1 Exercices d`introduction

Universit´e Paris 7 - Denis Diderot 2013-2014
TD 6 & 7 : Dynamique et interactions
1 Exercices d’introduction
Exercice 1
1. D´ecollage - Le module de la pouss´ee totale des r´eacteurs d’un Boeing 747 encore sur la
piste est |−→ Fp|= 8.8×105N. La masse de cet avion au d´ecollage est m= 3.0×105kg.
(a) Quelle est l’acc´el´eration au d´ecollage ?
(b) Si l’avion part du repos, quelle sera la vitesse apr`es 10s.
On n´eglige les forces de frottement exerc´ees par l’air et le sol.
2. Arrˆet - Montrer que la distance d’arrˆet d(en n´egligeant les frottements de l’air) d’un
v´ehicule `a roue ne d´epend que de sa vitesse initiale, de l’acc´el´eration de la gravit´e get
d’un coefficient de frottement µ. A.N. : combien vaut dpour un v´ehicule lanc´e sur des
rails `a v0= 200 km/h qui freine et dont les roues se bloquent. On donne le frottement
cin´etique acier sur acier : µc= 0,4.
3. J’en parlerai `a mon cheval - Selon le cheval (qui croˆıt connaˆıtre les lois de la dy-
namique), plus il tire sa remorque vers l’avant, plus la remorque le tire vers l’arri`ere :
il se fatigue donc inutilement. Expliquez lui pourquoi la remorque avance quand mˆeme
(faites un sch´ema pour qu’il comprenne mieux).
4. Poulie
Une masse Mest pos´ee sur une balance, laquelle indique 12 kg. On relie maintenant M
`a une autre masse mavec une corde inextensible et de masse n´egligeable. La corde part
`a la verticale vers le haut depuis M, passe dans une poulie A, et mpend `a la verticale
de A.

(a) On observe que ce syst`eme est statique. Que peut-on dire sur m?
(b) La balance indique maintenant 6,5kg. Pourquoi? En d´eduire la masse de m.
On supposera que la poulie transmet int´egralement la tension de la corde.
5. - Half dome Une alpiniste est debout sur une dalle de granit inclin´ee alors qu’elle est en
train de remonter vers un sommet. Elle prend une petite pause pour jauger du chemin
encore `a parcourir.
(a) Sachant que les semelles de ses chaussures ont un coefficient de frottement statique
µs´egal `a 1, quelle est la plus grande pente sur laquelle elle peut se tenir sans glisser ?
(b) Supposant que ses vˆetements ont un coefficient de frottement statique µs´egal `a 0,3,
que se passe-t-il si elle s’assied pour profiter du paysage ?
6. - Physique de caserne Un pompier dont le poids est de 712 N se laisse glisser le long
du mˆat de la caserne pour rejoindre son camion. Son acc´el´eration lors de la glissade est
de 3 m.s−2, dirig´ee vers le bas. Quelles sont :
(a) La norme et la direction de la force verticale subie par le pompier du fait de son
contact avec le mˆat ?
(b) La magnitude et la direction de la force verticale appliqu´ee par le pompier sur le
mˆat ?
2 Mise en application
Exercice - Gla¸con en laisse
On consid´ere un bloc de glace de 5kg sur une surface horizontale pour laquelle µs= 0.2 et
µc= 0.1. On le tire avec un fil en exer¸cant une force −→ F0de module ´egal `a 10 N, le fil a un
angle θ= 55◦par rapport `a l’horizontale, on tire vers la droite (dans le sens des xcroissants).
1. Trouver le module de la force de frottement sur le bloc dans les cas suivants :
(a) Le bloc est au repos.
(b) Il est en mouvement.
2. Trouver l’acc´el´eration du bloc si on consid´ere que la force appliqu´ee −→ F0ne change pas
d’orientation et que le bloc se d´eplace :
(a) vers la droite (dans le sens des xcroissants).
(b) vers la gauche (dans le sens des xd´ecroissants).
3. Si maintenant on peut faire varier l’orientation du fil entre 0 et 90◦et qu’on tire le bloc
vers la droite, quel angle donne l’acc´el´eration maximale au bloc ?
Page 2

Exercice - Chute d’une table
Un bloc de masse M= 25kg repose sur le plan horizontal d’une table. A cette masse M
est rattach´ee une autre masse m= 15kg, pendante dans le vide. La corde est suppos´ee
inextensible et de masse n´egligeable; elle passe par une poulie transmettant int´egralement la
tension.
1. On n´eglige d’abord les frottements de Mavec le sol. Que valent les acc´el´erations des
masses met M?
2. Soit µsle coefficient de frottement statique de M. A quelle condition la masse M
retient-elle la masse mde la chute ?
3. On suppose que µs= 0.4. Rappeler sa dimension. Mretient-elle mdans ce cas ?
Calculer `a nouveau avec quelle acc´el´eration la masse mchute de la table. On introduira
le coefficient de frottement cin´etique µc.
Exercice - Gravitation sur Terre
1. Pesanteur Terrestre.
(a) Exprimer la force gravitationnelle subie par une masse msitu´ee `a une hauteur h au
dessus du sol terrestre. On note RT= 6400km le rayon terrestre, MT= 6 1024 la
masse de la Terre, et GN= 6.67 10−11 SI la constante de Newton.
(b) En d´eduire la norme de l’acc´el´eration de pensanteur g. Calculer la valeur de gau
sol, en pr´ecisant son unit´e, pour h= 10 km, h= 20 km, et h= 100 km. Que
peut-on dire sur ce champ de pesanteur?
2. Chute libre On lˆache sans vitesse initiale une masse mdepuis une hauteur hau dessus
du sol. On suppose le champ de pesanteur constant et g= 9.81 m.s−2. On rep?re la
position verticale par la variable z, l’axe (Oz) est orient´e vers le haut, et l’origine est
prise `a la surface du sol. On n´eglige tous frottements.
(a) Ecrire la loi de Newton et en d´eduire l’´equation diff´erentielle du mouvement.
(b) En d´eduire l’´equation horaire du mobile.
Page 3

