1. La façon dont les sacs ont été échangés.
2. Une limite inférieure sur la masse m.
Exercice - Vélodrome
Deux cyclistes se poursuivent sur une piste ovale de largeur l = 5 m, de périmètre intérieur
250 m et aux virages relevés de h = 3.22 m et de rayon r = 20 m.
1. Dans un premier temps les cyclistes sont immobiles dans la pente du virage.
(a) Faire un schéma. à quelle condition le cycliste ne glisse-t-il pas le long de la pente ?
(b) écrire cette condition comme une relation entre µs le coefficient de frottement statique et θ l‘angle de la pente. Représenter graphiquement cette condition.
(c) Sachant que µs ∼ 1 pour un pneu sur une piste, en déduire la pente maximale.
2. Les cyclistes démarrent ensuite depuis le haut du virage par une trajectoire directe jusque
dans la ligne droite (voir schéma)
Trajectoire du cycliste (en rouge) vue de côté et de dessus. Seul le virage est relevé.
(a) Quelle est la longueur parcourue lors de la descente ? En déduire son angle avec
l‘axe verticale.
(b) Dans le cas où le cycliste se laisse descendre et en négligeant les frottements de
l‘air et du sol, quelle est sa vitesse en bas de la pente ? Ce résultat dépend-il de la
pente ? Pourquoi ?
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(c) Le cycliste fournit une accélération ad = 3 m/s2 . Par quel mécanisme l‘accélération
supplémentaire est-elle transmise au sol ? Calculer la vitesse finale puis comparer
avec celle obtenue à la question précédente.
3. le cycliste parcourt le virage à une vitesse de module constant v
(a) écrire l’expression du vecteur vitesse dans le virage
(b) en déduire le module de l’accélération que subit le cycliste. Comment s’appelle-telle ?
(c) écrire l’angle que doit prendre le cycliste pour contrer cette accélération en fonction
de sa vitesse et du rayon de courbure. AN. Si v = 15 m/s avec quel angle passe-t-il
le virage à la corde ? À quelle distance de la corde est-il à angle droit avec la piste ?
(d) Quel intérêt pour lui d’avoir une piste inclinée plutôt que de s’incliner lui-même ?
4. Accident : la roue avant se brise et deux blocs glissent indépendament avec la même
vitesse initiale: le cycliste de coefficient de frottement cinétique µcc = 0.8 et vélo µcv =
0.4.
(a) Lequel s’arrête en premier ? Où est passée l’énergie initiale ?
(b) écrire les équations horaires. Écrire le temps d’arrêt du cycliste en fonction de celui
du vélo.
5. Accident bis : le deuxième cycliste rentre dans le premier et chute à son tour.
(a) Les deux cyclistes sont l’un sur l‘autre. Que vaut µc ? Que vaut la force de frottement cinétique ?
Exercice - Piste noire
Lors d’un descente à ski, le skieur est freiné à la fois par les frottements de l’air sur son
corps et le frottement solide de ses skis sur la neige. On suppose que l’inclinaison de la pente
est θ = 40, 0◦ , la neige est fraı̂che et a un coefficient de frottement cinétique µc = 0, 0380,
la masse du skieur et de son équipement est m = 85, 0 kg. La section efficace du skieur
(en position de shuss) est A = 1, 30 m2 , le coefficient de traı̂née est C = 0, 150 et la masse
volumique de l’air est ρ = 1, 20 kg.m−3 .
1. Quelle est la vitesse limite atteinte par le skieur ?
2. Si le skieur était capable de faire varier son coefficient de traı̂née C d’une petite quantité
dC en ajustant par exemple la position de ses mains dans le shuss, quelle serait la
variation correspondante de sa vitesse limite ?
Exercice - Gravitation dans le système solaire
On modélise le mouvement de la Terre autour du Soleil par une trajectoire circulaire de
rayon R centrée autour du Soleil, pris comme origine du repère. La Terre est donc un point
M de vecteur position donné par
~ (t) = R cos (ωt)~i + R sin (ωt)~j
OM
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~
1. Calculer le vecteur vitesse, puis le vecteur accélération. Montrer que ~a = −w2 OM
2. Sur un schéma, faire figurer le vecteur accélération ainsi que le vecteur force gravitationnelle exercée par le Soleil sur la Terre.
3. Fort de ce schéma, que nous dit la loi de Newton dans ce cas?
4. En notant que la vitesse angulaire ω est liée à la période de révolution T par ω = 2π/T ,
retrouver la loi de Kepler:
GM
R3
=
2
T
4π 2
où M est la masse du Soleil.