(c) Exprimer puis calculer le temps mis pour atteindre le sol, ainsi que la vitesse
d’impact au sol.
(d) Si maintenant on saute d’un h´elicopt`ere en vol stationnaire `a h= 2km d’altitude.
Que vaut cette vitesse d’impact ? Est-ce r´ealiste? Commenter.
3. Chute libre - bis Avec les mˆemes conventions que pr´ec´edemment, on lance maintenant
vers le haut une balle de m= 100g avec une vitesse initiale de 5 m.s−1.
(a) Quelle hauteur atteint la balle avant de redescendre ?
(b) Que vaut la vitesse et l’acc´el´eration au point le plus haut ?
(c) Que vaut la vitesse d’impact au sol ?
4. Tir `a l’arc. On tire maintenant une fl`eche avec une vitesse initiale v0faisant un angle α
avec l’horizontale. On n´eglige encore les frottements.
(a) Repr´esenter qualitativement la trajectoire. De quel type de courbe s’agit-il ?
(b) Ecrire la seconde loi de Newton, et la projeter sur les axes verticaux et horizontaux.
(c) D´eterminer l’´equation horaire x(t) et z(t). Avec quel angle faut-il tirer pour max-
imiser la port´ee du tir ?
5. Notion de vitesse de lib´eration et trou noir
Quand on tire un projectile `a la verticale, il retombe, a priori, comme on a vu en Question
2. Imaginons maintenant que l’on tire ce projectile de plus en plus fort, toujours depuis
le sol.
(a) Dans ce cas, pourquoi les calculs de la question 2 deviennent-ils inexacts ?
(b) En fait si l’on tire assez fort, on peut s’´echapper du champ gravitationnel terrestre.
D´eterminer par analyse dimensionnelle une expression pour cette vitesse v0, dite
vitesse de lib´eration au sol, en fonction des param`etres du probl`eme qui vous sem-
blent pertinents. Qualitativement, quels calculs proposez-vous pour d´eterminer son
expression exacte ?
(c) Le nombre sans dimension vaut racine de 2. La surface d’un trou noir est d´efinie
par le fait que mˆeme la lumi`ere ne peut s’´echapper de cette surface. En d´eduire
une loi reliant le rayon et la masse d’un trou noir. Qu’a t-on implicitement suppos´e
dans ce calcul ?
Exercice - Ressort horizontal
Un ressort sans masse de longueur `a vide l0et de constante de rappel kest pos´e sur une
table horizontale. Il n’y a aucun frottement entre la table et le ressort. Une des extr´emit´es
du ressort est fixe, l’autre est mobile selon un axe Ox horizontal. On prend pour origine
le point o´e se trouve l’extr´emit´e mobile du ressort lorsque la longueur est l0. A l’extr´emit´e
mobile du ressort, on attache un bloc de masse m. On suppose qu’il n’y a aucun frottement
entre la table et le bloc.
Page 4

1. Ecrire la force de rappel exerc´ee par le ressort `a son extr´emit´e mobile lorsque celle-ci se
trouve ´a un point d’abscisse x.
2. Quelle est l’abscisse de la position d’´equilibre du bloc ?
3. On pose le bloc au point d’abscisse x1et on le lˆache sans vitesse initiale. Quel est le
type de mouvement d´ecrit par le bloc ? Ecrire la fonction x(t) donnant la position du
bloc au cours du temps.
Exercice - T´el´eviseur
Les anciens t´el´eviseurs fonctionnaient avec un canon `a ´electrons, les ´electrons ´etant ensuite
d´evi´es par un champ ´electrique pour atteindre tel ou tel pixel de l’´ecran. On se propose
d’´etudier la dynamique de ce probl`eme le long d’un seul axe. On rappelle la masse de
l’´electron me= 9.10−31 kg.
On suppose qu’un faisceau horizontal d’´electrons p´en`etre dans une cavit´e de longueur L= 5
cm, o`u r`egne un champ ´electrique constant ~ Edirig´e vers le bas, avec || ~ E|| = 103V/m. On a
fait le vide dans cette cavit´e.
1. Faire le bilan des forces appliqu´ees `a un ´electron. Montrer qu’une des forces est n´egligeable.
2. En d´eduire les ´equations horaires de la trajectoire. On suppose que les ´electrons arrivent
dans la cavit´e avec une vitesse quasi-relativiste, v0= 5 107m.s−1.
3. Avec quel angle par rapport `a l’horizontale l’´electron sort-il de la cavit´e ?
3 Approfondissement
Exercice - Ah la chaˆıne
Une chaˆıne constitu´ee de 5 maillons pesant chacun 100g est soulev´ee verticalement avec une
acc´el´eration constante de norme ||−→ a|| = 2,5 m.s−2.
1. Retrouver les normes de :
(a) La force exerc´ee par le maillon 1 sur le maillon 2.
(b) La force exerc´ee par le maillon 2 sur le maillon 3.
(c) La force exerc´ee par le maillon 3 sur le maillon 4.
(d) La force exerc´ee par le maillon 4 sur le maillon 5.
2. La norme de la force −→ Fexerc´ee sur le maillon 5 par la personne qui soul`eve la chaˆıne.
3. la r´esultante des forces s’appliquant sur chaque maillon.
Page 5