Exercice - Equilibre de trois masses
Une masse m est soutenue par deux cordes. Ces cordes partent de m, et passent par deux
poulies A et B situées au même niveau par rapport à l’horizontale. A l’autre extrémité de
ces cordes, on attache respectivement une masse m1 et m2 . Ces deux dernières masses se
trouvent à la verticale sous les points A et B. Le point m n’est pas nécessairement équidistant
de A et de B. L’ensemble est statique.
1. Trouver les équations permettant de déterminer les angles α1 et α2 .
2. A quelle condition m est-elle equidistante de A et de B?
3. On choisit m1 = m2 = 1kg. Que se passe t-il si m = 3kg?
4. Montrer plus généralement que m est nécessairement bornée par m1 + m2 dans le cas
statique.
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Exercice - Corde d’alpinisme
Une corde d’alpiniste possède une élasticité qui permet d’amortir les chocs, à tel point que
→
−
lorsqu’elle s’étire elle se comporte comme un ressort. La tension T que la corde pourra
exercer sur un alpiniste sera proportionnelle à son élongation (∆L = L − L0 où L0 est la
longueur de la corde lorsqu’elle n’est pas étirée) :
T = −k∆L
Par contre, une fois étirée, elle reste détendue et il faut plusieurs dizaines de minutes pour
qu’elle reprenne sa forme initiale. On néglige dans tout ce problème la masse de la corde elle
même.
1) Un alpiniste vient de grimper une longueur L0 depuis le dernier piton (clou planté dans
la paroi auquel on accroche la corde). A cette hauteur, il chute. Il va donc tomber d’une
hauteur 2L0 avant que la corde ne commence à se tendre et le retienne.
On étudie tout d’abord la chute de l’alpiniste, en prenant une origine des temps au moment
où celui ci perd l’équilibre et on prend comme origine des altitudes z la position de l’alpiniste
correspondante au moment où la corde commence à se tendre. On choisit l’axe des z est
orienté vers le bas.
1.a) Déterminez la célérité v0 qu’il acquiert avant que la corde ne se tende.
Nous allons maintenant étudier la phase du mouvement où la corde retient l’alpiniste.
On prend comme nouvelle origine des temps le moment où la corde commence à se
tendre et on garde le même repère d’espace.
1.b) Représentez les forces appliquées à l’apiniste en train de chuter pour z > 0, et
écrivez l’équation du mouvement.
1.c) Montrez que pour z > 0, les solutions sont du type :
z(t) = z0 + a cos(ωt) + b sin(ωt) = z0 + A cos(ωt + φ)
Déterminez z0 et ω.
1.d) Déterminez a et b à partir des conditions initiales (z(t = 0) = 0 et ż(t = 0) = v0 ).
1.e) En vous rappelant que cos(x + y) = cos(x) cos(y) −q
sin(x) sin(y), montrez que
l’amplitude de cette oscillation autour de z0 vaut : A =
mg
k
0k
1 + 4 Lmg
.
2) En fait, la constante de raideur k d’une telle corde est inversement proportionnelle à
sa longueur à vide L0 avec une constante de proportionnalité γ. On a k = Lγ0 et donc :
T = −γ ∆L
.
L0
2.a) Quelle est la dimension de γ ?
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2.b) Donnez l’expression de T en fonction de γ, m, L0 , A, g, ω, t, et φ.
q
2.c) Montrez alors que la tension maximale de la corde vaut : kTmax k = mg 1 + 1 +
2.d) On définit pour étudier ce genre de cordes une quantité qu’on appelle facteur
de chute f , le ratio entre la hauteur de chute (avant que la corde ne se tende) et la
longueur à vide de la corde L0 disponible pour amortir la chute. Quelle est la valeur
de f ici ?
2.e) Donner à nouveau l’expression de kTmax k en faisant apparaı̂tre la variable f
dans l’expression.
2.f) Au point le plus bas de la chute, la corde est totalement étirée. Faire un bilan
des forces appliquées à l’alpiniste. Quelle est l’expression de la norme de la tension
→
−
de la corde à cet instant ? On appelle force de choc Fc la résultante des forces subie
par l’alpiniste au point le plus bas de sa chute. Si la corde possède un γ = 8.102 S.I..
Calculer la norme de la force de choc pour un alpiniste de 80 kg. Qu’en pensez-vous ?
2.g) La tension maximale de la corde dépend-elle directement de la hauteur de chute,
de la longueur de corde à vide ou du facteur de chute ? En quoi est-ce intéressant si
on peut disposer de points d’assurage intermédiaires (dégaines fixées sur les pitons) où
la corde peut coulisser entre l’alpiniste et son assureur qui bloque le bout de la corde ?
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4γ
mg
.